时间序列

第七章 时间序列分析

第一节 时间序列概述

一、时间序列的概念

将同一空间、不同时间某一现象的统计指标数值，按时间先后顺序排列，就形成时间序列，又称为动态数列。如表7-1。

表7-1 河南省历年国内生产总值（GDP） 单位：亿元

资料来源：当年价GDP取自河南省统计年鉴；可比价GDP为换算结果。 时间序列一般由两个基本要素构成：一是现象所属的时间；二是与时间对应的统计指标数值。

进行时间序列分析的主要目的在于：了解某一现象过去的变动过程；评价当前的经营状况；探索现象发展变化的规律性，为制定未来的决策方案提供依据。

二、时间序列的种类

统计指标分为绝对指标、相对指标和平均指标，相应的，时间序列也可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列。其中：绝对数时间序列是基本序列，相对数（或平均数）时间序列可看作是绝对数时间序列的派生序列。

（一）绝对数时间序列

如果时间序列中的统计指标是绝对指标，这样的序列就称为绝对数时间序列。在绝对数时间序列中，由于指标所反映的时间状况不同，又可分为时期序列和时点序列。

1.时期序列。在绝对数时间序列中，若序列指标反映的是现象在一段时间内发展过程的总量，就是时期数列。表7-1 所列“河南省1991-1998 年国内生产总值”序列就是时期数列。时期序列有如下三个特点：①序列中的每个指标数值一般靠经常性的调查（或登记）取得；②序列中各期指标数值可以连续相加，其和数表示社会经济现象在更长时间内的发展总量；③序列中指标数值的大小与其对应时期的长短有直接关系。

2. 时点序列。在绝对数时间序列中，若序列指标反映的是现象在某一时点上所处的水平，就是时点序列。表7-2所列“河南省1990-1998年年末总人数”序列就是时点序列。时点序列也有三个特点：①序列中的每个指标数值一般靠一次性调查（或登记）取得；②序列中各个时点的指标数值连续累加没有实际的经济意义；③序列中各个指标数值的大小与其对应时点的间隔长短没有直接关系。

表7-2 河南省历年年末总人数 单位：万人

资料来源：河南省统计年鉴

（二）相对数时间序列

时间序列中的统计指标为相对指标的称为相对数时间序列。相对指标按照时间的规定性可分为静态相对指标和动态相对指标，相应的，相对数时间序列也可分为静态相对数时间序列和动态相对数时间序列。

（三）平均数时间序列

时间序列中的统计指标若为平均指标，这样的序列被称为平均数时间序列。平均指标有静态平均指标和动态平均指标，相应的，平均数时间序列也就有静态平均数时间序列和动态平均数时间序列。

由于各期相对指标和平均指标的计算基数不同，在相对数时间序列和平均数时间序列中，各项指标数值加总就没有实际的经济意义。

三、时间序列的编制原则

时间序列中指标数值之间的可比性是编制时间序列应遵守的基本原则。可比性主要表现在以下几个方面：

（一）时间长短要统一。对于时期序列，序列中指标数值的大小与指标所包含的时期长短有直接关系，故各指标数值所包含的时期长短应该一致，否则就很难直接做出分析和比较。对于时点序列，序列中各指标数值只说明现象在某一时点上的状态，因此，不存在时期长短应该相等的问题。但是，时点序列中各指标数值的时间间隔最好相等，以便更好的反映现象发展变化的过程和规律性。在相对数时间序列和平均数时间序列中，也要求其各项指标数值所属的时间范围相等。

（二）总体范围要一致。这是就现象所属的空间范围而言的，如某一地区的行政区划发生了变化，则该区前后两个时期某一指标数值就不能直接进行对比，必须将资料进行调整，以求总体范围的一致。调整的办法是以最新的区划范围来调整历史资料。

（三）指标的经济内容应统一。有时，一个指标有相同的名称，但可能包含着不同的经济内容。如工业总产值，1984年前该指标中不包含乡镇工业产值，1984年以后乡镇工业产值从农业总产值中划分出来，归入到工业总产值中。如果把1980年到1998年各年的工业总产值不加区分就编成时间序列，并以此做分析，就很难得出正确的结论。解决此类问题的方法是以最新的统计口径对历史资料进行调整。

（四）各指标值的计算方法、计算价格和计算单位都应统一。在指标名称和指标的经济内容都一致时，有时会因指标的计算方法不同（如劳动生产率指标，有的按生产时间计算，有的按职工人数计算），或计算价格不统一（如工业增加值指标，有现价工业增加值和不变价工业增加值），计量单位不一致等，使得各期指标数值不能直接对比。这时就应以目前指标的计算方法、计算价格和计量单位对历史资料加以调整。

但是，对时间序列可比性的要求，也不能绝对化。有时由于受资料所限，只要大体可比，也可编成时间序列。

第二节 时间序列的增量分析

为了研究现象发展的状态和动向，反映其发展变化的规律性，必须对时间序列进行分析，计算一系列分析指标。时间序列分析，主要有增量分析、平均分析和速度分析。本节介绍时间序列增量分析。

一、增减量

(一)发展水平

发展水平是指时间序列中指标的每个数值，用它来反映现象发展变化实际达到的规模、相对水平和一般水平。发展水平是时间序列中最基本的分析指标，是进行增量分析、平均分析和速度分析的基础。

按在时间序列中所处的位置不同，将发展水平分为最初水平、中间水平和最末水平。最初水平是时间序列中的第一个指标数值；最末水平是时间序列中的最后一个指标数值；处于最初水平和最末水平中间的各发展水平是中间水平。

按在时间序列中所起的作用不同，将发展水平分为基期水平和报告期水平。报告期水平是所要研究或考察的那个时间的发展水平；基期水平是作为比较基础时间的发展水平。

设时间序列各项为：

a0，a1，a2，……，an-1，an

其中,a0是最初水平，an是最末水平，a1，a2，……，an-1是中间水平。若将an与an-1进行对比，an为报告期水平，an-1为基期水平；若将an-1与a0进行对比，an-1为报告期水平，a0为基期水平。

在文字叙述上，常用术语“增加到”或“增加为”、“降低到”或“降低为”表示从基期水平变化到报告期水平。

（二）增减量

增减量是报告期水平与基期水平之差，用来说明某种现象在一定时期内增加或减少的绝对数量。这个差数若为正值，就是增长量；若为负值，就是减少量或降低量。其计算公式为：

增减量＝报告期水平－基期水平 （式7.1）

由于采用基期的不同，增减量可分为逐期增减量和累计增减量。逐期增减量是报告期水平与前一期水平之差，说明现象报告期比前一期增加或减少的绝对数量；累计增减量是报告期水平与某一固定时期水平（通常为最初水平）之差，说明现象报告期比某一固定时期增加或减少的绝对数量，也可以说是现象在某一段较长时期内总的增减量。逐期增减量和累计增减量用符号表示如下：

逐期增减量：a1-a0，a2-a1，……，an-an-1

累计增减量：a1-a0，a2-a0，……，an-a0

不难发现：

an-a0 =（a1-a0）＋（a2-a1）＋……＋（an-an-1）

即，逐期增减量之和等于对应的累计增减量。

例7.1 根据表7-3资料，计算河南省第三产业从业人员的逐期增减量和累计增减量。

表7-3 河南省历年年末第三产业从业人员数 单位：万人

资料来源：河南省统计年鉴

上表中，1991-1997 年间河南省第三产业从业人数的逐期增减量之和为318万人，等于1997年的累计增减量。

有些现象的数量随季节变化而变化，为了消除季节变动的影响，常计算同比增减量，又叫年距增减量。它是报告期水平与上年同期水平之差。即：

同比增减量＝报告期水平－上年同期水平 （式7.2）

二、平均增减量

平均增减量是将各逐期增减量的数量差异抽象化，用来说明某种现象在较长时期内平均每期增减数量的统计分析指标。其计算公式为：

（式7.3）

根据表7-3，河南省1991-1997年间第三产业从业人数的平均增减量为45.43万人。

上述计算平均增减量的方法称为“水平法”，它可以保证以基期发展水平为基础，每期按平均增减量增减，第n期的理论水平和第n期的实际水平完全相等。即：

+ ……＝

整理得：

＝ （式7.4）

可见，按水平法计算平均增减量时，只考虑了最末水平和最初水平，而和中间各期水平无关。用此平均增减量去推算各期的理论水平，与各期的实际水平可能差别很大，不能准确的反映实际情况。它只适应于现象的发展比较均匀的情况。当现象在各期的发展不太均匀的时候，可用“累计法”计算。

“累计法”平均增减量的基本要求是：用平均增减量推算的各期理论水平之和应等于各期实际水平之和。即：

（）+（+2）+ …… +（+ n）=

整理上式得：

＝ （式7.5）

根据表7-3，河南省1991-1997年第三产业从业人数的平均增减量为：

＝＝ 38.57（万人）

本例，按“水平法”和“累计法”计算的第三产业从业人数的平均增减量差别较大，因为，第三产业从业人员的增减变化并不均匀，用累计法计算的平均增减量更符合实际情况。

第三节 时间序列的平均分析

一、动态平均数的概念

将时间序列中不同时间的发展水平加以平均而得到的平均数就是动态平均数，又叫序时平均数或平均发展水平。它将研究对象在不同时间上的数量差异抽象化，从动态上说明现象在一段时间内发展的一般水平。

利用动态平均数可消除现象在短期内偶然因素产生波动的影响，使时间序列更好地表现现象发展变化的趋势，此外，还可利用它对时间长短不一和空间范围不同的现象进行比较。

动态平均数可以由绝对数时间序列来计算，也可以由相对数时间序列或平均数时间序列来计算。由于时间序列的种类不同，特性不同，其动态平均数的计算方法也不相同。但根据绝对数时间序列计算动态平均数是最基本的。

二、绝对数时间序列平均分析

（一）时期序列平均分析

对时期序列进行平均分析，计算动态平均数，可采用简单算术平均法，即以各期指标数值之和除以时期项数求得。计算公式为：

＝＝ （式7.6）

式中：代表动态平均数，代表各时期发展水平，n代表时期项数。

例7.2 1991-1998年河南省年内出生人数资料如下表，求1991-1998年间的年均出生人数。

表7-4 河南省1991-1998年年内出生人数 单位：万人

资料来源：河南统计年鉴

解：＝

＝

＝141.25（万人）

（二）时点序列平均分析

对时点序列进行平均分析，要比时期序列复杂。要正确计算时点序列的动态平均数，需要知道现象在每一瞬间上的数值，这几乎是办不到的，所以习惯上以天作为“瞬间”单位。以天为时点计算年均人口数，就应有365天每天的人口数资料，但是人口的出生和死亡每时每刻都在发生，实践中要登记每天的人口数，也是办不到。因此，一般情况下，只能是每隔一段时间登记一次，时点可定在月末、季末或年末。相邻两次登记的时间间隔可以相等，也可以不等，从而就形成了间隔相等的间断时点序列和间隔不等的间断时点序列。

1.间隔相等的间断时点序列平均分析

计算间隔相等的间断时点序列的动态平均数，是假定现象在两个相邻时点之间的变动是均匀的，因而，可将相邻两个时点指标数值之和除以2，作为这两个时点之间所有时点上指标数值的代表值，然后再用简单算术平均法将这些数值平均，就可得到该时点序列的动态平均数。即：

整理可得：

（式7.7）

例7.3 根据表7-5资料，计算1991-1998年河南省国有单位年均职工人数。

表7-5 河南省国有单位职工人数 单位：万人

资料来源：河南统计年鉴

＝

＝＝597.63（万人）

即河南省1991-1998年国有单位年均职工人数为597.63万人。

2.间隔不等的间断时点序列平均分析

对于间隔不等的间断时点序列，可用各相邻时点的间隔长度（f）为权数，对各相邻时点指标数值的平均数进行加权平均计算动态平均数。公式为：

（式7.8）

例7.4 根据表7-6资料，计算河南省1991-1998年年均从业人数。

表7-6 河南省1990-1998年年底从业人数 单位：万人

资料来源：河南省统计年鉴

解：将数据代入公式7.8,经计算得：

≈4490（万人）

结果表明，1990年以来，我省平均每年有4490万人处于就业状态。

需注意的是，根据时点序列计算的动态平均数，实际上是按照一定条件推算出来的近似数，这个条件就是假定现象在相邻两个时点之间的变动是均匀的。时间间隔越长，其假定性就越大，准确程度也就越差。为此，间断时点数列的间隔不宜过长。

三、相对数时间序列平均分析

这里讨论静态相对数时间序列的平均分析，动态相对数时间序列平均分析将在下一节介绍。静态相对数时间序列是两个有联系的绝对数时间序列的相应项对比而得到的，因此，静态相对数时间序列不能象绝对数时间序列那样直接计算动态平均数，只能按照时间序列的性质，分别计算出分子、分母两个绝对数时间序列的动态平均数，然后将分子序列和分母序列的动态平均数对比求得。用公式表示为：

＝ （式7.9）

其中：表示静态相对数时间序列的动态平均数，表示分子序列的动态平均数，表示分母序列的动态平均数。

具体计算时，要注意区分分子序列和分母序列的性质，选用合适的计算方法，以便得到正确的结果。

例7.5 根据表7-7资料，计算河南省1991-1998年间人口的年均自然增长率。

表7-7 河南省1990-1998年人口变动情况 单位：万人

资料来源：河南省统计年鉴

解：由于人口自然增长率的计算式为：

因此，要计算人口自然增长率的动态平均数，就要先计算人口自然增加数的序时平均数和年末人口数的序时平均数。分子、分母属于性质不同的指标，因此其序时平均数需用不同的方法计算。

＝＝83.25（万人）

＝

＝9011.75（万人）

＝=≈9.24‰ 从表7-7看到，8年间人口的死亡数大体稳定，影响人口自然增长率变动的主要因素是人口的出生。由于年内出生人数的逐年减少，相应的人口自然增长率亦逐年降低，8年间人口的平均自然增长率为9.24‰。

四、平均数时间序列平均分析

平均数时间序列可由静态平均数组成，也可由动态平均数组成，其动态平均分析的方法是不同的。

（一） 静态平均数时间序列平均分析

静态平均数时间序列由两个绝对数时间序列相应项对比形成，其动态平均数的计算方法与静态相对数时间序列的相同，先分别计算分子序列（一般为时期序列）和分母序列（一般为时点序列）的动态平均数，然后将这两个动态平均数对比即可求得。

例7.6 根据表7-8资料，计算河南省1995-1998年间职工的平均工资。

解：职工平均工资序列是一个静态平均数时间序列，由于在计算各年职工平均工资时，各年的职工人数不等，所以，不能直接根据职工平均工资序列计算动态平均数。其具体计算过程为：

表7-8 1995～1998年河南省职工平均工资

注：表中职工工资总额和年底职工人数均取自河南省统计年鉴，职工平均工资是根据工资总额和年平均人数推算出来的，这和实际平均工资有一定差别（1995-1998年实际平均工资分别为：4344，4924，5225，5781）。

＝

＝4050545.5（万元）

＝＝816.5（万人）

＝＝≈4961（元）

随着我国医疗、住房等制度的改革，使得职工的支出大幅上升，若不提高职工的工资，其实际生活水平就会下降，所以，近年来，我国政府出台了一系列提高职工工资的政策，仅1995-1998这4年时间，人均年工资实际就增加了1400多元，而4年间职工的年平均工资为4961元。

（二）动态平均数时间序列平均分析

在动态平均数时间序列中，若动态平均数所含时期相等，可直接采用简单算术平均法计算其动态平均数；如果所含时期不相等，以时期作为权数，采用加权算术平均法来计算其动态平均数。

例7.7 根据表7-9资料，计算1991-1998年间河南省年平均人数。

表7-9 1991-1998河南省年平均人口数 单位：万人

资料来源：河南省统计年鉴

解：这是一动态平均数时间序列，且动态平均数所含时期相等，所以计算1991-1998年间的平均人口数，可用简单算术平均法计算。即：

＝

＝＝9012（万人）

第四节 时间序列的速度分析

对时间序列进行速度分析，主要通过计算发展速度、增长速度、平均发展速度和平均增长速度来完成。

一、发展速度和增长速度

（一）发展速度

发展速度是用相对数形式表示的动态指标，是时间序列中两个不同时期发展水平对比的结果，说明报告期水平已发展到基期水平的多少倍或百分之几。其计算公式为：

（式7.10）

由于采用的基期不同，发展速度可分为定基发展速度和环比发展速度。

定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平（一般为最初水平）之比，表明现象在一个较长时期内总的变动程度，因此，有时也叫“总速度”。环比发展速度是报告期水平同前一期水平之比，说明现象逐期发展变化的程度。将各期的环比发展速度和定基发展速度按时间顺序排列，就形成动态相对数时间序列。用字母表示：

定基发展速度：，，……

环比发展速度：，，……

不难发现，定基发展速度和环比发展速度之间的关系：

1.各环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度。即：

×××……×＝

2.相邻两期的定基发展速度之商，等于相应的环比发展速度。如：

÷＝

根据上述关系，可以进行指标之间的相互推算。

实际工作中，常计算同比发展速度，它可以消除季节变动的影响。同比发展速度是报告期水平与上年同期水平之比。用公式表示为：

（式7.11）

（二）增长速度

增长速度也是用相对数形式表示的动态相对指标，是各期增减量与基期水平对比的结果，说明报告期水平比基期水平增长了若干倍或百分之几。公式为：

（式7.12）

由于增减量是报告期水平与基期水平之差，故有：

＝发展速度 - 1（或100%） （式7.13）

当发展速度大于1 时，增长速度为正值，表明现象的增长程度；当发展速度小于1 时，增长速度为负值，表明现象的降低程度。

与发展速度相对应，增长速度亦可分为定基增长速度和环比增长速度。

定基增长速度是累计增减量与固定基期水平之比，或是定基发展速度减1，表明社会经济现象在一段较长时期内总的增减程度。环比增长速度是逐期增减量与前一期水平之比，或是环比发展速度减1，表明社会经济现象相邻两期逐期增减的程度。

定基增长速度和环比增长速度都是发展速度的派生指标，只反映增长部分的相对程度，两者之间不存在发展速度之间的那种数量关系。

同样，也可以计算同比增长速度。同比增长速度是同比增减量与上年同期水平对比的结果。即：

＝

＝同比发展速度-1 （式7.14）

例7.8 就表7-10资料，计算国内生产总值（GDP）的各期发展速度和增长速度。

表7-10 河南省历年（GDP）及其动态相对指标

请读者自己验算环比发展速度和定基发展速度之间的关系。

由上述相对数时间序列可以看出：1991-1998年河南省经济发展经历了：1991年恢复性发展阶段，1992-1996年快速发展阶段，1997-1998的缓速发展阶段。这和我国实施的宏观经济调控措施密切相关。

应注意的是，在利用速度指标说明问题时，不能只看其相对数值的大小，还应当观察每增减1％所包含的绝对数是多少（可参见本书第四章第三节的相关内容）。

二、平均发展速度和平均增长速度

平均速度有平均发展速度和平均增长速度两种形式。平均发展速度是现象在一个较长时期内发展变化的平均程度，是各期环比发展速度的动态平均数。平均增长速度是现象在一个较长时期内增长变化的平均程度，可视为环比增长速度的动态平均数，但在计算时，不能直接根据各环比增长速度求得，应根据发展速度和增长速度的关系计算。

平均增长速度 ＝平均发展速度－1（或100%） （式7.15）

平均速度指标是制定和检查长期计划的重要依据之一；利用平均速度指标还可以对比不同发展阶段、不同国家或地区社会经济现象的发展变化情况。

平均发展速度常用“几何平均法”或 “方程式法”进行计算。

（一）计算平均发展速度的几何平均法（水平法）

现象在一段时间内发展的总速度等于各期环比发展速度的连乘积。所以，计算平均发展速度就不能用算术平均法，而要用几何平均法。其计算公式为：

＝＝ （式7.16）

其中：表示平均发展速度，代表各期环比发展速度，∏是连乘积的符号。

由于＝（＝1,2,……，n），所以公式7.16又可表示为：

＝＝ （式7.17）

从式7.16上看，应用几何平均法计算的平均发展速度，其数值大小和各期的环比发展速度有关，似乎也与各期的发展水平有关；但从公式7.17可以看到，这样计算的平均发展速度实际上只与最初水平和最末水平有关。

根据掌握资料的不同情况，可有选择地使用上面两个公式 。如果只有各期的环比发展速度资料，可用式7.16计算。如果掌握最末水平和最初水平资料，则用式7.17计算。

按几何平均法计算的平均发展速度，可以保证用这一平均速度推算的最末一期的理论水平和其实际水平相等，由此推算的最末一期定基发展速度也和其实际定基发展速度相等。但由于这种方法计算的平均发展速度仅取决于最初水平和最末水平，而和中间各期的发展水平无关，因此，用这一平均发展速度推算的各期发展水平可能和各期的实际水平相差悬殊，不能准确的反映各期发展的实际水平。

（二）计算平均发展速度的方程式法（累计法）

它是以定基发展速度为基础计算的。在时间序列中，各期发展水平是基期水平与各该期定基发展速度的乘积，也是基期水平与有关各期环比发展速度的连乘积。据此可计算出各期发展水平之和，进而计算平均发展速度。即：

+ + + …… +＝

用代表第i期的环比发展速度,上式变成：

＝

将各期环比发展速度平均化，用平均发展速度取代各期环比发展速度，则 ＝

+++……+＝

+++……+= （式7.18）

这个方程的正根就是所求的平均发展速度。求解这个方程式是比较复杂的，在实际统计工作中，一般是根据事先编好的《平均增长速度查对表》查得所需的平均发展速度。

三、计算和应用平均速度应注意的几个问题

（一）根据研究问题的目的和研究对象的特点，合理选择计算方法 若侧重于考察最末一年所达到的水平，可采用几何平均法计算平均速度。若侧重于考察长时间（比如5年）内各期达到的总量，可以采用方程式法计算其平均速度。

另外，当现象在一段时期波动比较大时，用水平法反映不出中间各期水平的变化，用累计法就可以考虑中间水平的波动，因此，可以两种方法结合应用进行分析研究。

（二）基期的选择要适当

在计算速度指标时，要注意选择适当的基期。比如分析五年计划的完成情况，一般选择五年计划时期的前一年为固定基期；又如为反映经济政策的调整对社会经济现象造成的影响，则往往选择经济政策调整的前一年为固定基期，等等。

（三）用几何平均法计算平均速度时，要特别关注特殊时期环比速度的变动情况

用几何平均法计算的平均速度仅决定于现象的最末水平与最初水平两个数值，而与中间各期的发展水平值完全无关。如果中间各期出现了特殊的高低变化或者最初、最末水平受到特殊因素的影响，几何平均速度就会失去其代表性。因此，在计算平均速度时，要结合特殊时期的环比速度加以分析，说明造成这一结果的具体原因。

（四）用分段平均速度补充说明总平均速度

这对于分析现象在较长一段时期内的发展变化情况时尤为重要。因为一个总的平均速度指标，仅能笼统概括地反映现象在长时期内平均发展变化的程度，而不能据此深入了解这种现象在整个发展过程中的变化情况。这时，应按某些重要的因素将这一较长历史时期划分为几个阶段，计算出分段的平均速度以补充说明总的平均速度。

另外，在用平均速度指标分析问题时，还应和时间序列中的其它分析指标结合起来，进行分析、研究并加以补充说明，这样才能对被研究现象作出正确和全面的认识。

第五节 长期趋势的测定和预测

时间序列中各项发展水平的变化是众多因素（如基本因素、季节因素、偶然因素等）共同作用的结果。影响因素不同所起的作用就不同，引起变化的形式也不同，其综合结果就是现实的时间序列。为了研究现象发展变化的趋势并据以预测未来，就需要将影响时间序列的各种因素的变动形态测定出来。

时间序列的变动形态按其性质不同有：长期趋势变动（T）、季节变动（S)、循环变动（C）和不规则变动（I）。

时间序列总变动（Y）和上述四种变动形态的结合有两种假定，即“乘法模式”和“加法模式”。

当现象变动的因素是相互影响的关系时，时间序列总变动是各因素变动的乘积。即：

Y＝T S C I

这种结构称为“乘法模式”。

当现象变动的因素是互相独立的关系时，时间序列总变动是各种因素变动的总和。即：

Y＝T＋S＋C＋I

这种结构称为“加法模式”。

在实际工作中，一般采用乘法模式对现象进行分析和计算。

本节先介绍长期趋势及其测定方法。

一、测定长期趋势的意义

长期趋势，指客观现象由于受某种基本因素的影响，在一段相当长时间内，持续向上或向下发展变化的趋势。如随着科学技术的发展，农作物种植方法不断改良，在播种面积一定的情况下其收获量亦不断增加；我国人口基数庞大，新中国成立后，由于人们生活水平的提高和生存条件的改善，人口总数逐年上升等。

测定长期趋势就是采用适当的方法对时间序列进行修匀，使修匀后的序列排除季节变动、循环变动和不规则变动的影响，显示出现象变动的基本趋势。测定长期趋势的意义是：第一，研究现象在过去一段时间内的发展方向和趋势，以便认识和掌握现象发展变化的规律性；第二，利用现象发展的长期趋势，可以对未来的情况作出预测；第三，测定长期趋势，还可以将长期趋势从时间序列中分离出来，更好的研究季节变动和循环变动等。

测定现象变动的长期趋势主要是对原有时间序列进行修匀。修匀的方法主要有时距扩大法、移动平均法、最小平方法和指数平滑法等。

二、时距扩大法和移动平均法

（一）时距扩大法

时距扩大法是测定长期趋势最简便的方法，它是将原来的时间序列中较小时距单位的若干个数值加以合并，得出扩大了的较大时距单位的数据。其作用在于消除较小时距单位所受到的非基本因素影响以显示出现象变动的总趋势。

例7.9 某企业某商品销售量资料如表7-11所示，用时距扩大法测定其长期趋势。

表7-11 某企业某商品销售量的分季资料

从给出的资料看，该商品销售量存在着明显的有规则的以四个季度为周期的重复变动，且有逐年持续增长的趋势。为了显示现象发展变化的长期趋势，必须将其它因素对时间序列的影响剔除掉。采用时距扩大法，将以季为单位的商品销售量合并成以年为单位的商品销售量后，就可满足上述要求，这可从修匀后形成的新的时间序列（表7-12）中反映出来。

表7-12 修匀后的销售量时间序列

用时距扩大法测定长期趋势简单明了，但缺点非常明显：扩大时距之后形成的新的时间序列数据大量减少，这不便于做进一步的趋势分析；也不能满足季节变动分析的需要。为此，对时距扩大法进行改良，就出现了移动平均法。

（二）移动平均法

移动平均法是对原时间序列按一定的时距扩大，采用逐期递推移动的方法计算出一系列扩大了时距的动态平均数（或叫移动平均数），并以这一系列动态平均数作为对应时期的趋势值。通过移动平均，消除了偶然因素对时间序列的影响，反映出现象发展的长期趋势。

例7.10 用移动平均法对河南省固定资产投资额（见表7-13）进行修匀，编制新的时间序列。

尽管河南省固定资产投资额在某些年份有所减少，但总趋势是逐步上升的，这可从三年和四年移动平均之后所得的两个新序列中明显地反映出来。

采用移动平均法测定长期趋势时应注意：

1.凡是奇数项移动平均求得的平均值，应对准所平均时期的中间时期，一次即得长期趋势值。偶数项移动平均求得的平均值，应置于所平均时期的中间两个时期之间，为了移正长期趋势值，还需要再进行一次两项移动平均。

2. 移动平均法中时距扩大的程度应视时间序列的具体情况而

表7-13 河南省历年固定资产投资额 单位：亿元

资料来源：河南省统计年鉴

定。如果现象的变动有一定的周期，扩大时距时应注意与现象周期变动的时距一致。如在分月（或季）的时间序列中，必须消除季节因素变动的影响，就需要采用12项（或4项）移动平均；在以年为单位的时间序列中，不存在季节变动因素，需要消除的是循环变动和不规则变动的影响，通过对时间序列中指标数值的观察，循环周期大体几年，就相应采用几年移动平均。一般说来，移动平均的项数用的越多，对原序列修匀的作用越大，长期趋势

表现的越明显，但得出的移动平均数项目就越少；反之，项数越少，修匀的作用就越小，所得出的移动平均数项目就越多。

3. 不宜根据修匀后的新时间序列进行直接预测。按移动平均法修匀后的新序列较原序列项数减少，首尾损失了部分信息量，所以利用这一方法可以观察出现象发展变化的总趋势，但不宜据此序列进行直接预测，若要进行预测，需要对修匀后的新序列作进一步的加工，这表明移动平均法并不是测定长期趋势的理想方法。

三、最小平方法

（一）一般最小平方法

最小平方法是测定长期趋势最常用的方法。它是通过建立数学方程，对原时间序列配合一条较为理想的趋势线，使得原序列中的各实际值与趋势值的离差平方和为最小。根据加权与否，最小平方法可分为一般最小平方法和折扣最小平方法两种，一般最小平方法的统计表达式为：

∑(-)＝最小值

其中：表示时间序列中各期实际值，表示通过趋势线求出的趋势值。

采用这一方法可以配合趋势直线，也可以配合趋势曲线，这要根据原序列反映出来的现象变动的特点来确定。趋势形态的判断方法较多，最为简单的是画散点图，若散点大致在某一条直线周围波动，就配合趋势直线；若散点大致在某一条曲线周围波动，就配合趋势曲线。也可根据动态指标判断，方法是：若时间序列各逐期增长量大体相等，基本趋势是直线型的，可配合趋势直线；若二级增长量（原始时间序列逐期增长量的逐期增长量）大体相等，基本趋势属抛物线型，可配合抛物线趋势；若各环比发展速度大体相等，其基本趋势属指数形态，可配合指数方程。

这里先介绍直线趋势的配合。

直线趋势方程的一般形式：

＝a+bx （式7.19）

式中：x表示时间；a是趋势直线的截距，表示最初发展水平的趋势值；b是趋势直线的斜率，表示x每变动一个单位时，y平均变动的数量，实际上是时间序列中的平均增长量。

依据最小平方法“∑(-)＝最小值”的要求，通过对参数a和b求偏导便可得出下列两个联立标准方程：

∑y＝na＋b∑x

∑xy＝a∑x＋b∑x

解方程组得：

b＝ （式7.20）

a＝b× （式7.21）

例7.11 河南省1991-1998年人口资料如表7-14，要求拟合适当的趋势方程，并以此趋势预测1999年年末的人口数。

解：以横轴x表示时间，纵轴y表示原数列的指标数值，坐标原点定在1990年，其序号用0来表示，将该序列中的指标数值和相对应的时间形成的点画在直角坐标系中，可发现其散点集中在一条直线周围，故可以拟合直线趋势方程。

根据求参数a和b的公式，经计算得：

表7-14 河南省1991-1998年年末人口数及有关数值计算表

资料来源：河南省统计年鉴

b＝

a＝

＝a+bx＝8703.82＋77.68x

将1999年时间序号9代入配合的趋势方程，可得到1999年底河南省人口数的趋势值（即预测值）：

＝8703.82＋77.68×9=9402.94（万人）

另外，为了便于手工计算，可把原数列的中点移至坐标原点，使得“∑x＝0”，此时，标准方程组可简化为：

Σ＝na

Σ＝bΣ

于是可得：

b ＝ （式7.22）

a＝ （式7.23）

需注意的是，当时间序列为奇数项时，中间一年为原点，x值分别为…、-3、-2、-1、0、1、2、3、…，从而使Σx＝0；当时间序列为偶数项时，用中间两项的中点为原点，这时，x以半年为单位，原点以前各项的x值分别为…、-5、-3、-1，原点以后各项的x值依次为1、3、5、…，同样可使Σx＝0。

现用简捷法来拟合例7.11的趋势方程。

表7-15 河南省1991-1998年末人口数及有关数值计算表

解： b＝

a＝

＝9053.38＋38.84

用此方程计算各期趋势值，结果和前一种方法相同。注意，这里a＝9053.34表示1994年和1995年中点的人口数，b＝38.84表示时间每变动一个单位（半年）时人口平均增加的数量。

（二）折扣最小平方法

用最小平方法虽然可以给历史资料配合一条较理想的趋势线，但在外推预测中却存在着一个明显的缺点，即它把近期误差与远期误差的重要性等同起来了，用的是预测误差平方的简单总和。事实上，近期误差比远期误差重要得多，因而在预测中，对近期误差比对远期误差应给以较大的权数，计算误差的加权总和。在可以使用的各种加权方法中，以指数折扣加权法最为重要。

指数折扣加权法的基本做法是：将各期误差平方的权数用（β为折扣系数，在0至1中间取值，n为时间序列的项数，x表示时间）表示，对最近期的误差平方赋予最大的权数＝＝1，最远期的误差平方给于最小的权数，这样远期误差的重要性打了很大的折扣，所以称为折扣最小平方法。

显然，折扣程度的大小取决于β的数值：β值越接近0，折扣打的越大；β值越接近1，折扣打的越小；β值等于1，就成了不折扣的最小平方法了。折扣最小平方法的要求是：

＝最小值

使用折扣最小平方法时，标准方程式中的每一项都要用加权，即：

∑y＝a＋bx

∑xy＝ax＋bx

现用折扣最小平方法对例7.11进行计算，取β＝0.8，各项指标的计算如表7-16所示：

表7-16 河南省1991-1998年末人口数及有关数值计算表

解：此时的方程组为：

38017.82＝4.16a＋23.35b

214815.08＝23.35a＋149.77b

解之得： b＝75.76

a＝8713.89

直线趋势方程为：＝8713.89＋75.76X

用此方程得出的各趋势值如表7-16所示。

与最小平方法所得的趋势值比较，当β＝0.8时，第8期（即1998年）的趋势值较接近其实际值，这就是折扣最小平方法的作用。

四、非线性趋势的测定

当客观现象的发展呈曲线变动时，仍可使用最小平方法配合趋势曲线方程。曲线有多种多样，这里以常用的二次曲线（即抛物线）和指数曲线为例加以说明。

（一）二次曲线趋势测定

如前所述，当时间序列中的二级增长量大致相同时，就可配合二次曲线方程。二次曲线方程的一般形式为：

＝a＋b＋c （式7.24）

方程中有a、b、c三个待定参数，根据最小平方法可得出下列三个标准方程式：

∑＝na＋b∑＋c∑

∑＝a∑＋b∑＋c∑

∑＝a∑＋b∑＋c∑

按照前面所讲的方法，将原序列中点移至坐标原点，使∑x＝0，标准方程组可简化为：

∑＝na＋c∑

∑＝b∑

∑＝a∑＋c∑

例7.12 河南省1991-1997年国有单位职工人数资料如表7-17所示，试据此配合一适当的趋势方程。

表7-17 河南省国有单位职工人数及计算表

资料来源：河南省统计年鉴

解：由于该时间序列的二级增长量大致相等（请大家自己动手计算），故可拟合二次曲线方程。由于∑x＝0，所以可得下面的方程组：

4178＝7a＋28c

333＝28b

16383＝28a＋196c

解该方程组得： a = 612.54

b = 11.89

c = -3.92

于是，得到的二次曲线趋势方程就为：

＝612.54＋11.89-3.92

将的取值代入上式，可得各年的趋势值。

（二）指数曲线趋势

当时间序列中各期环比发展速度大体相同时，可配合指数曲线方程。指数曲线的方程式为：

= （式7.25）

其中：a表示x＝0时的趋势值，b表示现象的平均发展速度。

进行指数曲线拟合，可先将其转化为直线形式。在上述等式两边取对数，可得：

lg=lga＋（lgb）x (式7.26）

设：Y'=lg，A=lga，B＝lgb，可得直线形式：

Y'＝A＋Bx （式7.27）

从而，可按直线拟合的方法确定所需要的指数曲线。用最小平方法先求出A和B，再求其反对数，得到a和b。

例7.13 河南省1991-1998年历年出生人数资料如下，试配合适当的趋势线。

表7-18 河南省1991-1998年新出生人数

资料来源：河南省统计年鉴

通过计算可知，各年的环比发展速度大体相同，所以可配合指数趋势方程。

具体计算资料见表7-19：

表7-19 指数曲线计算表

解：由于∑x＝0，所以：

查反对数表得：a＝140.51

b＝0.98

因此指数趋势曲线方程为：

＝140.51×

把x的取值代入上式，可得各年的趋势值。

请注意的是，这里的b＝0.98是每半年的平均发展速度，年平均发展速度应为＝0.96。

第六节 季节变动和循环波动的测定

一、季节变动的概念和分析意义

季节变动，指客观现象由于受自然条件或社会条件的影响，按一定周期（年、季、月或周）进行的有规律性的重复变动。农业生产因受到自然条件的影响而出现季节性的变化，春、夏、秋三季农忙，冬季农闲；交通运输也往往受自然条件和社会生活习惯的影响而出现季节性变动，春季（尤其是春节）人口流动比较大，客运量出现季节性高峰等。从长期的观点考察，被研究的现象在季节日期和数量表现方面可能会出现差异，这可视为长期趋势或偶然因素的影响。由于季节变动最大的周期为一年，所以，以年份为单位的时间序列中不可能有季节变动。

季节变动往往会给社会生产和人们生活带来一定的影响，但这与一定的历史条件相联系，随着科学技术的不断发展，季节变动也会随之改变。研究现象的季节变动，认识现象在一定周期内的变动规律性，便于制定计划，更好的组织生产、流通、运输，安排好人们的经济生活；研究季节变动还可以用来消除季节变动对时间序列造成的影响，便于测定现象的循环变动和不规则变动。

二、季节变动的测定和分析

测定季节变动大致有两种方法：一是不考虑长期趋势的影响，直接根据原数列计算，常用的方法是按季（或月）平均法；二是将原序列中的长期趋势及循环变动剔除后，再进行测定，常用的方法是移动平均趋势剔除法。但不管采用哪种方法，都需具备至少连续五年分季（或月）的资料，才能比较客观地描述和认识现象的季节变动。

（一）按季（或月）平均法

按季（或月）平均法是测定现象季节变动的最简便的方法。它是通过季节指数（或称季节比率）来表明季节变动程度的。计算各季（或月）季节比率的的步骤为：

1.根据历年同季（或月）的数据总和，计算历年同季（或月）的平均水平；

2.根据历年各季（或月）的数值总和，计算总的季（或月）的平均水平；

3.将历年同季（或月）的平均水平与总的季（或月）的平均水平对比，得到用百分数表示的季节比率（也叫季节指数）。它表明各季水平比全期总水平高或低的程度，即季节变动的一般规律性。

例7.14 某商场某种商品的销售量资料如表7-20所示，用按季（或月）平均法计算各季的季节比率。

季节比率大于100％表明该季是旺季，小于100％则为淡季。在本例中，三、四季度为该商品销售的旺季，一、二季度为销售的淡季。该商场可以根据该商品季节变动的规律性，合理安排商品购进、商品库存及商品销售的价格。

计算季节比率需注意：各季（或月）季节比率之和应正好等于400％（或1200％），但有时，由于其它因素的干扰，各季（或表7-20 某企业商品销售量及季节比率 单位：千件

月）季节比率之和不是400％（或1200％），这就需要调整，把差数分摊到各季（或月）中去。例如，假定某资料算出的各季度季节比率之和为398.73％，则调整系数为1.003185（即400/398.73），以此系数依此乘各季节比率，得调整后的季节比率，其和正好是400％。

此法的优点是计算简便，容易了解和掌握。但是，采用这一方法有个重要的前提，即原数列不存在长期趋势变动。若时间序列中有上升（或下降）的长期趋势存在时，近期数值比远期数值具有较大的影响，从而不能对客观事实作出正确的反映。此时宜采用“长期趋势剔除法”来测定其季节变动。

（二）长期趋势剔除法

这种方法是先利用移动平均法将原时间序列中的长期趋势测定出来，利用乘法模式将其剔除，然后再测定季节变动。其步骤为：

1.根据各年的季（或月）资料进行四项（或十二项）移动平均，修匀时间序列，剔除偶然因素对时间序列的影响，以确定时间序列的趋势值（T）；

2.将实际值（Y）和趋势值（T）对比，以剔除时间序列中的长期趋势；

3.将Y/T的数值按季（或月）排列，再按季（或月）求其季节比率；

4.加总各季（或月）季节比率，其总和应为400％（或1200％），如果不等于此数，需求调整系数，用调整系数去乘各季（或月）的季节比率，即为调整后的季节比率。

例7.15 仍用表7-20资料说明趋势剔除法的计算过程。

表7-21 某企业某商品销售量及四项移动平均计算表

将表7-21中的Y/T重新加以排列得表7-22。

将表7-22中每年同季的数值加以平均，所得相对数即是季节比率。各季季节比率的合计数为404.92，大于400，因此，需要调整，调整系数为0.98785（400÷404.92），用这个系数分别乘表7-22 季节比率计算表 单位：％

以各季的季节比率，得调整后的季节比率。

测定季节变动的目的是为了将来的工作安排，增强预见性。而计算的季节比率，只能作为参考数据。因为预计未来是对各种因素综合判断的结果，而不是计算的直接结果。

三、循环变动的测定与分析

循环变动，指客观现象以若干年为周期的涨落起伏相间的变动。在时间序列中表现为：统计指标数值反复发生从高到低，再从低到高的波浪式变动。

从表现形式上看，循环变动和季节变动没有实质的区别，都属于周期变动，但从引起的原因和它们所产生的影响来看却有着相当大的不同。季节变动起因于四季的自然更替和社会风俗习惯，变化的循序性和规律性较强，对社会经济生活的影响也就较小。循环变动则不同，其成因一般较复杂，并具有较长时期（如五年、十年甚至更长时间等）的渐进性和隐蔽性，常伴有突发性质和连锁反映，波及的范围与经济的发育及联系程度密切相关，可能在一国内部发生，也可能涉及到几个国家，甚至具有国际性。因此它对一国的经济往往造成巨大的影响。

循环变动的测定常用所谓的“剩余法”，其基本思路是：先对各期时间序列资料用长期趋势值和季节比率消除趋势变动和季节变动，得到反映循环变动和不规则变动的时间序列，然后再采用移动平均法消除不规则变动，便可得到反映循环变动程度的各期循环变动系数，用关系式表示为：

＝C·I （式7.28）

将C·I序列进行移动平均修匀，修匀后的序列即为循环变动系数，这就达到了测定循环变动的目的。

实际上，在以年为单位的时间序列中，由于季节性变动的影响不存在，短期的不规则波动在采用移动平均法测定长期趋势时也趋于抵消，这时测定循环变动，只需消除长期趋势，循环变动就能较好的凸现出来。

测定循环变动，就是要将循环变动从时间序列中分离出来，以便考察现象周期性上升或下降的表现形式、特点、周期长度及各阶段所持续的时间，预见下一个循环变动可能产生的各种影响，以便充分利用有利因素，避免不利因素，这对于保持国民经济持续稳定的发展有重要的意义。

在国外，人们习惯于称循环变动为商业循环，在我国则更多的称之为经济周期。资本主义经济发展中存在着经济周期，这是不争的事实。我国经济发展是否也存在经济周期？长期以来有着不同的认识，而目前较为一致的看法是：不能回避我国经济活动总水平也存在一定程度的周期波动性质，问题的关键在于如何更好地研究它，更准确地把握它，搞好我国的经济景气预测，从而有更充分的应对。引起我国经济周期波动的原因较多，它同我国五年期的国民经济计划、产业技术进步和产业政策的调整、宏观调控措施的运作以及与国际经济联系的加强等都有着直接的关系。

下表（见表7-23）是我国国内生产总值（GDP）的资料，通过简单地计算国内生产总值的环比发展速度，就可以较直观地看到我国经济发展周期性的一个侧面：

表7-23 我国GDP的环比发展速度 单位：％

资料来源：1999中国统计年鉴

从表7-23的资料可以看出：1954-1998年我国经济增长存在着明显的周期波动特征，它大体经历了10个从低到高、再从高到低波动过程，即1954-1957年、1957-1961年、1961-1967年、1967-1971年、1971-1974年、1974-1976年、1976-1981年、1981-1986年、1986-1990年、1990-1998年。在这一波动过程中，经济增长率的回落幅度（从一个最高点到下一个最低点的用百分比表示的差额）依次为：9.9、48.6、24、12.4、6.5、10.3、6.5、6.8、7.3、6.3。周期内的年均增长率（%）分别为：7.6、-1.1、6.9、9.3、6.3、6.9、7.9、11.5、7.7、10.5。分阶段看，改革开放以前经济增长回落幅度较大，波动周期较短，经济增长率的水平较低，年均增长率为6％，其中1960年、1961年、1962年、1967年、1968年、1976年6个年份为负增长。改革开放以后，经济增长率的波动幅度明显降低，波动周期延长，增长率的年均水平提高到9.6％。

因此，从总体上看，我国经济增长率的回落幅度呈由大变小的趋势，而经济增长率的平均水平在逐步提高。

四、不规则变动的测定

不规则变动，指客观现象由于受临时或偶然因素的影响而出现的非周期性或趋势性的随机变动。如地震、水灾、战争或某些不明原因等所引起的现象的变动。这种变动一般是无法预知的。

对各期时间序列资料，用长期趋势值、季节比率和各期的循环变动系数，消除长期趋势、季节变动和循环变动后即可得一反映不规则变动的时间序列。这一时间序列的数值表现形式为相对数，一般用系数表示。用关系式表示为：

＝I （式7.29）

不规则变动系数在1的上下波动。若其系数大于1，对时间序列的影响为正（即使现象向好的方向发展）；若小于1，对时间序列的影响为负（即使现象向坏的方向发展）；离1越远，对时间序列的影响越大；若等于1，则没有不规则变动。

最后说明一点的是，本章的例子均可通过作图来直观、形象地描述现象变化发展的趋势和规律性，作为练习，留给读者自己画出并总结。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e8ea5679a26925c52cc5bf5f.html