随机变量的数字特征
(1)一维随机变量的数字特征 |
| 离散型 | 连续型 |
期望 期望就是平均值 | 设X是离散型随机变量,其分布律为P( )=pk,k=1,2,…,n,
(要求绝对收敛) | 设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),
(要求绝对收敛) | |
函数的期望 | Y=g(X)
| Y=g(X)
| |
方差 D(X)=E[X-E(X)]2, 标准差 , |
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| |
矩 | ①对于正整数k,称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即 νk=E(Xk)= , k=1,2, …. ②对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩,记为 ,即
= , k=1,2, …. | ①对于正整数k,称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即 νk=E(Xk)= k=1,2, …. ②对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩,记为 ,即
= k=1,2, …. | |
切比雪夫不等式 | 设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对于任意正数ε,有下列切比雪夫不等式
切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下,对概率
的一种估计,它在理论上有重要意义。 | ||
(2)期望的性质 | (1) E(C)=C (2) E(CX)=CE(X) (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y), (4) E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:X和Y独立; 充要条件:X和Y不相关。 | ||
(3)方差的性质 | (1) D(C)=0;E(C)=C (2) D(aX)=a2D(X); E(aX)=aE(X) (3) D(aX+b)= a2D(X); E(aX+b)=aE(X)+b (4) D(X)=E(X2)-E2(X) (5) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和Y独立; 充要条件:X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。 | ||
(4)常见分布的期望和方差 |
| 期望 | 方差 |
0-1分布 | p |
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二项分布 | np |
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泊松分布 |
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几何分布 |
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超几何分布 |
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均匀分布 |
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指数分布 |
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正态分布 |
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| n | 2n | |
t分布 | 0 | (n>2) | |
(5)二维随机变量的数字特征 | 期望 |
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函数的期望 | =
| =
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方差 |
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| |
协方差 | 对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩,记为 ,即
与记号 相对应,X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为 与 。 | ||
相关系数 | 对于随机变量X与Y,如果D(X)>0, D(Y)>0,则称
为X与Y的相关系数,记作 (有时可简记为 )。 | |≤1,当| |=1时,称X与Y完全相关: 完全相关 而当 时,称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的: ① ; ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). | ||
协方差矩阵 |
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混合矩 | 对于随机变量X与Y,如果有 存在,则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩,记为;k+l阶混合中心矩记为:
| ||
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