课题：三角函数的图象与性质（三）
课型：新授课
课时计划：本课题共安排二课时
教学目标：
1、理解并会判断正、余弦函数的奇偶性；
2、培养学生直观猜想,归纳抽象,演绎证明的能力；
3、培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.
教学重点：
求正、余弦函数的奇偶性.
教学难点：
正、余弦函数奇偶性的证明.
教学过程：
一、创设情境，引入新课
我们已经知道正、余弦函数的定义域，值域
那它们除此之外还有哪些性质呢？本节我们研究正余弦函数的奇偶性, 引导学生观察正余弦函数图象的对称性.
正弦函数的图象关于原点对称; 余弦函数的图象关于y轴对称.
怎样证明这两个结论呢?
设(x,y)是正弦曲线 y=sinx上的任意一点,即P(x, sinx) 是正弦曲线上的一点,它关于原点的对称点是(-x,-y)即Q(-x,- sinx) 现在只要证明(-x,- sinx)也是正弦曲线上的点.由诱导公式sin(-x)=- sinx可知,这个对称点就是 (-x ,sin(-x)).它显然也在正弦曲线上.所以正弦曲线关于原点对称.
这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转180度后得的曲线能够和原来的曲线重合.即正弦函数关于原点对称.
同学们仿照证明 y=cosx关于y轴对称
分析:设 从余弦函数的图象上任取一点P(x,y),即P(x,cosx),其关于y轴对称点P′(-x,y)即P′(-x,cosx)由诱导公式cos(-x)=cosx知这个点也在余弦函数的图像上。这说明什么？
这说明若将余弦曲线延着y轴折叠,y轴两旁的部分能够互相重合,即余弦曲线关于y轴对称.
二、新课讲解
㈠知识要点：
1、奇函数的定义：
一般的, 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数.
定义知正弦函数是奇函数.
关于原点对称的函数一定是奇函数，且奇函数的图像一定关于原点对称.正弦函数是这样的.
注意:(1)对于定义域内任任意一个x,都有f(-x)=-f(x),所以-x也在定义域内故判断一个函数是否为奇函数,一定要判断定义域是否关于原点对称; (2)若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？ 函数y=sinx,x∈[-π/2, π/2]是奇函数吗？
2、偶函数的定义:一般的,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数. (关于y轴对称)
定义知余弦函数是偶函数.
函数y=cosx, x∈[0,π]是否为偶函数 ?
关于y轴对称的函数一定是偶函数，且偶函数的图像一定关于y轴对称.余弦函数是这样的.
从上面的分析知道，正余弦函数的奇偶性反映了正余弦函数的图像具有的对称性.
正弦函数，
是奇函数，余弦函数
，
是偶函数。
理解：（1）由诱导公式，
可知以上结论成立；
（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于轴对称.
三.典例精讲
例1：判定下列函数的奇偶性
(1)y=-sinx x∈R (2)y=|sinx|+|cosx| x∈R
(3)y=1+sinx x∈R
解: (1)f(-x)=- sin[3(-x)]=-(-sin3x)=-f(x)且f(x)的定义域关于原点对称,可知y=f(x)=-sin3x, x∈R是奇函数.
(2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)且f(x)的定义域关于原点对称,可知y=f(x)=|sinx|+|cosx|, x∈R是偶函数.
(3)f(-x)=sin(-x)+1=1-sinx f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)可知y=f(x)=1+sinx x∈R 即不是奇函数也不是偶函数.
四.巩固训练
1.下列命题正确的是( )
A.y=-sinx 为偶函数 B.y=|sinx|是非奇非偶函数
C.y=3cosx+1为偶函数 D.y=sinx-1为奇函数
2.函数y=cos(x+π/2), xÎR ( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.即不是奇函数也不是偶函数 D.有无奇偶性不能确定
3.判断下列函数的奇偶性,并说明理由.
(1)y=|sinx| x∈(-2π,2π) (2)y=3cosx-1 (-5,5) (3)y=3sinx x∈(- π,0)∪(π, 2π) (4)sinx+cosx x∈R
这是奇函数吗? 不是,因为这个函数的图象不成中心对称图型
五.课堂小节
1.奇函数的定义; 2.偶函数的定义; 3.如何判断函数的奇偶性.
六.布置作业: 课本65页习题4.8 第4(2) 第5 题
神木职教中心数学组:王旭涛
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f46668fa5ebfc77da26925c52cc58bd631869397.html
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