垂径定理

27.3(1) 垂径定理

松江教师进修学院 潘勇

一、教学内容分析

学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系.本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形，且任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明；

垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性.

二、教学目标设计

1、经历垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；

2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；

3、能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题.

三、教学重点及难点

重点：掌握垂径定理的内容并初步学会运用.

难点：垂径定理的探索和证明.

四、教学用具准备

圆形纸片，圆规，三角尺

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、情景引入

1、观察

将圆形纸片翻折，能观察到什么？说明什么？

二、学习新课

1、思考

如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，

垂足为M，则图中有哪些相等的量？为什么？

（学生观察，猜想，并得出以下结论）

①CO=DO（同圆的半径相等）

②AM=BM,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（如何证明？）

（学生讨论，并得出推导过程，教师板书）

联结OA、OB，则OA=OB.

∵ AB⊥CD,

∴ AM=BM（等腰三角形三线合一）,

∠AOD=∠BOD,

∴ 弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）. ∵ ∠AOC=∠BOC,

∴ 弧AC=弧BC.

2、定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧.

3、例题分析

例1 已知：如图，以点O为圆心的两个圆中，

大圆的弦AB交小圆于点C、D两点，

求证：AC=DB

分析：作OH⊥AB，垂足为H

证明略

例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）

分析：

如图，假设弧AB表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米）

1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义.

2、如何确定圆心的位置？

3、图中哪些表示圆O的半径？

4、如何建立等量关系？

解：设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R

7.2根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=R

∵ OC⊥AB，且OC过圆心

∴ AD=AB=18.7

在Rt△AOD中，∠ADO=90°

∵ AD2+OD2=OA2

7.2)2=R2∴ 18.72+(R

27.9R

答：桥拱所在圆的半径约为27.9米. 12

三、巩固练习

1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.

2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm，

求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.

四、课堂小结

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形——作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．

五、作业布置

练习册：P5，习题27.3（1）

七、教学说明及反思

(1) 本节一开始说明了圆是轴对称图形，然后在“思考” 中提出问题，引导学生直观感知垂径定理的真实性，再用推理的方法加以证明.教学中，要注意展现垂径定理的导出和证明过程，让学生获得“实验—归纳—猜测—论证”的过程经历.

(2) 对于垂径定理文字描述的理解，在“边款”中特别指出，垂径定理条件中的“弦”可以是直径,结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧；垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，也可表述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”.这样，学生在实际问题背景下，可灵活运用垂径定理来解决数学问题.

(3) 例题1是垂径定理的初步运用.学生有可能还是习惯用等腰三角形“三线合一”来证明，要引导学生对不同的证明方法进行比较，帮助学生理解新的定理在几何证明中所起的作用，看到不同证明方法之间的联系和课本中证明过程的简约.

(4) 例题2 是运用垂径定理解决简单的实际数学问题.本题的背景赵州石拱桥，教学时要指导学生如何将现实生活中的数学问题抽象为数学模型，要关注这个转化的过程，渗透数学建模思想.同时，可结合本例渗透“两纲”教育，激发学生的爱国热情.例题中有拱高，后面又提出了弓形的概念，教学时要向学生解说，并注意“边款”中对“弓形”与“拱形”两个概念的区别的说明.

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