2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科预测试题（北京卷含答案）

2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学理科预测试题（北京卷）

（满分150分，考试时间120分）

第Ⅰ卷（选择题 40分）

1、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1、设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－2y＝3}，则满足M?(A∩B)的集合M的个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

2、下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是(　　)

A．y＝x2　　　　　　　　 B．y＝2|x|

C．y＝log2 D．y＝sin x

3、曲线与坐标轴的交点是（ ）

A． B．

C． D．

4、程序框图如下图所示，当时，输出的的值为（ ）

A．20 B．22 C．24 D．25

5、设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6、设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是(　　)

A．[1,2] B．[1,4]

C．[，2] D．[2,4]

7、一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为(　　)

A.＋ B.＋

C.＋ D.＋

8、定义区间(a，b)，[a，b)，(a，b]，[a，b]的长度均为d＝b－a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1,2)∪[3,5)的长度d＝(2－1)＋(5－3)＝3.用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x－[x]，其中x∈R.设f(x)＝[x]·{x}，g(x)＝x－1，当0≤x≤k时，不等式f(x)＜g(x)的解集区间的长度为5，则k＝(　　)

A．6　　　　　　　　　　 B．7

C．8 D．9

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸上.）

9、已知，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为

10、已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为________________．

11、直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________________．

12、在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n＝8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为________．

13、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有________________．

14、已知函数f(x)＝3sin (ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的值域是________．

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15.（本小题满分13分）已知向量．记

(I)求的周期；

(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a—c)B=b， 若，试判断ABC的形状．

16、（本小题满分13分）某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人．

(1)求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率；

(2)设拳击社团有X名女生被抽出，求X的分布列．

17、（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，E，F分别为PC，BC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：平面PAB⊥平面PDC；

(3)在线段AB上是否存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为？说明理由．

18、（本小题满分13分）已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.

(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；

(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．

19、（本小题满分14分）(2015·衡水中学二调)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点在该椭圆上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．

20、（本小题满分13分）

设函数F(x)在区间D上的导函数为F1(x)，F1(x)在区间D上的导函数为F2(x)，如果当x∈D时，F2(x)≥0，则称F(x)在区间D上是下凸函数．已知e是自然对数的底数，f(x)＝ex－ax3＋3x－6.

(1)若f(x)在[0，＋∞)上是下凸函数，求a的取值范围；

(2)设M(x)＝f(x)＋f(－x)＋12，n是正整数，求证：M(1)M(2)…M(n)＞.

理科答案

选择题

1.解析：选C　由题中集合可知，集合A表示直线x＋y＝1上的点，集合B表示直线x－2y＝3上的点，联立可得A∩B＝{(2，－1)}，M为A∩B的子集，可知M可能为{(2，－1)}，?，所以满足M?(A∩B)的集合M的个数是2，故选C.

2.解析：选C　函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log2＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数．综上所述，选C.

3.解析：选B 当时，，而，即，得与轴的交点为；

当时，，而，即，得与轴的交点为选B

4.【答案解析】 C 解析 ：解：由程序框图可知当k=n时： =

=，解得，所以选C

5.解析：选B　M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，所以N M，故a∈M是a∈N的必要不充分条件．

6.解析：选B　如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．

7.解析：选C　由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA＝OB＝1，AB＝.

又PB⊥平面ABCD，

∴PB⊥BD，PB⊥AB，

∴PD＝＝，PA＝＝，

从而有PA2＋DA2＝PD2，∴PA⊥DA，

∴该几何体的侧面积S＝2×××1＋2×××＝＋.

8.选B　f(x)＝[x]·{x}＝[x]·(x－[x])＝[x]x－[x]2，由f(x)＜g(x)，得[x]x－[x]2＜x－1，即x＜[x]2－1.当x∈(0,1)时，[x]＝0，不等式的解为x＞1，不符合题意；当x∈[1,2)时，[x]＝1，不等式可化为0＜0，无解，不符合题意；当x∈[2，＋∞)时，[x]＞1，不等式([x]－1)x＜[x]2－1等价于x＜[x]＋1，此时不等式恒成立，所以不等式的解集为[2，k]，因为不等式f(x)＜g(x)的解集区间的长度为5，所以k－2＝5，即k＝7，故选B.

填空题

9. 故．

10.解析：(2,0)　＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，

设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，

所以即(2,0)　

11.解析：直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.

直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1.

故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为＋y2＝1.

答案：＋y2＝1

12.解析：由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得

即解得－1<d<－.

答案：

13.解析：选B　根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有A＝360种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作，有A＝60种，乙从事翻译工作，有A＝60种，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360－60－60＝240种．

14.解析：f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，易知ω＝2，则f(x)＝3sin，

∵x∈，∴－≤2x－≤，

∴－≤f(x)≤3.

答案：

15.解

（I）

（Ⅱ 根据正弦定理知：

∵ ∴ 或或

而，所以，因此ABC为等边三角形.……………13分

16.解：(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人，

∴＝，

∴m＝2.

设A为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”，

则P(A)＝＝.

(2)由题意可知：X＝0,1,2，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝＝，

X的分布列为

17.解：(1)证明：如图，连接AC，交BD于点F，底面ABCD为正方形，

F为AC中点，E为PC中点．

所以在△CPA中，EF∥PA.

又PA?平面PAD，EF?平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

(2)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD.

底面ABCD为正方形，CD⊥AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.

又PA?平面PAD，所以CD⊥PA.

又PA＝PD＝AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD.

又CD∩PD＝D，且CD，PD?平面PDC，所以PA⊥平面PDC.

又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.

(3)如图，取AD的中点O，连接OP，OF，因为PA＝PD，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，

而O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB，

又底面ABCD是正方形，故OF⊥AD，

以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，则有A(1，0,0)，C(－1,2,0)，F(0,1,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,1)，若在AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为，连接PG，DG，设G(1，a,0)(0≤a≤2)，

则＝(1,0,1)，＝(－2，－a,0)，由(2)知平面PDC的一个法向量为＝(1,0，－1)，

设平面PGD的法向量为n＝(x，y，z)．

则

即解得

令y＝－2，得n＝(a，－2，－a)，

所以|cos〈n，〉|＝＝＝，

解得a＝.

所以，在线段AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为.

18.解：(1)由已知得f′(x)＝，∴f′(1)＝1＝a，a＝2.

又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.

(2)∵φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数．

∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立．

即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，

则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)，

∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.

故数m的取值范围是(－∞，2]．

19.解：(1)由题意知c＝1,2a＝＋＝4，

a＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)①当直线l⊥x轴时，可取A，B，△AF2B的面积为3，不符合题意．

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，

显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

可得|AB|＝·＝，

又圆F2的半径r＝，

∴△AF2B的面积为|AB|·r＝＝，

代简得：17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，

∴r＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.

20.解：(1)f′(x)＝ex－3ax2＋3，设F1(x)＝f′(x)，则F1′(x)＝ex－6ax.

∵f(x)在[0，＋∞)上是下凸函数，

∴当x∈[0，＋∞)时，F1′(x)＝ex－6ax≥0.

当x＝0时，1≥0成立，即F1′(x)＝ex－6ax≥0成立，此时a∈R.

当x∈(0，＋∞)时，由F1′(x)＝ex－6ax≥0得，a≤.

设H(x)＝，则H′(x)＝＝.

∴当x∈(1，＋∞)时，H′(x)＞0，H(x)单调递增；

当x∈(0,1)时，H′(x)＜0，H(x)单调递减，

∴当x＝1时，H(x)取得最小值H(1)＝e，

∴a≤，∴a的取值范围为.

(2)证明：∵f(x)＝ex－ax3＋3x－6，

∴M(x)＝f(x)＋f(－x)＋12＝ex＋e－x＞0.

∵M(x1)M(x2)＝ex1＋x2＋ex1－x2＋ex2－x1＋e－x1－x2＞ex1＋x2＋ex1－x2＋ex2－x1，

又ex1－x2＋ex2－x1≥2＝2，∴M(x1)M(x2)＞ex1＋x2＋2，

∴M(1)M(n)＞en＋1＋2，M(2)M(n－1)＞en＋1＋2，

M(3)M(n－2)＞en＋1＋2，…，M(n)M(1)＞en＋1＋2，

∴[M(1)M(n)][M(2)M(n－1)]· …·[M(n)M(1)]＞(en＋1＋2)n，

∴M(1)M(2)· …·M(n)＞.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e97d7f6c856a561252d36fe5.html