2019 年河南省洛阳市洛龙区六校联考中考数学二模试卷
1．在下列各数中，比大的数是（ ）
A．
B．π C．0 D．
2．3 月 1 日，国家统计局公布了 31 省份 2018 年 GDP 数据，其中，河南省 2018 年 GDP 总量约为
4.8 万亿元，位居全国第五，数据“4.8 万亿”用科学记数法表示为（ ）
A．4.8×1013 B．48×1011 C．4.8×1012 D．4.8×1011
3. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C．
D．
4. 如图，a∥b，A、B 为直线 a、b 上的两点，且 AB⊥BC，∠BAC＝30°，则∠1 与∠2 的度数之和为（ ）
A．60° B．90° C．30° D．120°
5. 下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．（﹣3xy3）2＝9x2y5 D．
6. 不等式组 的整数解之和为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 7．一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2 的根的情况是（ ）
A．方程没有实数根 B．方程有两个相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根
D．方程的根是 1、﹣5 和
8．2019 年 2 月 9 日国际滑联四大洲花样滑冰锦标赛的花滑短节目比赛中，中国选手的得分为 74.19 分，当天比赛的其他四组选手的得分分别为 61.91 分、66.34 分、61.71 分、57.38 分，则这 5 组数据的平均数、中位数分别是（ ）
A．61.835 分、66.34 分 B．61.835 分、61.91 分
C．64.306 分、66.34 分 D．64.306 分、61.91 分
9. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是等腰三角形，∠OBA＝120°，位于第一象限，点 A 的坐标是（
，
），将△OAB 绕点 O 旋转 30°得到△OA1B1，则点 A1 的坐标是（ ）
A．（，
） B．（
，﹣
）
C．（，
）或（3，0） D．（
，
）或（
，﹣
）
10. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB＝BC，点 M 从点 D 出发，沿 D→C→A 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 A，图 2 是点 M 运动时，△MAB 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的关系图象， 则边 AB 的长为（ ）cm．
A．
B． C．
D．
11．计算： ＝ ．
12. 如图，分别以 AB 的两个端点 A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点 P、Q
作，直线 PQ 交 AB 于点 C，在 CP 上截取 CD＝AC，过点 D 作 DE∥AC，使 DE＝AC，连接 AD、BE
，当 AD＝1 时，四边形 DCBE 的面积是 ．
13. 在九张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于 2 的概率是 ．
14. 如图，O 是圆心，半圆 O 的直径 AB＝2，点 C 在上，
＝3
，连接 BC，则图中阴影部分
word/media/image32.gif的面积是 ．
15. word/media/image32.gif
如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，点 M 是 BC 边上的一个动点（点 M 不与点 B、C 重合），BM＝x，将△ABM 沿着 AM 折叠，使点 B 落在射线 MP 上的点 B′处，点 E 是 CD 边上一点，CE＝y，将△CME 沿 ME 折叠，使点 C 也落在射线 MP 上的点 C′处，当 y 取最大值时，△ C′ME 的 面 积 为 ．
16. 先化简，再求值：
，其中 ．
17．（9 分）据最新统计显示，中国人口约为 13901 亿，河南省人口约为 955913 万，全国在用姓氏共计 6150 个，《户籍人口数据超过千万的姓氏表》中排在前 20 的姓氏和户籍人口数据如表：
表一：
表二：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2） 请补全频数分布直方图；
（3） 请估计河南省户籍人口中，姓氏为王的有多少万人？
18．（9 分）如图，AB 为⊙O 的直径，点 D、E 位于 AB 两侧的半圆上，射线 DC 切⊙O 于点 D，已知点 E 是半圆弧 AB 上的动点，点 F 是射线 DC 上的动点，连接 DE、AE，DE 与 AB 交于点 P， 再连接 FP、FB，且∠AED＝45°．
（1） 求证：CD∥AB；
（2） 填空：
①当∠DAE＝ 时，四边形 ADFP 是菱形；
②当∠DAE＝ 时，四边形 BFDP 是正方形．
19．（9 分）如图，滑翔运动员在空中测量某寺院标志性高塔“云端塔”的高度，空中的点 P 距水平地面 BE 的距离为 200 米，从点 P 观测塔顶 A 的俯角为 33°，以相同高度继续向前飞行 120 米到达点 C，在 C 处观测点 A 的俯角是 60°，求这座塔 AB 的高度（结果精确到 1 米）．（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65， ≈1.41）
20．（10 分）如图，在 Rt△ABO 中，∠OAB＝90°，点 A 在 y 轴正半轴上，AB＝OA，点 B 的坐标为（x，3），点 D 是 OB 上的一个动点，反比例函数
的图象经过点 D，交 AB 于点 C，连接 CD．
（1） 当点 D 是 OB 的中点时，求反比例函数的解析式；
（2） 当点 D 到 y 轴的距离为 1 时，求△CDB 的面积．
21．（10 分）某新型高科技商品，每件的售价比进价多 6 元，5 件的进价相当于 4 件的售价，每天可售出 200 件，经市场调查发现，如果每件商品涨价 1 元，每天就会少卖 5 件．
（1） 该商品的售价和进价分别是多少元？
（2） 设每天的销售利润为 w 元，每件商品涨价 x 元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
（3） 为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：方案一：每件商品涨价不超过 8 元； 方案二：每件商品的利润至少为 24 元，请比较哪种方案的销售利润更高，并说明理由．
22．（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，以点 O 为顶点的∠EOF 的两边分别与边 AB、AD 交于点 E、F，且∠EOF 与∠BAD 互补．
（1） 若四边形 ABCD 是正方形，则线段 OE 与 OF 有何数量关系？请直接写出结论；
（2） 若四边形 ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明； 若不成立，请说明理由；
（3） 若 AB：AD＝m：n，探索线段 OE 与 OF 的数量关系，并证明你的结论．
23．（10 分）如图，已知抛物线 y＝ax2+4x+c 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P，OM＝1，ON＝5．
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 点 A 是 y 轴正半轴上一动点，点 B 是抛物线对称轴上的任意一点，连接 AB、AM、BM，且 AB⊥AM．
①AO 为何值时，△ABM∽△OMN，请说明理由；
②若 Rt△ABM 中有一边的长等于 MP 时，请直接写出点 A 的坐标．
2019 年河南省洛阳市洛龙区六校联考中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
1. 【分析】根据对的估计解答即可．
【解答】解：∵，
∴π＞， 故选：B．
【点评】考查实数的比较；用到的知识点为：0 大于一切负数；正数大于 0；注意应熟记常见无理数的约值．
2. 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：4.8 万亿＝4.8×1012， 故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|
＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
3. 【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可．
【解答】解：从上往下看，可以看到选项 C 所示的图形． 故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
4. 【分析】如图，作 CE∥直线 a，首先证明∠1+∠2＝∠ACB，求出∠ACB 即可．
【解答】解：如图，作 CE∥直线 a，
∵a∥b，
∴CE∥b，
∴∠1＝∠ACE，∠2＝∠ECB，
∴∠ACB＝∠1+∠2，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠1+∠2＝60°． 故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5. 【分析】利用二次根式的加减法对 A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 B 进行判断；利用积的乘方和幂的乘方对 C 进行判断；根据约分对 D 进行判断．
【解答】解：A、原式＝2﹣
，所以 A 选项错误；
B、原式＝＝3
，所以 B 选项错误；
A、原式＝9x2y6，所以 C 选项错误；
A、原式＝＝
，所以 D 选项正确． 故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．也考查了整式的运算．
6. 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．
【解答】解：解不等式 x﹣1＞2（x﹣2），得：x＜3，
解不等式 x≤+2，得：x≥1， 则不等式组的解集为 1≤x＜3，
∴不等式组的整数解为 1、2，
∴不等式组整数解之和为 1+2＝3， 故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7. 【分析】把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式△的符号，即可判断根的情
况．
【解答】解：∵原方程可化为 x2+x﹣7＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣7，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③ 当△＜0 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
8. 【分析】根据平均数和中位数的定义分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：这 5 组数据的平均数是：（74.19+61.91+66.34+61.71+57.38）÷5＝64.306（分）； 把这些数从小到大排列为：57.38 分、61.71 分、61.91 分、66.34 分、74.19 分，最中间的数是 61.91 分，
则这 5 组数据的中位数是 61.91 分； 故选：D．
【点评】本题考查的是平均数和中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
9. 【分析】两个勾股定理求出 OA 的长，分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：如图，
word/media/image55.gif＝3，
∵BA＝BO，∠ABO＝120°，
∴∠AOB＝30°，
∴△OAB 绕点 O 旋转 30°得到△OA1B1，则点 A1 的坐标是（，
）或（3，0）， 故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10. 【分析】先由图 2 分析计算出 DC，AB，BC，AC 的长，及三角形 MAB 的面积；易判定平行四边形 ABCD 为菱形，从而其对角线垂直，从而连接对角线，得直角三角形，利用勾股定理建立方程，从而求得 a 值，进而得 AB 的长．
【解答】解：由图 2 可知，点 M 从点 D 到点 C 时，△MAB 的面积一直为 a，
∴DC＝a，AB＝BC＝a，S△MAB＝a，
当点 M 从点 C 运动到点 A 时，S△MAB 逐渐减小，直到为 0，
∴AC＝a+ ﹣a＝
， 连接 BD，交 AC 于点 O，
∵AB＝BC，
∴平行四边形 ABCD 为菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO＝CO＝
＝
，BO＝ ＝
，
∵S△MAB＝a，
∴＝a，即
•
＝a， 解得 a＝
或﹣
（舍）．
∴边 AB 的长为cm． 故选：A．
【点评】本题是动点函数图象问题，需要数形结合，分析出相关线段的长，以及△MAB 的面积， 然后以勾股定理建立方程得解，本题综合性较强，难度中等偏上．
11. 【分析】根据实数的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1×1
＝，
故答案为：
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．
12. 【分析】首先证明四边形 DCBE 是矩形，求出 DC，BC 即可．
【解答】解：由作图可知：DC⊥AB，
∵AC＝CD，∠ACD＝90°，AD＝1，
∴AC＝DC＝BC＝ ，
∵DE＝AC＝BC，DE∥BC，
∴四边形 DCBE 是平行四边形，
∵∠DCB＝90°，
∴四边形 DCBE 是矩形，
∴四边形 DCBE 的面积＝CD•CB＝×
＝
， 故答案为
．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13. 【分析】让绝对值不大于 2 的数的个数除以数的总数即为所抽卡片上数字的绝对值小于 2 的概率．
【解答】解：∵数的总个数有 9 个，绝对值不大于 2 的数有﹣2，﹣1，0，1，2 共 5 个，
∴任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不大于 2 的概率是． 故答案为
．
【点评】本题考查概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到绝对值不大于 2 的数的个数是解决本题的易错点．
14. 【分析】连接 OC，作 CD⊥AB 于 D，根据题意求出∠BOC 和∠AOC，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：连接 OC，作 CD⊥AB 于 D，
∵＝3
，
word/media/image72.gif∴∠BOC＝135°，∠AOC＝45°， 则 CD＝OC•sin∠AOC＝ ，
∴阴影部分的面积＝ ﹣
×1×
＝
﹣
，
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝ 是解题的关键．
15. 【分析】由折叠的性质得：∠AMB'＝∠AMB，∠EMC'＝∠EMC，得出∠AME＝90°，∠AMB+
∠EMC＝90°，得出∠BAM＝∠EMC，证出△ABM∽△MCE，得出 ＝
，即
＝
，求出 y＝﹣
x2+
x＝﹣
（x﹣
）2+
，当 x＝
时，y 取最大值
，即 CE＝
，由三角形面积公式即可得出△C'ME 的面积．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠AMB+∠BAM＝90°，
由折叠的性质得：∠AMB'＝∠AMB，∠EMC'＝∠EMC，
∵∠AMB'+∠AMB+∠EMC'+∠EMC＝180°，
∴∠AME＝90°，∠AMB+∠EMC＝90°，
∴∠BAM＝∠EMC，
∴△ABM∽△MCE，
∴＝
，即
＝
，
∴y＝﹣x2+
x＝﹣
（x﹣
）2+
，
当 x＝，即 BM＝
，CM＝BC﹣BM＝
时，y 取最大值
，即 CE＝
， 此时△C'ME 的面积＝△CME 的面积＝
×
×
＝
；
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
16. 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ ÷
＝
•
＝，
当 a＝
时， 原式＝
＝﹣2﹣．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
17. 【分析】（1）根据表中信息即可得到结论；
（2） 根据题意补全频数分布直方图即可；
（3） 根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）根据表中信息得，a＝2，b＝3， 故答案为 2，3；
（2）补全频数分布直方图如图所示；
（3）955913×≈69.797（万人），
答：估计河南省户籍人口中，姓氏为王的有 69.797 万人．
【点评】本题考查了频数分布直方图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18. 【分析】（1）要证明 CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD 即可，根据题目中的条件可以证明∠ ODF＝∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据四边形 ADFP 是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE 的度数；
②根据四边形 BFDP 是正方形，可以求得∠DAE 的度数．
【解答】（1）证明：连接 OD，如右图所示，
∵射线 DC 切⊙O 于点 D，
∴OD⊥CD，
即∠ODF＝90°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AOD＝2∠AED＝90°，
∴∠ODF＝∠AOD，
∴CD∥AB；
（2）①连接 AF 与 DP 交于点 G，如右上图所示，
∵四边形 ADFP 是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，
∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，
∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，
∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，
∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，
故答案为：67.5°；
②∵四边形 BFDP 是正方形，
∴BF＝FD＝DP＝PB，
∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，
∴此时点 P 与点 O 重合，
∴此时 DE 是直径，
∴∠EAD＝90°， 故答案为：90°．
【点评】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意
，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．
19. 【分析】根据∠ACD＝60°，求得 CD＝AD•cot60°＝AD≈0.58AD，从而求得 PD＝PC+CD
＝120+0.58AD，根据∠APD＝33°，可得 AD＝PD•tan33°，利用正切函数可求出 AD 的长，进而求得 AB 的长．
【解答】解：∵∠ACD＝60°，
∴CD＝AD•cot60°＝ AD≈0.58AD，
∵PC＝120
∴PD＝PC+CD＝120+0.58AD，
∵∠APD＝33°，
∴AD＝PD•tan33°，
∴AD＝（120+0.58AD）0.65，
∴AD＝126（米），
∴AB＝200﹣126＝74 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
20. 【分析】（1）易求得 B 的坐标，进而求得 D 的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）求得 D 点的坐标，然后求得解析式，进而求得 C 点的坐标，即可求得 BC，然后利根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：在 Rt△ABO 中，∠OAB＝90°，点 B 的坐标为（x，3），
∴OA＝3，AB＝x，
∵AB＝ OA＝4，
∴B（4，3），
∵点 D 是 OB 的中点，
∴D 点坐标为（2，），
∵反比例函数的图象经过点 D，
∴k＝2×＝3，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）设直线 OB 的解析式为 y＝ax，
∵B（4，3），
∴3＝4a，解得，a＝，
∴直线 OB 的解析式为 y＝x，
∵点 D 到 y 轴的距离为 1，
∴D 点的横坐标为 1，代入 y＝x 得，y＝
，
∴D（1，），
∵反比例函数的图象经过点 D，
∴k＝1×＝
，
∴反比例函数的解析式为：y＝， 把 y＝3 代入得，3＝
，
解得 x＝，
∴C（，3），
∴BC＝3﹣ ＝
，
∴S△CDB＝×
（3﹣
）＝
．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质；求得 D 点的坐标是解题的关键．
21. 【分析】（1）根据题目，设出未知数，列出二元一次方程组即可解答；
（2） 根据题目：利润＝每件利润×销售数量，列出二次函数，根据二次函数的最值问题，即可求出最大利润；
（3） 分别根据两种方案，算出他们的最大利润，然后进行比较．
【解答】解：（1）该商品的售价 x 元，进价为 y 元，由题意得：
，解得
，
故商品的售价 30 元，进价为 24 元．
（2）由题意得：w＝（30+x﹣24）（200﹣5x）＝﹣5（x﹣17）2+2645，
当每件商品涨价 17 元，即售价 30+17＝47 元时，商品的销售利润最大，最大为 2645 元．
（3）方案一：每件商品涨价不超过 8 元，a＝﹣5＜0，
故当 x＝8 时，利润最大，最大利润为 w＝﹣5（8﹣17）2+2645＝2240 元；
方案二：每件商品的利润至少为 24 元，即每件的售价应涨价：30+x﹣24≥24，解得 x≥18，a＝﹣
5＜0，
故当 a＝18 时，利润最大，最大利润为 w＝﹣5（18﹣17）2+2645＝2640 元．
∵2640＞2240，∴方案二的销售利润最高．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握实际问题模型是解答此题的关键．
22. 【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出∠MON＝∠EOF，再判断出 OM＝ON，进而得出△ OME≌△ONF（AAS），即可得出结论；
（2） 同（1）的方法即可得出结论；
（3） 先用同角的余角相等判断出∠GOH＝∠EOF，进而得出△EOG∽△FOH，即 ，再用 S△AOB＝S△AOD，得出 AB•OG＝AD•OH，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图 1，过点 O 作 OM⊥AB 于 M，ON⊥AD 于 N，
∴∠OME＝∠ONF＝90°，
∴∠BAD+∠MON＝180°，
∵∠BAD+∠EOF＝180°，
∴∠MON＝∠EOF，
∴∠EOM＝∠FOM，
∵O 是正方形 ABCD 的对角线的交点，
∴∠BAO＝∠DAO，
∵OM⊥AB，ON⊥AD，
∴OM＝ON，
∴OE＝OF；
（2）（1）的结论成立；
理由：如图 2，过点 O 作 OM⊥AB 于 M，ON⊥AD 于 N，
∴∠OME＝∠ONF＝90°，
∴∠BAD+∠MON＝180°，
∵∠BAD+∠EOF＝180°，
∴∠MON＝∠EOF，
∴∠EOM＝∠FOM，
∵O 是菱形 ABCD 的对角线的交点，
∴∠BAO＝∠DAO，
∵OM⊥AB，ON⊥AD，
∴OM＝ON，
∴OE＝OF；
（3）如图 3，
过点 O 作 OG⊥AB 于 G，OH⊥AD 于 H，
∴∠OGE＝∠OHF＝90°，
∴∠BAD+∠GOH＝180°，
∵∠BAD+∠EOF＝180°，
∴∠GOH＝∠EOF，
∴△EOG∽△FOH，
∴，
∵O 是▱ABCD 的对角线的交点，
∴S△AOB＝S△AOD，
∵S△AOB＝ AB•OG，S△AOD＝
AD•OH，
∴AB•OG＝AD•OH，
∴
＝
，
∴ ．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出全等三角形和相似三角形是解本题的关键．
23. 【分析】（1）将 M、N 的坐标代入列方程组求出 a，c 的值即可；
（2）①设 A（0，m），用 m 的代数式分别表示 AB、AM，然后△ABM∽△OMN 列出等式求出 m
的值；
②分 3 种情况讨论Ⅰ．当 AB＝MP＝3 时，Ⅱ．当 AM＝MP＝3 时，Ⅲ．当 BM＝MP＝3 时，分别求出 m 的值．
【解答】解：（1）∵OM＝1，ON＝5，
∴M（﹣1，0），N（0，5），
将 M（﹣1，0），N（0，5）代入 y＝ax2+4x+c，
，
a＝﹣1，c＝5，
抛物线的表达式为 y＝﹣x2+4x+5；
（2）①AO 为 10 时，△ABM∽△OMN．理由如下： 设 A（0，m），则 OA＝m，AM＝，
∵kAM＝m，AB⊥AM，
∴kAB＝﹣
，
∴直线 AB 表达式：y＝ ，
∵抛物线 y＝﹣x2+4x+5 对称轴：直线 x＝2，
∴B（2，），
∴AB＝
∵△ABM∽△OMN，
∴
，
＝，
化简，得 m4﹣99m2﹣100＝0，
（m2﹣100）（m2+1）＝0，
∵m2+1≠0，
∴m2﹣100＝0，
∴m＝10 或﹣10（舍去）
AO＝10，即 AO 为 10 时，△ABM∽△OMN．
②A 的坐标为（0，
）或（0， ）或（0， ）．
∵M（﹣1，0），P（2，0），
∴MP＝2﹣（﹣1）＝3
Ⅰ．当 AB＝MP＝3 时，AB＝＝3， 解得 m＝
或
（舍去）
Ⅱ．当 AM＝MP＝3 时，AM＝＝3， 解得 m＝
或
（舍去）
Ⅲ．当 BM＝MP＝3 时，BM＝＝3
m＝或﹣
（舍去），
故求得符合条件的 A 的坐标为（0，
）或（0， ）或（0， ）．
【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
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