青岛二中高中自主招生试题附答案

高中自主招生试题

数 学

一．选择题（共12小题）

1．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　）

A． B． C． D．2

2．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（　　）

A． B． C． D．1

3．已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

4．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（　　）

A．π B． C．3+π D．8﹣π

5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（　　）

A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8

7．若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣

8．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）

A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b

9．如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，⊙O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（　　）

A． B． C． D．

11．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：

6=2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）=（1+2）×（1+3）=12；

12=22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）=（1+2+22）×（1+3）=28；

36=22×32，则36的所有正约数之和

（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）=（1+2+22）×（1+3+32）=91．

参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（　　）

A．420 B．434 C．450 D．465

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）

A．15 B．30 C．45 D．60

二．选择题（共6小题）

第13题 第14题 第15题 第17题

13．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为　　．

14．如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF=45°，AE=AF，则有下列结论：

①∠1=∠2=22.5°；②点C到EF的距离是；③△ECF的周长为2；④BE+DF＞EF．

其中正确的结论是　　．（写出所有正确结论的序号）

15．如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　　．

16．已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是　　．

17．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为　　cm2．

18．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．

（1）b=　　（用含m的代数式表示）；

（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是　　．　

三．解答题（共7小题）

19．先化简，再求值：÷•，其中a=2016．

20．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为x（分），且50≤x＜100，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：

请根据表格提供的信息，解答以下问题：

（1）本次决赛共有　　名学生参加；

（2）直接写出表中a=　　，b=　　；

（3）请补全下面相应的频数分布直方图；

（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为　　．

21．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？

（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

22．某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可达100万元．由于该产品供不应求，公司计划于3月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额y（万元）与月份x（月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（5月及以后每月的销售额都相同），而经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间函数关系的图象图2中线段AB所示．

（1）求经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间的函数关系式；

（2）分别求该公司3月，4月的利润；

（3）问：把3月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元？（利润=销售额﹣经销成本）

23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．

（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；

（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．

24．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．

（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

25．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．

（1）求b、c的值；

（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；

（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR

①求证：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．（2016•陕西）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　）

A． B． C． D．2

【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有

【分析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=即可计算．

【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴顶点C（﹣1，4），

如图所示，作CD⊥AB于D．

在RT△ACD中，tan∠CAD===2，故答案为D．

【点评】本题考查二次函数与x轴交点坐标，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴交点坐标的方法，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．　

2．（2016•玉林）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（　　）

A． B． C． D．1

【考点】扇形面积的计算；正多边形和圆．菁优网版权所有

【分析】先根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和，根据周角的定义可求正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和，再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即可求解．

【解答】解：∵正八边形的内角和为（8﹣2）×180°=6×180°=1080°，

正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8﹣1080°=2880°﹣1080°=1800°，

∴==．故选：B．

【点评】考查了扇形面积的计算，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．　

3．（2016•桂林）已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．菁优网版权所有

【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．

【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．

令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3，

∴点A的坐标为（0，3）；

令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3=0，

解得：x=，

∴点B的坐标为（，0）．

∴AB=2．

∵抛物线的对称轴为x=，

∴点C的坐标为（2，3），

∴AC=2=AB=BC，

∴△ABC为等边三角形．

令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0，

解得：x=﹣，或x=3．

∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）．

△ABP为等腰三角形分三种情况：

①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；

②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；

③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；

∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．故选A．

【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函数与坐标轴的交点坐标以及等边三角形的判定定理，解题的关键是依照题意画出图形，利用数形结合来解决问题．本题属于中档题，难度不小，本题不需要求出P点坐标，但在寻找点P的过程中会出现多次点的重合问题，由此给解题带来了难度．　

4．（2016•桂林）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（　　）

A．π B． C．3+π D．8﹣π

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．菁优网版权所有

【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．

【解答】解：作DH⊥AE于H，

∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，

∴AB==，

由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，

∴DH=OB=2，

阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积

=×5×2+×2×3+﹣

=8﹣π，故选：D．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S=和旋转的性质是解题的关键．　

5．（2016•桂林）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有

【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，

∴，即，

解得：k＜5且k≠1．故选B．

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．　

6．（2016•上海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（　　）

A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8

【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．菁优网版权所有

【分析】连接AD，

根据勾股定理得到AD=5，

根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3=2，

由点B在⊙D外，

于是得到r＜4，

即可得到结论．

【解答】解：连接AD，

∵AC=4，CD=3，∠C=90°，

∴AD=5，

∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，

∴r＞5﹣3=2，

∵BC=7，

∴BD=4，

∵点B在⊙D外，

∴r＜4，

∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选B．

【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．　

7．（2016•潍坊）若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣

【考点】分式方程的解．菁优网版权所有

【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．

【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，

整理得：2x=﹣2m+9，

解得：x=，

∵关于x的方程+=3的解为正数，

∴﹣2m+9＞0，

解得：m＜，

当x=3时，x==3，

解得：m=，

故m的取值范围是：m＜且m≠．故选：B．

【点评】此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键．

8．（2016•潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）

A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b

【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．菁优网版权所有

【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．

【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，

则|a|+

=﹣a﹣（a﹣b）

=﹣2a+b．故选：A．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．　

9．（2016•衡阳）如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有

【专题】反比例函数及其应用．

【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．

【解答】解：设∠AOM=α，点P运动的速度为a，

当点P从点O运动到点A的过程中，S==a2•cosα•sinα•t2，

由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；

当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，

故本段图象应为与横轴平行的线段；

当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，

故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式．　

10．（2016•烟台）如图，⊙O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有

【专题】动点型；函数思想．

【分析】根据题意分1＜x≤与＜x≤2两种情况，确定出y与x的关系式，即可确定出图象．

【解答】解：当P在OC上运动时，根据题意得：sin∠APB=，

∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，

∴xy=1，即y=（1＜x≤），

当P在上运动时，∠APB=∠AOB=45°，

此时y=（＜x≤2），

图象为：故选C．

【点评】此题考查了动点问题的函数图象，列出y与x的函数关系式是解本题的关键．　

11．（2016•日照）一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：

6=2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）=（1+2）×（1+3）=12；

12=22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）=（1+2+22）×（1+3）=28；

36=22×32，则36的所有正约数之和

（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）=（1+2+22）×（1+3+32）=91．

参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（　　）

A．420 B．434 C．450 D．465

【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有

【分析】在类比推理中，200的所有正约数之和可按如下方法得到：根据200=23×52，可得200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案．

【解答】解：200的所有正约数之和可按如下方法得到：

因为200=23×52，

所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）×（1+5+52）=465．故选（D）．

【点评】本题属于类比推理的问题，类比推理的一般方法是：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想．解决问题的关键是认真观察、仔细思考、善用联想，探寻变化规律．　

12．（2016•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）

A．15 B．30 C．45 D．60

【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有

【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，

又∵∠C=90°，

∴DE=CD，

∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．　

二．选择题（共6小题）

13．（2016•广安）如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为　21　．

【考点】三角形的面积．菁优网版权所有

【分析】根据正方形的性质来判定△ABE∽△ADG，再根据相似三角形的对应线段成比例求得BE的值；同理，求得△ACF∽△ADG，AC：AD=CF：DG，即CF=5；然后再来求梯形的面积即可．

【解答】解：如图，

根据题意，知

△ABE∽△ADG，

∴AB：AD=BE：DG，

又∵AB=2，AD=2+6+8=16，GD=8，

∴BE=1，

∴HE=6﹣1=5；

同理得，△ACF∽△ADG，

∴AC：AD=CF：DG，

∵AC=2+6=8，AD=16，DG=8，

∴CF=4，

∴IF=6﹣4=2；

∴S梯形IHEF=（IF+HE）•HI

=×（2+5）×6

=21；

所以，则图中阴影部分的面积为21．

【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定及性质、以及梯形面积的计算，解决本题的关键是利用三角形的性质定理与判定定理．　

14．（2016•玉林）如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF=45°，AE=AF，则有下列结论：

①∠1=∠2=22.5°；

②点C到EF的距离是；

③△ECF的周长为2；

④BE+DF＞EF．

其中正确的结论是　①②③　．（写出所有正确结论的序号）

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有【专题】综合题．

【分析】先证明Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠1=∠2，易得∠1=∠2=∠22.5°，于是可对①进行判断；连结EF、AC，它们相交于点H，如图，利用Rt△ABE≌Rt△ADF得到BE=DF，则CE=CF，接着判断AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分线的性质定理得到EB=EH，FD=FH，则可对③④进行判断；设BE=x，则EF=2x，CE=1﹣x，利用等腰直角三角形的性质得到2x=（1﹣x），解得x=﹣1，则可对④进行判断．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴∠1=∠2，

∵∠EAF=45°，

∴∠1=∠2=∠22.5°，所以①正确；

连结EF、AC，它们相交于点H，如图，

∵Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴BE=DF，

而BC=DC，

∴CE=CF，

而AE=AF，

∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，

∴EB=EH，FD=FH，

∴BE+DF=EH+HF=EF，所以④错误；

∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF=CB+CD=1+1=2，所以③正确；

设BE=x，则EF=2x，CE=1﹣x，

∵△CEF为等腰直角三角形，

∴EF=CE，即2x=（1﹣x），解得x=﹣1，

∴EF=2（﹣1），

∴CH=EF=﹣1，所以②正确．

故答案为①②③．

【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和角平分线的性质定理．解决本题的关键是证明AC垂直平分EF．　

15．（2016•毕节市）如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　π﹣1　．

【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有

【分析】如图，作辅助线；首先求出半圆O的面积，其次求出△ABP的面积；观察图形可以发现：阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP），求出值，即可解决问题．

【解答】解：如图，连接PA、PB、OP；

则S半圆O==，S△ABP=AB•OP=×1×=，

由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP）

=4（﹣）=π﹣1，

故答案为：π﹣1．

【点评】该题主要考查了正方形的性质、圆的面积公式、三角形的面积公式等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积和或差．　

16．（2016•潍坊）已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是　2　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有

【分析】过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，

则MN′的长度等于PM+PN的最小值，

即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，

∵∠ON′M=90°，OM=4，

∴MN′=OM•sin60°=2，

∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．

　17．（2016•烟台）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为　π　cm2．

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．菁优网版权所有

【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．

【解答】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，

∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，

∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，

∴∠B′OB=120°，

∵AB=2cm，

∴OB=1cm，OC′=，

∴B′C′=，

∴S扇形B′OB==π，

S扇形C′OC==，

∵

∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π；

故答案为：π．

【点评】此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．　

18．（2016•丽水）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．

（1）b=　m+　（用含m的代数式表示）；

（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是　　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有

【分析】（1）根据待定系数法点A的纵坐标相等列出等式即可解决问题．

（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBC面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），所以S△ADM=2S△OEF，推出EF=AM=NB，得B（2m，）代入直线解析式即可解决问题．

【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且点A的横坐标为m，

∴点A的纵坐标为，即点A的坐标为（m，）．

令一次函数y=﹣x+b中x=m，则y=﹣m+b，

∴﹣m+b=

即b=m+．

故答案为：m+．

（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．

∵反比例函数y=，一次函数y=﹣x+b都是关于直线y=x对称，

∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF面积为S，

则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBC面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），

∴S△ADM=2S△OEF，

由对称性可知AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，

∴EF=AM=NB，

∴EF是△OBN的中位线，

∴N（2m，0），

∴点B坐标（2m，）代入直线y=﹣x+m+，

∴=﹣2m+m+，整理得到m2=2，

∵m＞0，

∴m=．

故答案为．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识，解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段，学会设参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．　

三．选择题（共7小题）

19．（2016•黄石）先化简，再求值：÷•，其中a=2016．

【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有

【分析】先算除法，再算乘法，把分式化为最简形式，最后把a=2016代入进行计算即可．

【解答】解：原式=••

=（a﹣1）•

=a+1，

当a=2016时，原式=2017．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．

　20．（2016•毕节市）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为x（分），且50≤x＜100，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：

请根据表格提供的信息，解答以下问题：

（1）本次决赛共有　50　名学生参加；

（2）直接写出表中a=　16　，b=　0.28　；

（3）请补全下面相应的频数分布直方图；

（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为　48%　．

【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．菁优网版权所有【专题】探究型；统计与概率．

【分析】（1）根据表格中的数据可以求得本次决赛的学生数；

（2）根据（1）中决赛学生数，可以求得a、b的值；

（3）根据（2）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；

（4）根据表格中的数据可以求得本次大赛的优秀率．

【解答】解：（1）由表格可得，

本次决赛的学生数为：10÷0.2=50，

故答案为：50；

（2）a=50×0.32=16，b=14÷50=0.28，

故答案为：16，0.28；

（3）补全的频数分布直方图如右图所示，（4）由表格可得，

决赛成绩不低于80分为优秀率为：（0.32+0.16）×100%=48%，

故答案为：48%．

【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

　21．（2016•咸宁）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？

（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

【考点】二次函数的应用；一元二次不等式．菁优网版权所有

【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．

（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．

（3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题．

【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．

（2）设每星期利润为W元，

W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．

∴x=55时，W最大值=6750．

∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．

（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，

当x=52时，销售300+30×8=540，

当x=58时，销售300+30×2=360，

∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．

【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，学会利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．　

22．（2016•无锡）某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可达100万元．由于该产品供不应求，公司计划于3月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额y（万元）与月份x（月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（5月及以后每月的销售额都相同），而经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间函数关系的图象图2中线段AB所示．

（1）求经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间的函数关系式；

（2）分别求该公司3月，4月的利润；

（3）问：把3月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元？（利润=销售额﹣经销成本）

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有

【分析】（1）设p=ky+b，（100，60），（200，110）代入即可解决问题．

（2）根据利润=销售额﹣经销成本，即可解决问题．

（3）设最早到第x个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元，列出不等式即可解决问题．

【解答】解：（1）设p=ky+b，（100，60），（200，110）代入得解得，

∴p=y+10．

（2）∵y=150时，p=85，∴三月份利润为150﹣85=65万元．

∵y=175时，p=97.5，∴四月份的利润为175﹣97.5=77.5万元．

（3）设最早到第x个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元

∵5月份以后的每月利润为90万元，

∴65+77.5+90（x﹣2）﹣40x≥200，

∴x≥4.75，

∴最早到第5个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元．

【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法、不等式等知识，解题的关键是构建一次函数解决问题，搞清楚利润=销售额﹣经销成本，属于中考常考题型．　

23．（2016•盐城）如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．

（1）求b、c的值；

（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；

（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR

①求证：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题．

（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．

（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM==求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．

【解答】解：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴A（﹣3，0），B（0，3），

∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，

∴解得，

∴b=﹣2，c=3．

（2），对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，

∴点C坐标（1，0），

∵AD=DC=2，

∴点D坐标（﹣1，0），

∵BE=2ED，

∴点E坐标（﹣，1），设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到解得，

∴直线CE为y=﹣x+，

由解得或，

∴点M坐标（﹣，）．

（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，

∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，

∴∠QAR=∠GAP，

在△QAR和△GAP中，

，

∴△QAR≌△GAP，

∴QR=PG．

②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，

∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，

作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．

∵∠GAO=60°，AO=3，

∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，

∵∠QGA=60°，

∴∠QGO=90°，

∴点Q坐标（﹣6，3），

在RT△QCN中，QN=3，CN=7，∠QNC=90°，

∴QC==2，

∵sin∠ACM==，

∴AM=，

∵△APR是等边三角形，

∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=，

∴AP=，PM=RM=

∴MC==，

∴PC=CM﹣PM=，

∵==，

∴CK=，PK=，

∴OK=CK﹣CO=，

∴点P坐标（﹣，）．

∴PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（﹣，）．

【点评】本题考查二次函数综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．　

24．（2016•衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．

（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有

【专题】综合题；分类讨论．

【分析】（1）易得抛物线的顶点为（0，），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；

（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；

（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．

【解答】解：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点，

∴抛物线的对称轴为y轴，

∴抛物线的顶点为（0，），

故抛物线的解析式可设为y=ax2+．

∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+上，

∴a+=2，

解得a=﹣，

∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣x2+；

（2）①当点F在第一象限时，如图1，

令y=0得，﹣x2+=0，

解得：x1=3，x2=﹣3，

∴点C的坐标为（3，0）．

设直线AC的解析式为y=mx+n，

则有，

解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+．

设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．

∵点F（p，p）在直线y=﹣x+上，

∴﹣p+=p，

解得p=1，

∴点F的坐标为（1，1）．

②当点F在第二象限时，

同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），

此时点F不在线段AC上，故舍去．

综上所述：点F的坐标为（1，1）；

（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，

则OD=t，OE=t+1．

∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．

当x=t时，y=﹣t+，则N（t，﹣t+），DN=﹣t+．

当x=t+1时，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1．

在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．

在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=，

∴MN2=12+（）2=．

①当DN=DM时，

（﹣t+）2=t2﹣t+2，

解得t=；

②当ND=NM时，

﹣t+==，

解得t=3﹣；

③当MN=MD时，

=t2﹣t+2，

解得t1=1，t2=3．

∵0≤t≤2，∴t=1．

综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．

【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、直线及抛物线上点的坐标特征、抛物线的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）、（3）小题的关键，在解决问题的过程中要验证是否符合题意．

　25．（2016•曲靖）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．

（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；

（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．

【考点】切线的性质；菱形的判定；垂径定理．菁优网版权所有

【专题】计算题；与圆有关的位置关系．

【分析】（1）连接OE，设圆的半径为r，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据BC与圆相切，得到OE垂直于BC，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到三角形BOE与三角形ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；

（2）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AOE=4∠B，进而求出∠B与∠F的度数，根据EF与AD垂直，得到一对直角相等，确定出∠MEB=∠F=60°，CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形ACEF为平行四边形，再由∠CAB为直角，得到CA为圆的切线，利用切线长定理得到CA=CE，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

【解答】（1）解：连接OE，设圆O半径为r，

在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，

根据勾股定理得：AB==12，

∵BC与圆O相切，

∴OE⊥BC，

∴∠OEB=∠BAC=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BOE∽△BCA，

∴=，即=，

解得：r=；

（2）∵=，∠F=2∠B，

∴∠AOE=2∠F=4∠B，

∵∠AOE=∠OEB+∠B，

∴∠B=30°，∠F=60°，

∵EF⊥AD，

∴∠EMB=∠CAB=90°，

∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，

∴CB∥AF，

∴四边形ACEF为平行四边形，

∵∠CAB=90°，OA为半径，

∴CA为圆O的切线，

∵BC为圆O的切线，

∴CA=CE，

∴平行四边形ACEF为菱形．

【点评】此题考查了切线的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

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