高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数
【第一部分】知识复习
【第二部分】典例讲解
考点一:幂函数
例1、比较大小
例2、幂函数,(m∈N),且在(0,+∞)上是减函数,又,则m=
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:函数在(0,+∞)上是减函数,则有,又,故为偶函数,故m为1.
例3、已知幂函数为偶函数,且在区间上是减函数.
(1)求函数的解析式; (2)讨论的奇偶性.
∵幂函数在区间上是减函数,∴,解得,∵,∴.又是偶数,∴,∴.
(2),.
当且时,是非奇非偶函数;当且时,是奇函数;
当且时,是偶函数;当且时,奇又是偶函数.
例4、下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系
(1)(A),(2)(F),(3)(E),(4)(C),(5)(D),(6)(B).
变式训练:
1、下列函数是幂函数的是( )
A.y=2x B.y=2x-1 C.y=(x+1)2 D.y=
2、下列说法正确的是( )
A.y=x4是幂函数,也是偶函数 B.y=-x3是幂函数,也是减函数
C.是增函数,也是偶函数 D.y=x0不是偶函数
3、下列函数中,定义域为R的是( )
A.y= B.y= C.y= D.y=x-1
4、函数的图象是( )
A.B.C.D.
5、下列函数中,不是偶函数的是( )
A.y=-3x2 B.y=3x2 C.D.y=x2+x-1
6、若f(x)在[-5,5]上是奇函数,且f(3)<f(1),则( )
A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1) C.f(-1)<f(1) D.f(-3)>f(-5)
7、若y=f(x) 是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是( )
A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a)) C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a ))
8、已知,则下列正确的是( )
A.奇函数,在R上为增函数 B.偶函数,在R上为增函数
C.奇函数,在R上为减函数 D.偶函数,在R上为减函数
9、若函数f(x)=x2+ax是偶函数,则实数a=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
10、已知f(x)为奇函数,定义域为,又f(x)在区间上为增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的的取值范围是( )
A. B.(0,1) C. D.
11、若幂函数的图象过点,则_____________.
12、函数的定义域是_____________.
13、若,则实数a的取值范围是_____________.
14、是偶函数,且在上是减函数,则整数a的值是_____________.
DACAD ABACD
9、,函数为偶函数,则有f(-x)=f(x),即x2-ax=x2+ax,所以有a=0.
10、奇函数在对称区间上有相同的单调性,则有函数f(x)在上单调递增,则当x<-1时,f(x)<0,当-1
11、 解析:点代入得,所以.
12、解:
13、 解析: ,解得.
14、解:则有,又为偶函数,代入验证可得整数a的值是5.
考点二:指数函数
例1、若函数y=ax+m-1(a>0)的图像在第一、三、四象限内,则( )
A.a>1 B.a>1且m<0 C.0且m>0 D.0
例2、若函数y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],试确定x的取值范围.
例3、若关于x的方程有负实数解,求实数a的取值范围.
例4、已知函数.
(1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数; (2)求函数f(x)的值域.
例5、如果函数(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14,求a的值.
例1、解析:y=ax的图像在第一、二象限内,欲使其图像在第一、三、四象限内,必须将y=ax向下移动.而当01时,图像向下移动才可能经过第一、三、四象限,故a>1.又图像向下移动不超过一个单位时,图像经过第一、二、三象限,向下移动一个单位时,图像恰好经过原点和第一、三象限.欲使图像经过第一、三、四象限,则必须向下平移超过一个单位,故m-1<-1,∴m<0.故选B.
答案:B
例2、分析:在函数y=4x-3·2x+3中,令t=2x,则y=t2-3t+3是t的二次函数,由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围,但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围.
解答:令t=2x,则y=t2-3t+3,依题意有:
∴x≤0或1≤x≤2,即x的范围是(-∞,0]∪[1,2].
小结:当遇到y=f(ax)类的函数时,用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理,再结合指数函数的性质得到原问题的解.
例3、分析:求参数的取值范围题,关键在于由题设条件得出关于参数的不等式.
解答:因为方程有负实数根,即x<0,
所以,
解此不等式,所求a的取值范围是
例4、分析:对于(1),利用函数的单调性的定义去证明;对于(2),可用反解法求得函数的值域.
解答:(1),设x1<x2,则
.
因为x1<x2,所以2x1<2x2,所以,所以.又+1>0, +1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)在其定义域(-∞,+∞)上是增函数.
(2)设,则,因为102x>0,所以,解得-1<y<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).
例5、分析:考虑换元法,通过换元将函数化成简单形式来求值域.
解:设t=ax>0,则y=t2+2t-1,对称轴方程为t=-1.
若a>1,x∈[-1,1],∴t=ax∈,∴当t=a时,ymax=a2+2a-1=14.
解得a=3或a=-5(舍去).
若0x∈.
∴当时,. 解得(舍去).
∴所求的a值为3或.
变式训练:
1、函数在R上是减函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2、函数是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
3、函数的值域是( )
A. B. C. D.
4、已知,则函数的图像必定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5、函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6、函数,满足f(x)>1的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
7、函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
8、已知,则下列正确的是( )
A.奇函数,在R上为增函数 B.偶函数,在R上为增函数
C.奇函数,在R上为减函数 D.偶函数,在R上为减函数
9、函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10、下列说法中,正确的是( )
①任取x∈R都有; ②当a>1时,任取x∈R都有;
③是增函数; ④的最小值为1;
⑤在同一坐标系中,的图象对称于y轴.
A.①②④ B.④⑤ C.②③④ D.①⑤
11、若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围__.
12、函数的定义域是______________.
13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数,函数y=ax-2+1的图象恒过定点________.
14、函数y=的递增区间是___________.
15、已知9x-10·3x+9≤0,求函数y=()x-1-4()x+2的最大值和最小值.
16、若关于x的方程25-|x+1|-4·5-|x+1|-m=0有实根,求m的取值范围.
17、设a是实数,.
(1)试证明对于a取任意实数,f(x)为增函数;
(2)试确定a的值,使f(x)满足条件f(-x)=-f(x)恒成立.
18、已知f(x)=(a>0且).
(1)求f(x)的定义域、值域.(2)讨论f(x)的奇偶性.(3)讨论f(x)的单调性.
答案及提示:1-10 DADAD DDACB
1、可得02-1<1,解得.
2、函数定义域为R,且,故函数为奇函数.
3、可得2x>0,则有,解得y>0或y<-1.
4、通过图像即可判断.
5、.
6、由,由,综合得x>1或x<-1.
7、即为函数的单调减区间,由,可得,
又,则函数在上为减函数,故所求区间为.
8、函数定义域为R,且,故函数为奇函数,
又,函数在R上都为增函数,故函数f(x)在R上为增函数.
9、可得.
10、①中当x=0时,两式相等,②式也一样,③式当x增大,y减小,故为减函数.
11、0<a< 提示:数形结合.由图象可知0<2a<1,0<a<.
12、 提示:由得2-3x>2,所以-3x>1,.
13、(2,2) 提示:当x=2时,y=a0+1=2.
14、(-∞,1]
提示:∵y=()x在(-∞,+∞)上是减函数,而函数y=x2-2x+2=(x-1)2+1的递减区间是(-∞,1],∴原函数的递增区间是(-∞,1].
15、解:由9x-10·3x+9≤0得(3x-1)(3x-9)≤0,解得1≤3x≤9.
∴0≤x≤2,令()x=t,则≤t≤1,y=4t2-4t+2=4(t-)2+1.
当t=即x=1时,ymin=1;当t=1即x=0时,ymax=2.
16、解法一:设y=5-|x+1|,则0<y≤1,问题转化为方程y2-4y-m=0在(0,1]内有实根.设f(y)=y2-4y-m,其对称轴y=2,∴f(0)>0且f(1)≤0,得-3≤m<0.
解法二:∵m=y2-4y,其中y=5-|x+1|∈(0,1],∴m=(y-2)2-4∈[-3,0).
17、(1)设,
即f(x1)<f(x2),所以对于a取任意实数,
f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
(2)由f(-x)=-f(x)得,解得a=1,即当a=1时,f(-x)=-f(x).
18、解:(1)定义域为R.
.
.
∴值域为(-1,1).
(2),
∴f(x)为奇函数.
(3)设,则
当a>1时,由,得,
,
∴当a>1时,f(x)在R上为增函数.
同理可判断当0时,f(x)在R上为减函数.
考点三:对数函数
例1、求函数的定义域和值域,并确定函数的单调区间.
例2、已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)(a∈R).
(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
例3、已知的最大值和最小值以及相应的x值.
例4、已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)求函数y=f(2x)与y=f-1(x)的图象交点的横坐标.
例1 解:由-x2+2x+3>0 ,得 x2-2x-3<0,∴-1<x<3, 定义域为 (-1,3);
又令 g(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴当 x∈(-1,3) 时, 0<g(x)≤4.
∴ f(x)≥=-2 ,即函数 f(x) 的值域为[-2,+∞);
∵ g(x)=-(x-1)2+4 的对称轴为 x=1.
∴当-1<x≤1 时, g(x) 为增函数,∴为减函数.
当 1≤x<3 时, g(x)为减函数,∴ f(x)为增函数.
即 f(x) 在(-1,1] 上为减函数;在 [1,3 )上为增函数.
例2、分析:令g(x)=ax2+2x+1,由f(x)的定义域为R,故g(x)>0对任意x∈R均成立,问题转化为g(x)>0恒成立,求a的取值范围问题;若f(x)的值域为R,则g(x)的值域为B必满足B(0,+∞),通过对a的讨论即可.
解答:(1)令g(x)=ax2+2x+1,因f(x)的定义域为R,∴ g(x)>0恒成立.
∴∴函数f(x)的定义域为R时,有a>1.
(2)因f(x)的值域为R,设g(x)=ax2+2x+1的值域为B,则B(0,+∞).
若a<0,则B=(-∞,1-](0,+∞);
若a=0,则B=R,满足B(0,+∞).
若a>0,则△=4-4a≥0,∴ a≤1.
综上所述,当f(x)的值域为R时,有0≤a≤1.
例3、分析:题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围,而根据对数的运算性质,可将函数化成关于log2x的二次函数,再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解.
解答:
当t=3时,y有最大值2,此时,由log2x=3,得x=8.
∴当x=2时,y有最小值-.
当x=8时,y有最大值2.
例4、 分析:题设中既含有指数型的函数,也含有对数型的函数,在讨论定义域,讨论单调性时应注意对底数a进行讨论,而(3)中等价于求方程f(2x)=f-1(x)的解.
解答:(1)ax-1>0得ax>1.
∴当a>1时,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当0<a<1时,函数f(x)的定义域为(-∞,0).
(2)令g(x)=ax-1,则当a>1时,g(x)=ax-1在(0,+∞)上是增函数.
即对0<x1<x2,有0<g(x1)<g(x2),
而y=logax在(0,+∞)上是增函数,
∴ logag(x1) <logag(x2),即f(x1)<f(x2).
∴ f(x)= loga(ax-1)在(0,+∞)上是增函数;
当0<a<1时,g(x)=ax-1在(-∞,0)上是减函数.
即对x1<x2<0,有g(x1)>g(x2)>0.
而y=logax在(0,+∞)上是减函数,
∴ logag(x1) <logag(x2),即f(x1)<f(x2).
∴ f(x)=loga(ax-1)在(-∞,0)上是增函数.
综上所述,f(x)在定义域上是增函数.
(3)∵ f(2x)= loga(a2x-1),令y=f(x)= loga(ax-1),
则ax-1=ay,∴ ax=ay+1,∴ x= loga (ay+1)(y∈R).
∴ f-1(x)= loga (ax+1)(x∈R).
由f(2x)=f-1(x),得loga(a2x-1)= loga(ax+1).
∴ a2x-1= ax+1,即(ax)2-ax-2=0.
∴ ax=2或ax=-1(舍).
∴ x=loga2.
即y=f(2x)与y= f-1(x)的图象交点的横坐标为x=loga2.
变式训练:
一、选择题
1、当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是( )
A. B.C. D.
2、将y=2x的图象( ),再作关于直线y=x对称的图象,可得函数y=log2(x+1)和图象.
A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位
C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位
3、函数的定义域是( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(1,2]
4、函数y=lg(x-1)+3的反函数f-1(x)=( )
A.10x+3+1 B.10x-3-1 C.10x+3-1 D.10x-3+1
5、函数的递增区间是( )
A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.(-∞,) D.(,+∞)
6、已知f(x)=|logax|,其中0,则下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
7、是( )
A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数
8、已知01,且ab>1,则下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
9、函数f(x)的图象如图所示,则y=log0.2f(x)的图象示意图为( )
A. B.C. D.
10、关于x的方程(a>0,a≠1),则( )
A.仅当a>1时有唯一解 B.仅当0<a<1时有唯一解
C.必有唯一解 D.必无解
二、填空题
11、函数的单调递增区间是___________.
12、函数在2≤x≤4范围内的最大值和最小值分别是___________.
13、若关于x的方程至少有一个实数根,则a的取值范围是___________.
14、已知(a>0,b>0),求使f(x)<0的x的取值范围.
15、设函数f(x)=x2-x+b,已知log2f(a)=2,且f(log2a)=b(a>0且a≠1),
(1)求a,b的值;
(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)
16、已知函数f(x)=loga(x-3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,点Q(x-2a,-y)是y=g(x)图象上的点.
(1)写出y=g(x)的解析式;
(2)若当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试求a的取值范围.
答案及提示:1-10 DDDDA BBBCC
1、当a>1时,y=logax是单调递增函数,是单调递减函数,对照图象可知D正确. ∴应选D.
2、解法1:与函数y=log2(x+1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x-1的图象,为了得到它,只需将y=2x的图象向下平移1个单位.
解法2:在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x+1)的图象,直接观察,即可得D.
3、由≥0,得 0
5、应注意定义域为(-∞,1)∪(2,+∞),答案选A.
6、不妨取,可得选项B正确.
7、由f(-x)=f(x)知f(x)为偶函数,答案为B.
8、由ab>1,知,故且,故答案选B.
10、当a>1时,0<<1,当0<a<1时,>1,
作出y=ax与y=的图象知,两图象必有一个交点.
11、答案:(-∞,-6)
提示: x2+4x-12>0 ,则 x>2 或 x<-6.
当 x<-6 时, g(x)=x2+4x-12 是减函数,
∴在(-∞,-6)上是增函数 .
12、答案:11,7 :∵ 2≤x≤4,∴.
则函数,
∴当时,y最大为11; 当时,y最小为7.
13、答案:(-∞,] 提示:原方程等价于
由③得. ∴当x>0时,9a≤,即a≤.
又∵ x≠3,∴ a≠2,但a=2时,有x=6或x=3(舍).∴ a≤.
14、解:要使f(x)<0,即.
当a>b>0时,有x>;
当a=b>0时,有x∈R;
当0<a<b时,有x<.
15、解:(1)∵f(log2a)=b,f(x)=x2-x+b,
∴(log2a)2-log2a+b=b,解得a=1(舍去),a=2,
又log2f(a)=2,
∴log2(a2-a+b)=2,将a=2代入,
有log2(2+b)=2, ∴b=2;
(2)由log2f(x)
∴x2-x-2<0,解得-1
由f(log2x)>f(1)得(log2x)2-log2x+2>0,
解得0
∴x∈(0,1).
16、解:(1)设Q(x′,y′),则,
∵点P(x,y)在y=f(x)的图象上,
∴.
(2)当x∈[a+2,a+3]时,有x-3a>0且>0成立.
而x-3a≥a+2-3a=2-2a>0,
∴ 0<a<1,且恒成立.
∴ 0<a<1.
由 |f(x)-g(x)|≤1,即
∴ r(x)=x2-4ax+3a2在[a+2,a+3]上是增函数.
∴ h(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上是减函数.
∴当x=a+2时,h(x)max=h(a+2)=loga(4-4a),
当x=a+3时,h(x)min=h(a+3)=loga(9-6a).
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