3．3.1& 3.3.2 几何概型 均匀随机数的产生
(1)什么是几何概型？
(2)几何概型的两大特点是什么？
(3)几何概型的概率计算公式是什么？
(4)均匀随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果有无限多个．
(2)每个结果出现的可能性相等．
3．几何概型概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：
P(A)＝.
4．均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．
(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand(_)”．
5．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)计算机模拟的方法：用Excel的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
1.一个靶子如右图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选A 阴影部分对应的圆心角度数和为60°，所以飞镖落在阴影内的概率为＝
，飞镖落在阴影内的次数约为30×
＝5.
2．已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一个元素x，则x∈M∩N的概率是( )
A. B.
C.
D.
解析：选B 因为N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6}，所以M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率为＝
.
3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是
，则小狗图案的面积是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设小狗图案的面积为S1，圆的面积S＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得＝
，得S1＝
.故选D.
4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为＝
.
答案：
[典例] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
(2)某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率．
[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.
答案：
(2)解：设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．
∴P(A)＝＝
＝
，
即该乘客等车时间超过10 min的概率是.
1．解几何概型概率问题的一般步骤
(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；
(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；
(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；
(4)利用概率公式计算．
2．与长度有关的几何概型问题的计算公式
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
[活学活用]
一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；
(2)黄灯亮；
(3)不是红灯亮．
解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝
＝
.
(2)P＝＝
＝
.
(3)法一：P＝＝
＝
＝
.
法二：P＝1－P(红灯亮)＝1－＝
.
[典例] (1)(福建高考)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝
的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A. B.
C. D.
(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[解析] (1)依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×3×1＝
，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝
＝
＝
，故选B.
(2)先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×
π×13＝
π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：
＝
，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－
＝
.
[答案] (1)B (2)
1．与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
2．与体积有关的几何概型概率的求法
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
[活学活用]
1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝.球的体积V2＝
πR3＝
π.则此点落在正方体内的概率为P＝
＝
＝
.
2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝
＝
.
[典例] 解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m，宽为14 m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m、2 m、5 m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
[解] 设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．
(3)统计满足－8<a<8，－7<b<7的点(a，b)的个数N.满足1<a2＋b2<4的点(a，b)的个数N1.
(4)计算频率fn(A)＝即为所求概率的近似值．
用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别
(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．
[活学活用]
现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．
解：(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N组)；
(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，
b＝2(b1－0.5)；
(3)数出满足不等式b＜2a－，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈
.
可以发现，试验次数越多，概率P越接近.
[层级一 学业水平达标]
1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的
＝
，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为
，故选C.
2.如图所示，在一个边长为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与
，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C S矩形＝ab，S梯形＝b＝
ab.
故所投的点在梯形内部的概率为P＝＝
＝
.
3．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间
上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为________．
解析：欲使f(x)＝log2x≥0，
则x≥1，而x∈，∴x0∈[1,2]，
从而由几何概型概率公式知所求概率P＝＝
.
答案：
4．已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC<VSABC的概率是________．
解析：由VPABC<VSABC知，P点在三棱锥SABC的中截面A0B0C0的下方，P＝1－
＝1－
＝
.
答案：
[层级二 应试能力达标]
1.如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT内的概率P＝
＝
，故选A.
2.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C △ABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型知，点Q取自△ABE内部的概率为
.
3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D．1－
解析：选D S扇形＝×π×22＝π，
S阴影＝S扇形－S△OAB＝π－×2×2＝π－2，
∴P＝
＝1－
.
4.如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )
A. B.
C.
D.
解析：选C 如图，当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝60°，由圆的对称性及几何概型得P＝＝
.故选C.
5．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．
解析：由于方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根，
∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤，
又n∈(0,1)，∴有实根的概率为P＝＝
.
答案：
6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．
解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，
则P(A)＝＝0.005.
答案：0.005
7．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________
解析：点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．
P＝＝
π.
答案：
π
8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
解：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为×π×1222 cm2的大圆内，而当中靶点落在面积为
×π×12.22 cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为P(B)＝
＝0.01.
即“射中黄心”的概率是0.01.
9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为2，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.
故所求概率为P＝＝
.
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中随机事件的个数为( )
①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点；
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；
③某人买彩票中奖；
④已经有一个女儿，第二次生男孩；
⑤在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾，是不可能事件．故选C.
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个黑球与都是红球
B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
解析：选D A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D.
3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故P＝＝
.
4．在正方体ABCDA1B1C1D1中随机取一点，则点落在四棱锥OABCD内(O为正方体的对角线的交点)的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设正方体的体积为V，则四棱锥OABCD的体积为，所求概率为
＝
.
5．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m，故灯与两端距离都大于2 m的概率为＝
.
6．从的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合
的子集的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 符合要求的是∅，，
，
，
，
，
，
共8个，而集合
共有子集25＝32个，∴P＝
.
7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，那么点P在圆x2＋y2＝17内部的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 点P(m，n)的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P在圆x2＋y2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为.
8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为＝
.故选D.
9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为.
10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P(A)＝＝
.
11．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝.
12．设一元二次方程x2＋Bx＋C＝0，若B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B2－4C≥0，显然B≠1.当B＝2时，C＝1(1种)；当B＝3时，C＝1,2(2种)；当B＝4时，C＝1,2,3,4(4种)；当B＝5时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B＝6时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．
解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知≈
，即
≈
，解得π≈3.104.
答案：3.104
14．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．
解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷＝300(人)．
采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝
.
答案：
15．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是________．
解析：连接AC交弧DE于点F，∠BAC＝30°，
P＝＝
.
答案：
16．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧
长为2，点B落在优弧
上就能使劣弧
的长度小于1，所以劣弧
的长度小于1的概率为
.
答案：
三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：
(1)求次品出现的频率；
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？
解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.
(2)当n充分大时，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)≈0.05.
(3)设进货衬衣x件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x≥1 000，得x≥1 053.
∴至少需进货1 053件衬衣．
18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝
.
(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．
解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.
从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．
设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．
故所求的概率P(A)＝＝0.4.
20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；
(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．
解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为.
(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为.
21．(本小题满分12分)一条笔直街道上的A，B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C，D，路灯次序为A，C，D，B，求A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率．
解：设A与C之间的距离为x米，B与D之间的距离为y米，(x，y)可以看成平面中的点，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，(x，y)的所有可能结果构成的区域为Ω＝{(x，y)|0<x＋y<120，x>0，y>0}，即两直角边边长都为120米的等腰直角三角形区域(不包括边界)．而“A与C，B与D之间的距离都不小于40米”(记为事件M)的所有可能结果构成的区域为M＝{(x，y)|x≥40，y≥40，(x，y)∈Ω}，即图中的阴影部分．
由几何概型的概率计算公式得P(M)＝＝
.故A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率为
.
22.(本小题满分12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
＝
，
所以样本中包含三个地区的个数数量分别是
50×＝1,150×
＝3,100×
＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/eb048a73294ac850ad02de80d4d8d15abf2300c4.html
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