[最新教材]高一数学人教A版必修2课后导练：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系含解析

新教材适用·高中必修数学

课后导练

基础达标

1两条异面直线的公垂线指的是（ ）

A.和两条异面直线都垂直的直线

B.和两条异面直线都垂直相交的直线

C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段

D.和两条异面直线都垂直的所有直线

解析：两异面直线的公垂线必须满足两个条件：（1）与两异面直线都垂直；（2）都相交.

答案：B

2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交，则直线a、b的位置关系是（ ）

A.一定是异面直线

B.一定是相交直线

C.可能是平行直线

D.可能是异面直线，也可能是相交直线

解析：a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.

答案：D

3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是（ ）

A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面

解析：已知a与b异面，a∥l,则l与b相交或异面（如图）.

答案：D

4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…（ ）

A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能

解析：如图正方体中：AB与BC相交；AB与CD异面；AE∥CD.

答案：D

5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（ ）

A.2对 B.3对 C.6对 D.12对

解析：长方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1成异面直线的棱有：BB1；BC；A1B1；A1D1；DD1；DC.

答案：C

6四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB的中点，若EF与PA、BC成的角分别为α、β，则α+β等于（ ）

A.30° B.60° C.90° D.45°

解析：如图取PB的中点D，连结DE、DF.

∵E、F分别为PC、AB中点，∴DF∥PA,DE∥BC.

∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,

∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.

答案：C

7“a、b是异面直线”是指（ ）

① a∩b=word/media/image5_1.png且a不平行于b ② a平面α，b平面β且a∩b=word/media/image5_1.png ③ a平面α，b平面α④不存在平面α，使aα且bα成立

A.①② B.①③

C.①④ D.③④

解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内，即它们既不平行，也不相交，应选①④.

答案：C

8如图，已知不共面的直线a、b、c相交于O点，M、P是直线a上的两点，N、Q分别是直线b、c上的一点.

求证：MN和PQ是异面直线.

证明：假设MN和PQ共面于α，则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,

∴aα,又a∩b=O,

∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,

∴bα,

∴a与b都在平面α内，同理，可证C也在α内，与a,b,c不共面矛盾.

所以假设错误，故MN与PQ是异面直线.

综合应用

9把两条异面直线看成“一对”，正六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对.

解析：如图，若成异面直线，则必是底边与侧棱各取一条，在底面上任取一条，如AB其异面直线为PF，PE，PD，PC共4对，

∴4×6=24对.

答案：24

10一条直线和这条直线外不共线的三个点，能够确定平面的个数是（ ）

A.1 B.4 C.3 D.1或3或4

解析：有三种情况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别组成平面，则有三个；③在②的基础上，这三个点确定一个面，则有４个.选D.

答案：D

11已知:a、b是异面直线，a上有两点A、B，距离为8，b上有两点C、D，距离为6，BD、AC的中点分别为M、N，且MN=5，求证：a⊥b.

证明：如图所示，连结BC，取BC的中点P，连MP、NP.

在四边形ABCD中，MP是中位线，

∴MP∥DC,且MP=DC=3.同理，NP∥AB且NP=AB=4,

在△PMN中，∵MP2+NP2=42+32=52=MN2,

∴MP⊥NP,即MP和NP所成的角为90°.

∴MP∥CD,NP∥AB,

∴MP和NP所成的角等于a,b所成的角,

∴a,b所成的角为90°，∴a⊥b.

拓展探究

12如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证：

（1）D、B、F、E四点共面；

（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线.

证明：（1）∵EF是△C1D1B1的中位线，

∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD,

∴EF∥BD,

∴EF和BD可确定一个平面，即D、B、E、F四点共面.

（2）正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α,

又设平面DBFE为β.

∵Q∈A1C1,∴Q∈α.

又Q∈EF,∴Q∈β.∴Q是α与β的公共点.

同理，P点也是α与β的公共点，

∴α∩β=PQ.又∵A1C∩β=R,

∴R∈α.又∵R∈β,∴R∈α∩β=PQ.

故P、Q、R三点共线.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/f0d24635dc88d0d233d4b14e852458fb770b388b.html