铅锤高求三角形面积法

发布时间：2015-12-10 20:11:56 来源：文档文库

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作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法

------------二次函数教学反思

最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

解：（1）B（1，）

（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1,），得，因此

（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.

设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1， /3）.

（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.

当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.

例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)设抛物线的解析式为：把A（3,0）代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为把，代入中解得：所以

(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2 (平方单位)

(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则由S△PAB=S△CAB得化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为

例3．（2015江津）如图，抛物线word/media/image34_1.png与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得∴

∴抛物线解析式为：

(2)存在。理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称

∴直线BC与的交点即为Q点，此时△AQC周长最小 ∵

∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解

∴∴Q(－1，2)

（3）答：存在。理由如下：

设P点∵若有最大值，则就最大，∴

＝＝

当时，最大值＝ ∴最大＝

当时，∴点P坐标为

同学们可以做以下练习：

1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。

（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（，）；

（2）若P，A两点在抛物线y=－x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．（湖北省十堰市2014）如图①，已知抛物线word/media/image61_1.png（a≠0）与word/media/image62_1.png轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与word/media/image62_1.png轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

图① 图②

3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数word/media/image64_1.png的图象与x轴交于A、B

两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，

点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPword/media/image65_1.pngC，那么是否存在点P，使四边形POPword/media/image65_1.pngC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

解：（1）将B、C两点的坐标代入得word/media/image68_1.png

解得：word/media/image69_1.png 所以二次函数的表达式为：word/media/image70_1.png

（2）存在点P，使四边形POPword/media/image65_1.pngC为菱形．设P点坐标为（x，word/media/image72_1.png），PPword/media/image65_1.png交CO于E若四边形POPword/media/image65_1.pngC是菱形，则有PC＝PO．

连结PPword/media/image65_1.png 则PE⊥CO于E，∴OE=EC=word/media/image73_1.png word/media/image74_1.png=word/media/image75_1.png．

∴word/media/image72_1.png=word/media/image76_1.png 解得word/media/image77_1.png=word/media/image78_1.png，word/media/image79_1.png=word/media/image80_1.png（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为（word/media/image78_1.png，word/media/image76_1.png）

（3）过点P作word/media/image81_1.png轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，word/media/image72_1.png），易得，直线BC的解析式为word/media/image82_1.png则Q点的坐标为（x，x－3）.