4.5 相似三角形的性质及其应用(第1课时)
1．相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高线、中线、对应角的角平分线之比都等于________．
2．重心的定义及性质：三角形三条________的交点叫做三角形的重心．三角形的重心分每一条中线成________的两条线段．
A组 基础训练
1．两个相似三角形的对应高线之比为1∶2，那么它们的对应中线之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8
2．如图，已知点D是△ABC的重心，则下列结论不正确的是( )
A．AD＝2DE B．AE＝2DE C．BE＝CE D．AE＝3DE
第2题图
3.如图，△ABC中，E在AD上，且E是△ABC的重心，若S△ABC＝36，则S△DEC等于( )
第3题图
A．3 B．4 C．6 D．9
4．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是( )
第4题图
A. m B.
m C.
m D.
m
5．两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么相似比为________，对应边上的高之比为________，对应边上的中线之比为________，对应角的角平分线之比为________．
6．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且＝
，B′D′＝4，则BD的长为________．
7．如图，△ABC的中线AD，CE相交于O，EF∥BC交AD于F，则OD∶FA＝________．
第7题图
8．已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，G是△ABC的重心，则AG＝________．
9．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC＝6cm，高AD＝4cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？
第9题图
10．已知在△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，AB＝8.
(1)求线段GC的长；
(2)过点G的直线MN∥AB，交AC于点M，交BC于点N，求MN的长．
第10题图
B组 自主提高
11.如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边AB上的一点，∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AQ分别与CD，BC交于点P，Q，那么＝_____．
第11题图
12．如图，△ABC中，D为AB上一点，且＝
＝k，AE⊥CD于E，AF⊥BC于F.求证：
＝k.
第12题图
13．如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AG＝3，CG＝4，求BG的长．
第13题图
C组 综合运用
14．(乐山中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连结CM交BD于点N，且ON＝1.
(1)求BD的长；
(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．
第14题图
【课堂笔记】
1．相似比 2.中线 1∶2
【课时训练】
1－4.ABCC
5.3∶5 3∶5 3∶5 3∶5
6.6
7.2∶3
8．2
9. 设正方形边长为x，则AP＝AD－PD＝4－x.∵△AEH∽△ABC，∴＝
，∴
＝
，∴x＝2.4.答：正方形材料的边长是2.4cm.
10. (1)延长CG交AB于点D.∵点G是△ABC的重心，∴CD为AB边上的中线，CG＝CD.又∵∠C＝90°，∴CD＝
AB＝4，∴CG＝
CD＝
. (2)∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴
＝
.同理，可证△CMG∽△CAD，∴
＝
，∴
＝
＝
，∴MN＝
AB＝
.
11.
12. 证明：∵＝
＝k，∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC，∴
＝
＝k.
第13题图
13. 延长BG，交AC于D，G是重心，∴D是AC中点，∵AG⊥GC，∴△AGC是直角三角形，根据勾股定理，可得AC＝5，∴GD是AC边上的中线，∵GD＝AC＝2.5，根据重心定理，BG＝2GD＝5.
14. (1)∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴＝
，∵M为AD中点，∴MD＝
AD＝
BC，即
＝
，∴
＝
，即BN＝2DN，设OB＝OD＝x，则有BD＝2x，BN＝OB＋ON＝x＋1，DN＝x－1，∴x＋1＝2(x－1)，解得：x＝3，∴BD＝2x＝6； (2)∵△MND∽△CNB，且相似比为1∶2，∴MN∶CN＝DN∶BN＝1∶2，∴S△MND＝
S△CND＝1，S△BNC＝2S△CND＝4.∴S△ABD＝S△BCD＝S△BCN＋S△CND＝4＋2＝6.∴S四边形ABNM＝S△ABD－S△MND＝6－1＝5.
15.
16.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f871c4d2a7c30c22590102020740be1e640ecc11.html
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