（新高考）2020版高考数学二轮复习专题强化训练（十九）解析几何理

专题强化训练(十九)　解析几何

1．[2019·长沙一模]已知椭圆C：7970355cf484d1dc3f5e0e84c6aa491d.png＋8d902324cc42e6bcc87fe894096e7edf.png＝1(a＞b＞0)的离心率为7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝cec62fd6b9a7cbd0fdbeee31a8381da7.png(O为坐标原点)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)分别与l1，l2交于点M，N，求证：∠MF1N＝∠MF2N.

解：(1)如图，连接AF2，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，

word/media/image3_1.png

所以BO为△F1AF2的中位线，又BO⊥F1F2，

所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|BO|＝576be9bf643ec2acf66ef223baea7380.png＝c6fbd2d8efd8643d686a5b84782a1a90.png，

又e＝15cfbb32683efed568c3f9d6af96693a.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，

故所求椭圆C的方程为167e1a43dd6c7c77f40f2b690bcc57a0.png＋c511838599adfacf6821432cb2fcc037.png＝1.

(2)由(1)可得，F1(－1,0)，F2(1,0)，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.

由96f9f3c7b2b0efa56fa6076b9237cb9e.png得5fca7e21df674e274862ff3afa42b922.png由e0195850343039ac145bf768e2d34f33.png

得8a61f7ed0d35be4d6939dbf30f71fe2a.png所以M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，

所以ecc62ac56dcc42773ced59d715b5e012.png＝(－2，－3k＋m)，853837df64fb24d5c85ac44e29f22950.png＝(4,3k＋m)，

所以ecc62ac56dcc42773ced59d715b5e012.png·853837df64fb24d5c85ac44e29f22950.png＝－8＋m2－9k2.

联立0663cb1ba2526e58e5f927ed561e9b3d.png得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.

因为直线l与椭圆C相切，

所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，

化简得m2＝9k2＋8.

所以ecc62ac56dcc42773ced59d715b5e012.png·853837df64fb24d5c85ac44e29f22950.png＝－8＋m2－9k2＝0，

所以ecc62ac56dcc42773ced59d715b5e012.png⊥853837df64fb24d5c85ac44e29f22950.png，故∠MF1N＝e369c7aa7852598fba82423365551baf.png.

同理可得ffa0fe9dc9d07e3223b86d855b03b228.png⊥2787e09db63e007ca70eed116956f1d7.png，∠MF2N＝e369c7aa7852598fba82423365551baf.png.

故∠MF1N＝∠MF2N.

2．[2019·合肥质检二]已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．

(1)求p的值；

(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设41b6e3191785d00c9b98dcd0bb7287ae.png＝df36320cb4f4eba352849662d88c760c.png＋42986f97cab992f1cb3f8bdd11323eef.png，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．

解：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋5d9bfeb31cba1507d6d63f2d36065c32.png，

因为直线l1与圆C2相切，

所以圆心C2(－1,0)到直线l1：y＝x＋5d9bfeb31cba1507d6d63f2d36065c32.png的距离

d＝393581ae236851461c724c10394a9efa.png72db68f0e3763e3a55cd612fe151338d.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

即393581ae236851461c724c10394a9efa.png1553867a52c684e18d473467563ea33b.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，解得p＝6或p＝－2(舍去)．

所以p＝6.

(2)解法一：依题意设M(m，－3)，

由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，所以y＝fe97c3bf9a23dcc58815a335a9bc5160.png，

所以y′＝3012c5d39511f67686c56aa9e7855746.png，

设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k＝d9959b72458664e73d48fdb23f96b8b7.png，

所以切线l2的方程为y＝d68b6e30c72c66876d119bc7d2cc2760.pngx1(x－x1)＋y1.

令x＝0，则y＝－fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.pngx4b17fab31583efe64099b3bcef7d0cfa.png＋y1＝－d68b6e30c72c66876d119bc7d2cc2760.png×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)，

所以df36320cb4f4eba352849662d88c760c.png＝(x1－m，y1＋3)，

42986f97cab992f1cb3f8bdd11323eef.png＝(－m，－y1＋3)，

所以0980b3544b92327e42f2350644f939da.png＝df36320cb4f4eba352849662d88c760c.png＋42986f97cab992f1cb3f8bdd11323eef.png＝(x1－2m,6)，

所以4027b37dacf71be4dd88e527fdbdda1d.png＝96e4cd1e3adc2bee0cabc8440176af2f.png＋0980b3544b92327e42f2350644f939da.png＝(x1－m,3)．

设N点坐标为(x，y)，则y＝3，

所以点N在定直线y＝3上．

解法二：设M(m，－3)，

由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y　①，

设l2的斜率为k，Aa2a9dc90d4a33fa7941751fd0ecef04f.png，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k(x－x1)＋df8c5ec480e0ea546859058cc00d403b.pngx4b17fab31583efe64099b3bcef7d0cfa.png　②，

联立①②得，x2＝12321b667ee5ff0890c9b186a9d5d3a639.png，

因为Δ＝144k2－48kx1＋4x1d1f0c2a6e9a24d6f97151efc4c7edf2.png＝0，所以k＝9459074f037cda77eda905a35ab6f152.png，

所以切线l2的方程为y＝d68b6e30c72c66876d119bc7d2cc2760.pngx1(x－x1)＋df8c5ec480e0ea546859058cc00d403b.pngx4b17fab31583efe64099b3bcef7d0cfa.png.

令x＝0，得B点坐标为ba11fda16bf7de8eee4caf5a538648f4.png，

所以df36320cb4f4eba352849662d88c760c.png＝47b0202aea1aa38759d80ecfa2f98559.png，

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