2016高考数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积试题 理 苏教版

第3讲　平面向量的数量积

一、填空题

1．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

解析 ∵a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.

答案 1

2．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．

解析 设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝.

答案

3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.

解析　|a－b|＝＝

＝＝.

答案　

4．设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则·＝________.

解析　由＝2，得－＝2(－)，所以＝＋.同理＝＋，又⊥，所以·＝·＝2＋2＝×9＋×36＝10.

答案　10

5．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则a＋b与a－b的夹角为________．

解析 将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得：a·b＝0；

将|a－b|＝|a|两边同时平方得：b2＝a2.

所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.

所以〈a＋b，a－b〉＝60°.

答案 60°

6．已知O是△ABC的内部一点，＋＋＝0，·＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．

解析　由·＝||||cos 60°＝2，得||||＝4，S△ABC＝||||sin 60°＝，由＋＋＝0知，O是△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝.

答案　

7．若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.　

解析　建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，则M，·＝·＝－2.

答案　－2

8．已知向量p的模为，向量q的模为1，p与q的夹角为，且a＝3p＋2q，b＝p－q，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________．

解析　由题意可知较小的对角线为|a－b|＝|3p＋2q－p＋q|＝|2p＋3q|＝＝

＝＝.

答案　

9．已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为________．

解析 ∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，∵tan∠COA＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.

答案

10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cos A＝acos C，S△ABC＝，则·＝________.

解析 依题意得(3sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，

即3sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B>0，于是有cos A＝，sin A＝＝，又S△ABC＝·bcsin A＝bc×＝，所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccos A＝－3×＝－1.

答案 －1

二、解答题

11．已知平面向量a＝(，－1)，b＝.

(1)若存在实数k和t，满足x＝(t＋2)a＋(t2－t－5)b，y＝－ka＋4b，且x⊥y，求出k关于t的关系式k＝f(t)；

(2)根据(1)的结论，试求出函数k＝f(t)在t∈(－2,2)上的最小值．

解　(1)a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1，

所以x·y＝－(t＋2)·k·a2＋4(t2－t－5)·b2＝0，

故－(t＋2)·k·4＋4(t2－t－5)·1＝0，

整理得k＝f(t)＝(t≠－2)．

(2)k＝f(t)＝＝t＋2＋－5，

因为t∈(－2,2)，所以t＋2>0，则k＝t＋2＋－5≥－3，

当且仅当t＋2＝1，即t＝－1时取等号，所以k的最小值为－3.

12. 如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝6，BC＝7，AD是∠BAC的平分线．

(1)求证：DC＝2BD；

(2)求·的值．

(1)证明　在△ABD中，由正弦定理得＝

.①

在△ACD中，由正弦定理得

＝.②

又AD平分∠BAC，

所以∠BAD＝∠CAD，sin ∠BAD＝sin ∠CAD，

又sin ∠ADB＝sin(π－∠ADC)＝sin ∠ADC，

由①②得＝＝，所以DC＝2BD.

(2)解　因为DC＝2BD，所以＝.

在△ABC中，因为cos B＝

＝＝.所以·＝·

＝||||cos(π－B)＝×3×7×＝－.

13． 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

解 (1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．

所以|＋|＝2，|－|＝4.

故所求的两条对角线长分别为4，2.

(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．

由(－t)·＝0，

得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，

从而5t＝－11，所以t＝－.

14．已知向量m＝，n＝.

(1)若m⊥n，求cos 的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的值域．

解 (1)因为m⊥n，所以m·n＝0，

即sincos＋cos2＝0，则

sin＋cos＋＝0，

即sin＝－，

则cos＝－，

所以cos＝2cos2－1＝－.

(2)由题意，得

f(x)＝m·n＝sin＋.

∴f(A)＝sin＋.

由(2a－c)cos B＝bcos C，及正弦定理得

(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

∴2sin Acos B－cos Bsin C＝sin Bcos C，

∴2sin Acos B＝sin(B＋C)，

∵A＋B＋C＝π，

∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，

∴cos B＝，∴B＝，0<A<.

∴<＋<，

<1.

∴函数f(A)的值域是.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f9768cb4f46527d3250ce059.html