2012年西城区初三数学第一学期期末试题及答案（北区）

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（北区）

九年级数学 2012.1

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．抛物线的顶点坐标为

A． B． C． D．

2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是

A．2 B．3 C． 6 D．11

3．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为

A． B． C． D．2

4．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°，

BD=2，则AE的长为

A．2 B．3

C．4 D．5

5．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于

A．　 B． C． D．

6．如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三

角形A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，

DA1与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D

均在如图所示的格点上，则k的值和点C1的坐标分

别为

A．2， 　 B．4，

C．2， D．2，

7．如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是

A．　 　

B．当时，y随x的增大而增大

C．

D．是一元二次方程的一个根

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，⊙C的圆

心为点，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段

DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是

A．2 B．

C． D．

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCB＝40°，则∠A= °．

10．将抛物线先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个

单位长度，所得抛物线的解析式是 ．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4 ．以斜

边AB的中点D为旋转中心，把△ABC按逆时针方向旋转角

（），当点A的对应点与点C重合时，B，C两点

的对应点分别记为E，F，EF与AB的交点为G，此时等于

° ，△DEG的面积为 ．

12．已知二次函数，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m，n使得当自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n，则m= ，n= ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：．

14．已知关于的方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若为符合条件的最大整数，求此时方程的根．

15．已知抛物线.

（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；

（2）用配方法将化成的形式．

16．已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，

∠AED=∠B．

（1）求证：△ABE∽△DEA；

（2）若AB=4，求的值．

17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另

三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形

的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面

积为S平方米．

（1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？

18．如图，在Rt△ABC中，，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．

（1）若AD=10，，求AC的长和的值；

（2）若AD=1， =，参考（1）的计算过程直接写

出的值（用和的值表示）．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形的边长为1，将其沿轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为．

（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；

（2）画出点运动的曲线（0≤≤4），并直接写出该曲线与轴所围成区域的面积．

20．已知函数（x ≥ 0），满足当x =1时，，

且当x = 0与x =4时的函数值相等．

（1）求函数（x ≥ 0）的解析式并画出它的

图象（不要求列表）；

（2）若表示自变量x相对应的函数值，且

又已知关于x的方程

有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k的取值范围．

21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与

⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若OE与AD交于点F，，求的值．

22．阅读下列材料：

题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断与的大小关系，并加以说明.

思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出与的差，再

说明y的符号即可.

现给出如下利用函数解决问题的方法：

简解：可将y的代数式整理成，要判断y的符号可借助函数的图象和性质解决.

参考以上解题思路解决以下问题：

已知a，b，c都是非负数，a＜5，且，．

（1）分别用含a的代数式表示4b，4c；

（2）说明a，b，c之间的大小关系．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．已知抛物线（其中）．

（1）求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)；

（2）若记该抛物线的顶点坐标为，直接写出的最小值；

（3）将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，随着的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．

24．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足

，连结MC，NC，MN．

（1）填空：与△ABM相似的三角形是△ ， = ；（用含a的代数式表示）

（2）求的度数；

（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并

证明你的结论．

25．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为，

（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ；

（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；

（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，

① 求此抛物线W的解析式；

② 若点Q在直线上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，

P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）

九年级数学参考答案及评分标准 2012.1

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

说明：第10题写成不扣分；第11题每空各2分；第12题第（1）问2分，

第（2）问每空各1分．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：原式= …………………………………………………3分

=． ……………………………………………………………………5分

14．解：（1）． ……………………………………………1分

∵ 该方程有两个不相等的实数根，

∴＞0．……………………………………………………………… 2分

解得．…………………………………………………………………… 3分

（2）当k为符合条件的最大整数时，．…………………………………… 4分

此时方程化为，方程的根为．………5分

15． 解：（1）抛物线与x轴的交点的坐标为． ………………………2分

抛物线与y轴的交点的坐标为． …………………………………3分

（2）

…………………………………………………………4分

． …………………………………………………………5分

16．（1）证明：如图1．

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AD∥BC．

∴． …………………………2分

又∵ ∠B=∠AED，

∴ △ABE∽△DEA ．…………………3分

（2）解：∵ △ABE∽△DEA ，

∴．…………………………………………………………………4分

∴．

∵ 四边形ABCD是菱形，AB = 4，

∴ AB =DA = 4．

∴．………………………………………………………5分

17．解：（1）∵ 四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，

∴ CD=AB=x（米）．

∵ 矩形除AD边外的三边总长为36米，

∴（米）．………………………………………………………1分

∴． ……………………………………………3分

自变量的取值范围是． …………………………………………4分

（说明：由可得．）

（2）∵，且在的范围内 ，

∴ 当时，S取最大值．

即AB边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分

18．解：（1）在Rt△ACD中，，AD=10，，（如图2）

∴．……1分

．

∵ DE垂直平分AB，

∴．……………………………………………………………2分

∴．………………………………………………………3分

在Rt△ABC中，，

∴． ……………………………………………………4分

（2）．（写成也可） ……………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置如图3所示．

…………………………………………………2分

第三个正方形中的点P的坐标为．……3分

（2）点运动的曲线（0≤≤4）如图3所示．

…………………………………………………4分

它与轴所围成区域的面积等于． ……………………………………5分

20．解：（1）∵ 函数（x≥0）满足当x =1时，，

且当x = 0与x =4时的函数值相等，

∴

解得，．…………………………………………………………2分

∴ 所求的函数解析式为（x≥0）． …………………………3分

它的函数图象如图4所示．……………………………………………………4分

（2）k的取值范围是．（如图5）……………………………………………5分

21．（1）证明：连接OD．（如图6）

∵ AD平分∠BAC，

∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分

∵ OA=OD，

∴ ∠1=∠3．

∴ ∠2=∠3．

∴ OD∥AE．

∵ DE⊥AC，

∴ ∠AED=90°．

∴．…………2分

∴ DE⊥OD．

∵ OD是⊙O的半径，

∴ DE是⊙O的切线．………………………3分

（2）解：作OG⊥AE于点G．（如图6）

∴ ∠OGE=90°．

∴ ∠ODE=∠DEG=∠OGE=90°．

∴ 四边形OGED是矩形．

∴ OD=GE．……………………………………………………………………4分

在Rt△OAG中，∠OGA=90°，，设AG=4k，则OA=5k．

∴ GE=OD =5k．

∴ AE=AG+GE=9k．

∵ OD∥GE，

∴ △ODF∽△EAF．

∴．……………………………………………………………5分

22．解：（1）∵，，

∴

消去b并整理，得．……………1分

消去c并整理，得． ………2分

（2）∵，

将4b看成a的函数，由函数的性质结合它的图象（如图7所示），以及a，b均为非负数得a≥3．

又 ∵ a＜5，

∴ 3≤a＜5．……………………………………………………………………3分

∵，

将看成a的函数，由函数的性质结合它的图象

（如图8所示）可知，当3≤a＜5时，．

∴ b＜a． ……………………………………………4分

∵，a≥3，

∴≥0．

∴ c≥a ．

∴ b＜a≤c． ………………………………………5分

阅卷说明：“b＜a，b＜c，a≤c”三者中，先得出其中任何一个结论即可

得到第4分，全写对得到5分．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．解：（1）令，则．

整理，得．

解得， ．

∴ 该抛物线与x轴的交点坐标为，． ………………………2分

抛物线的顶点坐标为． ………3分

（2）|n|的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分

（3）平移后抛物线的顶点坐标为．…………………………………5分

由 可得．

∴ 所求新函数的解析式为． …………………………………7分

24．解：（1）与△ABM相似的三角形是△ NDA ，； ……………………2分

（2）由（1）△ABM∽△NDA可得．（如图9） ………………3分

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ AB=DC，DA= BC，．

∴．

∵ BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，

∴．

∴ △BCM∽△DNC．…………………………………………………………4分

∴．

∴

．………5分

（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是．

（只猜想答案不证明不给分）

证法一：如图9，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则

△ABF≌△ADN． …………………………………………………6分

∴，AF=AN，BF=DN，．

∴．

∴．

又∵ AM= AM，

∴ △AMF≌△AMN．

∴ MF=MN．

可得．

∴ 在Rt△BMF中，．

∴． …………………………………………7分

证法二：连接BD，作ME∥BD，与DN交于点E．（如图10）

可知，．……………………………………6分

∵ ME∥BD，

∴．

∵，

∴ 四边形BDEM是矩形．

∴ ME=BD，BM=DE．

在Rt△MEN中，，

∴

．……………………7分

25．解：（1）图2中的m=．……………………………………………………………1分

（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为，

∴，此时原题图1中点P运动到与点B重合，

∵ 点B在x轴的正半轴上，

∴．

解得，点B的坐标为． ………………………………………2分

此时作AM⊥OB于点M，CN⊥OB于点N．（如图12）．

∵ 点C的坐标为，

∴ 点C在直线上．

又由图11（原题图2）中四边形ODEF是等腰梯形可知图12中的点C在过点O与AB平行的直线l上，

∴ 点C是直线与直线l的交点，且．

又∵，即AM= CN，

可得△ABM≌△CON．

∴ ON=BM=6，点C的坐标为．……………………………………3分

∵ 图12中．

∴ 图11中，． …………………4分

（3）①当点P恰为经过O，B两点的抛物线的顶点时，作PG⊥OB于点G．

（如图13）

∵ O，B两点的坐标分别为，，

∴ 由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4，即OG=BG=4．

由可得PG=2．

∴ 点P的坐标为．………………5分

设抛物线W的解析式为（a≠0）．

∵ 抛物线过点，

∴．

解得．

∴ 抛物线W的解析式为．

…………………………………6分

②如图14．

i）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱

形的边时，

∵ 点Q在直线上方的抛物线W

上，点P为抛物线W的顶点，结合抛

物线的对称性可知点Q只有一种情况，

点Q与原点重合，其坐标为．

……………………………………7分

ii）当BP为以B，P，Q，R为顶点的菱形的对角线时，

可知BP的中点的坐标为，BP的中垂线的解析式为．

∴ 点的横坐标是方程的解．

将该方程整理得．

解得．

由点Q在直线上方的抛物线W上，结合图14可知点的横坐标为．

∴ 点的坐标是． …………………………8分

综上所述，符合题意的点Q的坐标是，．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f6ee4c154431b90d6c85c7fc.html