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数学试卷
第Ⅰ卷
一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）
1、若集合，则集合
的圆度个数为
2、设为虚数单位，则复数
的模为
3、某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为
，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为
4、已知等差数列中，
，则公差
5、执行下面的算法流程图，则输出的
6、函数的最小值为
7、设向量，若
三点共线，
则
8、某办公室刚装修一新，放些植物花草可以消除异味，公式提供绿萝、
文竹、碧玉、芦荟4中植物供员工选择，每个员工只能任选1种，则员工甲和乙选择的植物不同的
概率为
9、过原点且与直线平行的直线
被圆
所截得的弦长为
10、右图为平面中两个全等的直角三角形，将这两个三角形绕着它们的对称轴（虚线所在的直线）旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为
11、离心率为2的双曲线上一点
到左右
焦点的距离之和为10，则
12、已知定义在R上的偶函数在
上递减，
若不等式对
恒成立，则实数
的取值范围为
13、记表示
中较小的数，比如
，设函数
，若
（
互不相等）则
的取值范围为
14、在中，
，且
的面积为
，则
边上的高的最大值为
二、解答题：本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、（本小题满分14分）
已知
（1）求的值；
（2）求的值。
16、（本小题满分14分）
如图，在四棱柱
中，
底面
分别为
的中点，
与
交于点G。
（1）证明：平面平面
；
（2）证明：平面
。
17、（本小题满分14分）
如图，在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路垂直，ABC
路灯C采用锥形灯罩，射出的冠县如图阴影部分所示，已知
，路宽
，设灯柱高
（1）求灯柱的高（用
表示）；
（2）若灯杆BC与扥灯柱AB所用材料相同，记所用材料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值。
18、（本小题满分16分）
设椭圆，其中
。
（1）若椭圆M的焦点为，且
为M 上一点，求
的值；
（2）如图所示，A是椭圆上一点，且A在第二象限，A与B关于原点对称，C在上，且AC与
轴垂直，若
的面积为4.
①求椭圆M的方程；
②若直线与椭圆M 交于
，且四边形
为平行四边形，
求直线的方程。
19、（本小题满分16分）
已知函数为常数）的图象在
处的切线方程为
。
（1）判断函数的单调性；
（2）已知，且
，若对任意
，任意
，
与
中恰有一个恒成立，求实数
的取值范围。
20、（本小题满分16分）
已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前
项的最大值记为A，第
项之后各项
的最小值记为
。
（1）若满足
，当
时，
，写出
的值；
（2）设是非负整数，证明：
的充分必要条件为
是公差为
的等差数列；
（3）若的通项公式为
，求数列
的前
项和
。
数学附加题试卷
考生注意：
21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
A[选修4-1：几何证明选讲] （本小题满分10分）
如图，P是直径AB的延长线上一点，过点P作圆的切线，切点为C，连接AC，若
，
求证：
B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵，向量
，
，若
，求
的最大值。
C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
已知抛物线M的参数方程为为参数）在直角坐标系
中，以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆N的方程为
，求过抛物线M的焦点和圆N的直线的直角坐标方程。
D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
解不等式
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写画出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱底面
。
（1）求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值；
（2）求二面角A-PQ-B的余弦值。
23、（本小题满分10分）
已知数列满足
且
，记集合
。
（1）若，写出数列
的前7项；
（2）若，集合M存在一个元素都是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数。
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