北师大版2019高中数学必修五达标练习：第2章 §2 三角形中的几何计算 - 含解析

word/media/image2_1.png [A　基础达标]

1．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是(　　)

A．锐角三角形　　　　　　 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．与增加的长度有关

解析：选A.在△ABC中，a2＝b2＋c2，设三边增加相同长度m后，新三角形为△A′B′C′，根据余弦定理得cos A′ ＝＝>0，而角A′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选A.

2．在△ABC中，A＝120°，a＝，S△ABC＝，则b等于(　　)

A．1 B．4

C．1或4 D．5

解析：选C.S△ABC＝bcsin A＝bc＝，故bc＝4，①

又a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc＝21，②

解①②组成的方程组，可得b＝1或b＝4，选C.

3．已知△ABC周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边长为(　　)

A．5　　　　 B．6　　　　　

C．7　　　　 D．8

解析：选C.由题设a＋b＋c＝20， bcsin 60°＝10，

所以bc＝40.

a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.

所以a＝7.即BC边长为7.

4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为(　　)

A. B．2

C．2 D．4

解析：选B.因为S＝bcsin A，

所以＝×2csin 120°，所以c＝2，

所以a＝＝

＝2，

设△ABC外接圆的半径为R，

所以2R＝＝＝4，所以R＝2.

5．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a>b>c，a2<b2＋c2，则角A的取值范围是(　　)

A. B．

C. D．

解析：选C.因为a2<b2＋c2，所以cos A＝>0，所以A为锐角，又因为a>b>c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.

6．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．

解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得c2＋5c－24＝0，解得c＝3.

所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝.

答案：

7．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________．

解析：由A作垂线AH⊥BC于H.

因为S△ADC＝DA·DC·sin 60°

＝×2×DC×

＝3－.

所以DC＝2(－1)，又因为AH⊥BC，

∠ADH＝60°，

所以DH＝ADcos 60°＝1，

所以HC＝2(－1)－DH＝2－3.

又BD＝CD，

所以BD＝－1，

所以BH＝BD＋DH＝.

又AH＝ADsin 60°＝，

所以在Rt△ABH中AH＝BH，

所以∠BAH＝45°.

又在Rt△AHC中tan∠HAC＝＝＝2－，

所以∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，

故所求角为60°.

答案：60°

8．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则▱ABCD的对角线AC长为________，面积为________．

解析：在▱ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，

∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.

根据余弦定理得，

AC＝

＝

＝3.

S▱ABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD

＝6×3sin 60°＝9.

答案：3　9

9．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．

解：连接AC，在△ACD中，

由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D

＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，

在△ABC中，

由AB＝2，BC＝4，

AC2＝28，

可得cos B

＝

＝＝－.

又0°<B<180°，故B＝120°.

所以四边形ABCD的面积

S＝S△ACD＋S△ABC

＝AD·CDsin D＋AB·BCsin B

＝×4×6sin 60°＋×2×4sin 120°＝8.

10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

解：(1)由acos C＋c＝b得

sin Acos C＋sin C＝sin B．

又sin B＝sin(A＋C)

＝sin Acos C＋cos Asin C，

所以sin C＝cos Asin C，

因为sin C≠0，所以cos A＝，

又因为0<A<π，

所以A＝.

(2)由正弦定理得b＝＝sin B，c＝sin C，

l＝a＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)

＝1＋[sin B＋sin(A＋B)]

＝1＋2

＝1＋2sin.

因为A＝，所以B∈，

所以B＋∈，

所以sin∈.

故△ABC的周长l的取值范围是(2，3]．

[B　能力提升]

11．平行四边形ABCD中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是(　　)

A．16 B．17.5

C．18 D．18.5

解析：选A.设平行四边形的两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则

a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17，

a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65，

解得a＝5，b＝4，cos α＝，

或a＝4，b＝5，cos α＝，

所以S平行四边形ABCD＝absin α＝16.

12.如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝BD，BC＝2BD，则sin C的值是________．

解析：设AB＝x，则AD＝x，BD＝x，BC＝x.在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝＝，则sin A＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝＝，解得sin C＝.

答案：

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C＝，

(1)求sin的值；

(2)若·＝1，a＋b＝，求边c的值及△ABC的面积．

解：(1)由sin2C＋cos2C＝1，

得sin C＝.

则sin

＝sin Ccos＋cos Csin

＝×＋×＝.

(2)因为·＝||||cos C＝1，

则ab＝5.

又a＋b＝，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝27.

所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝25，则c＝5.

所以S△ABC＝absin C＝.

14.(选做题)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝km.

(1)求道路BE的长度；

(2)求生活区△ABE面积的最大值．

解：(1)如图，连接BD，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝，所以BD＝km.

因为BC＝CD，所以∠CDB＝∠CBD＝＝，

又∠CDE＝，所以∠BDE＝.

所以在Rt△BDE中，

BE＝＝＝(km)．

故道路BE的长度为km.

(2)设∠ABE＝α，因为∠BAE＝，

所以∠AEB＝－α.

在△ABE中，易得＝＝＝＝，

所以AB＝sin，AE＝sin α.

所以S△ABE＝AB·AEsin＝·sinsin α

＝[sin＋]≤＝(km2)．

因为0<α<，所以－<2α－<.

所以当2α－＝，即α＝时，S△ABE取得最大值，最大值为km2，故生活区△ABE面积的最大值为km2.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/fba549319f3143323968011ca300a6c30d22f1ca.html