2017届昭通市高三复习备考统一检测（第二次）数学（文）试题（解析版）

2017届昭通市高三复习备考统一检测（第二次）

数学（文）试题

一、选择题

1．已知集合，则 （ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题得, ,

2．若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为 （ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意，令，则，则解得，故选A

3．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号并用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本。已知5号，33号，47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为 （ ）

A. 13 B. 17 C. 19 D. 21

【答案】C

【解析】高三某班有学生56人,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,
所以样本组距为,则,
即样本中还有一个学生的编号为19,所以C选项是正确的.

4．在等差数列中，是方程的根，则的值是 （ ）

A. 41 B. 51 C. 61 D. 68

【答案】B

【解析】由题,所以，.

5．将三角函数向左平移个单位后，得到的函数解析式为 （ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题平移后的解析式为.

6．已知实数，则的大小关系是 （ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】，，故选择C

7．给出下列两个命题：命题:若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则的概率为.

命题：若函数，则的最小值为4.则下列命题为真命题的是： （ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】易知命题均为真命题，故选择A

8．若满足,，则z的最大值是 （ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】约束条件对应的可行域为三角形区域，三个顶点为，直线平移过程中，经过点时取到最大值.

9．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍，松竹何日而长等.图1是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b分别为4，2，则输出的n等于 （ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，， 继续循环；结束输出.

点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.

10．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的侧面积是 （ ）

A. 12 B. C. D.

【答案】C

【解析】由三视图可知，棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，棱台的高为2，因此该四棱台的侧面积是.

11．已知双曲线的左顶点为，抛物线的焦点为，若在曲线的渐近线上存在点使得，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】在曲线的渐近线上存在点使得，即以MF为直径的圆与渐近线有交点， ， 圆心，由点N到渐近线的距离小于等于半径，即，解得.

点晴：本题考查的是求双曲线的离心率的范围问题.解决本题的关键是建立起关于基本量的不等关系，在曲线的渐近线上存在点使得，即以MF为直径的圆与渐近线有交点，由题求出圆心，由点N到渐近线的距离小于等于半径，即，解得.

12．已知在区间内任取两个不相等的实数，不等式恒成立,则实数的取值范围为 （ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由不等式在内任两点的斜率大于1，即在恒成立，由，得恒成立，即

点晴：本题考查的是已知不等式恒成立求参数问题.解决本题的关键是通过转化与化归把不等式恒成立看作是在内任两点的斜率大于1，转化为在恒成立，由，得恒成立，通过求在上的最大值，可得.

二、填空题

13．已知向量的夹角为，则__________.

【答案】-10

【解析】

点睛：本题重点考察了向量数量积的运算，1.一般求向量数量积可用定义法求解， ，一般容易错在夹角上面，所以应根据具体的图形确定夹角；2.还可利用坐标法表示数量积，需建立坐标系解决问题，比如本题；3.还可将已知向量用未知向量表示，转化为那些知道模和夹角的向量.

14．已知抛物线上的一点到焦点的距离是到轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________.

【答案】

【解析】设该点的横坐标为，由题及抛物线的定义可得.

15．已知中，则的长为__________.

【答案】6

【解析】在中，由余弦定理可得，即（舍）或，所以

16．在棱长为1的正方体中，,是线段上的动点，过做平面的垂线交平面于点，则点到点的距离最小值是___________．

【答案】

【解析】连结，易知面面，而，即，在面内，且点的轨迹是线段，连结，易知是等边三角形，则当为中点时，距离最小，易知最小值为

三、解答题

17．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且成等比数列

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前项和求出首项和公差,进而求出数列的通项公式;

(2)利用裂项相消法求和.

试题解析：（Ⅰ）由题意知：

解得，故数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

则

点睛：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.

18．根据国家环保部最新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米。某城市环保部分随机抽取的一居民区过去20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；

（II）求样本平均数，并根据样本估计总计的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?并说明理由.

【答案】（1）0.6

（2）该居民区的环境需要改进

【解析】试题分析：（1）利用列举法求古典概型的概率；（2）计算出去年该居民区年平均浓度,故该居民区的环境需要改进．

试题解析：（1）设的小时平均浓度在内的三天记为，，，的24小时平均浓度在内的两天记为，．

所以5天任取2天的情况有：，，，，，，，，，共10种．

其中符合条件的有：，，，，，共6种．

所以所求的概率．

（2）去年该居民区年平均浓度为：

（微克/立方米）．

因为，所以去年该居民区年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．

【考点】1.古典概型的计算；2.样本平均数的计算公式.

19．已知四棱锥的底面为平行四边形，且, ,分别为中点，过作平面分别与线段相交于点.

（Ⅰ）在图中作出平面使面‖(不要求证明）；

（II）若，在（Ⅰ）的条件下求多面体的体积.

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用面面平行的性质，只要即可.

（Ⅱ）利用体积分割法分别求体积，再求和

试题解析：（Ⅰ）如图，是的中点（若不是虚线，扣两分）

（Ⅱ）连接PB,NB，由题可知在（Ⅰ）情况下，

平面MNPQ与平面ABCD垂直，由题知AB=4，BC=PC=2，SD=2，NP=1

且面，则面

是边长为2的等边三角形则

由,，面MNPQ是直角梯形，,

连接交于点，在中，由余弦定理可知,则，

即,且故

故

故此多面体的体积为

20．如图，椭圆E的左右顶点分别为、,左右焦点分别为,直线交椭圆于两点，与线段及椭圆短轴分别交于两点（不重合）,且.

（Ⅰ）求椭圆E的离心率；

（Ⅱ）若的垂直平分线过点,求直线的方程.

【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ））由，可知，可得离心率.

（Ⅱ）联立和椭圆方程，可得中点的坐标，由即可知，即，解得，可表示的垂直平分线方程，并且过点求值，最终确定直线方程.

试题解析：（Ⅰ）由，可知即椭圆方程为,离心率是.

（Ⅱ）设易知

由消去y整理得：

由，且即可知，即，解得

设CD的中点为，

则

直线l的垂直平分线方程为过点，解得

此时直线l的方程为

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

21．已知函数， (为常数)．

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）当函数在处取得极值,求函数的解析式；

（Ⅲ)当时，设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）g(x)= (x∈R) ;(3) ，).

【解析】试题分析：(1)求出函数的导数,求得切线的斜率和切点,运用点斜式方程即可得到切线方程;

(2)求得的导数,根据题意可得, ,解方程即可得到所求解析式;

(3)若函数在定义域上存在单调减区间依题存在使，即存在使,运用参数分离,求得右边的最小值,即可得到所求范围.

试题解析：（Ⅰ）由 ()，可得 ()，∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是，即，所求切线方程为；

（Ⅱ）∵又g(x)= 可得，且g(x)在x=2处取得极值-2．

∴，可得解得，．所求g(x)= (x∈R) ．

(3)∵， ()．

依题存在使，∴即存在使，

∵不等式等价于 (min)

由基本不等式知，，)

∵存在，不等式()成立，∴．所求，)

22．选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数）.

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（Ⅱ）曲线交轴于两点，且点，为直线上的动点，求周长的最小值.

【答案】（Ⅰ），;Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由极直互化公式可得直线的直角坐标方程为， 消去参数

得C得普通方程为

（Ⅱ）求点A关于直线l的对称点为M（a，b），由题易知当P为MB与直线l的交点时周长最小.

试题解析：（Ⅰ）由直线的极坐标方程，得

即，直线的直角坐标方程为，

由曲线C的参数方程得C得普通方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C表示圆心，半径的圆，令得

A的坐标为，B的坐标为

设A关于直线l的对称点为M（a，b），则有

解得，即点M（1,3

由题易知当P为MB与直线l的交点时周长最小，最小值为。

23．选修4-5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）若最小值为，求的值；

（Ⅱ）求不等式的解集.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由绝对值三角不等式的性质可得，可得的值

（Ⅱ）分和两种情况去掉绝对值，解不等式即可.

试题解析：（Ⅰ）由题知

则，解得

（Ⅱ）设

若，有，解得，

若，有，解得，

综上，不等式的解集为

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