河南省天一大联考2021届高三阶段性测试（三）（全国卷）数学（理）

河南省天一大联考2018届高三阶段性测试（三）（全国卷）数学（理）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数，若是复数的共轭复数，则（ ）

A． B． C． D．

2．已知集合，则的真子集个数为（ ）

A．1 B．3 C．5 D．7

3．已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：

则实数（ ）

A．0.8 B．0.6 C．1.6 D．1.8

4．下列说法中，错误的是（ ）

A．若平面∥平面，平面∩平面，平面∩平面，则∥

B．若平面⊥平面，平面∩平面，则

C．若直线，平面平面，则∥

D．若直线∥平面，平面∩平面平面，则∥

5．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（ ）

A． B． C． D．

6．已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

7．已知，则（ ）

A． B． C． D．

8．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中可以填（ ）

A． B． C． D．

9．现有六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，各踢了场，各踢了场，踢了场，且队与队未踢过，队与队也未踢过，则在第一周的比赛中，队踢的比赛的场数是（ ）

A． B． C． D．

10．已知双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、三象限交双曲线于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A． B． C． D．

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知向量满足，若，则__________．

14．已知实数，满足则的取值范围为__________．

15．已知，则的展开式中，常数项为__________．

16．已知函数，若在区间上存在零点，则的取值范围为__________．

三、解答题

17．在中，角所对的边分别是，且．

（1）求的大小；

（2）若，求的面积．

18．已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19．如图所示，直三棱柱中，，，，点，分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

20．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：

（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为共享产品的态度与性别有关系？

（2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员随机发放1张超市的购物券，购物券金额以及发放的概率如下：

现有甲、乙两人领取了购物券，记两人领取的购物券的总金额为，求的分布列和数学期望．

参考公式：．

21．已知椭圆：过点，且离心率为.过点的直线与椭圆交于，两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若点为椭圆的右顶点，探究：是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.（其中，，分别是直线、的斜率）

22．已知函数．

（1）探究函数的单调性；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

参考答案

1．A

【解析】

由题意结合复数的运算法则有：

.

本题选择A选项.

2．B

【解析】

联立解得，则有两个元素，真子集个数为

故选

3．D

【解析】

分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：，，

线性回归方程过样本中心点，则：，

解得：.

本题选择D选项.

点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．C

【分析】

由线面平行、面面平行、面面垂直的性质对选项逐一判断即可.

【详解】

选项C中，若直线，平面平面，则有可能直线在平面内，该说法存在问题，C不正确；

由面面平行的性质定理可得选项A正确；

由面面垂直的性质定理可得选项B正确；

由线面平行的性质定理可得选项D正确；

故选C.

【点睛】

本题主要考查了空间中线面、面面关系的判断，属于基础题.

5．D

【解析】

设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于

由抛物线的定义可得：，结合可知：，

即，据此可知抛物线的方程为：.

本题选择D选项.

点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

6．D

【分析】

先得m＝﹣2，然后根据题意得x≥3时，f（x）必为增函数且f（3）≤2．解不等式可得．

【详解】

∵f（2）＝2m+8＝4，解得m＝﹣2，∴f（x）＝，

当x＜3时，f（x）＝﹣2x+8是递减函数，f（x）＞f（3）＝2，此段无最小值，

所以当x≥3时，f（x）必存在最小值，所以f（x）＝logax必为[3，+∞）上的递增函数，

所以a＞1，且f（3）≤2，∴loga3≤2，解得a．

故选D．

【点睛】

本题考查了分段函数的最值及其单调性，属于中档题．

7．C

【解析】

由题意可知：，则：，

结合诱导公式有：，

，

据此可得：.

本题选择C选项.

8．B

【解析】

阅读流程图可得，该流程图输出的结果为：

，

注意到在求和中起到主导地位，且，故计算：

当时,，

结合题意可知：判断框中可以填.

本题选择B选项.

点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．

9．D

【解析】

依据题意：踢了场，队与队未踢过，则C队参加的比赛为：；

D踢了场，队与队也未踢过，则D队参加的比赛为：；

以上八场比赛中，包含了队参加的两场比赛，

分析至此，三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在中进行，

已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，则在中进行的比赛中，，各踢了2场，即余下的比赛为：，

综上可得，第一周的比赛共11场：，，

则队踢的比赛的场数是.

本题选择D选项.

10．A

【解析】

由通径公式可得：，则：，

直线的方程为：，令可得：，则：

，可得直线方程为，

令可得：，据此有：，

整理可得：，则双曲线的渐近线方程为.

本题选择A选项.

11．D

【解析】

如图所示，三视图还原之后的几何体是两个全等的三棱柱和组成的组合体，其中棱柱的底面为直角边长为等腰直角三角形，高为，每个棱柱的表面积为：，

两三棱柱相交部分的面积为：，

据此可得，该几何体的表面积为：.

本题选择D选项.

点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

12．B

【分析】

由对于，转化为在上的最小值不小于在上的最大值，先求出得最大值，而后结合得到关于的不等式恒成立，再引入新函数，利用导数求得函数的最值，即可求解．

【详解】

由题意，对于，

可得在上的最小值不小于在上的最大值，

由，则，

可得当时，，单调递减，当时，0' altImg='b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png' w='82' h='21' class='_4'>，单调递减，

又由，即在区间上的最大值为4，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

令，则，

当时，，函数单调递减，即在单调递减，

又由，所以在为正，在上为负，

所以在为单调递增，在上单调递减，

所以在上的最大值为，所以．

故选B．

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

13．或

【解析】

向量满足 ，且，，则，解得或，故答案为或.

14．

【解析】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示：

目标函数表示点与可行域内的点连线的斜率，

很明显，在坐标原点处，目标函数取得最小值：，

联立方程：可得：

在点处取得最大值：，

综上可得：的取值范围为.

点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．

(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．

15．

【解析】

函数是奇函数，则，

则，

据此可得：，

其展开式的通项公式为：，

展开式中的常数项满足，即：.

16．

【解析】

当，即时，满足题意；

且易验证，当时，满足题意；

考虑当时的情形：

，

结合有：，

原问题等价于或当时能成立.

考虑到：可得：

或，

求解不等式组有：或，

结合有或；

综上可得：的取值范围为.

17．(1) (2)

【解析】试题分析：⑴利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理列出关系式，将得出的等式变形后代入求出的值，利用特殊角的三角函数值即可求出的大小；

⑵由题意及余弦定理可得出， 的值，然后由三角形面积公式即可求解；

解析：（1）由，可得，

∴， ∴，

又∵， ∴；

（2）若，则，由题意， ，

由余弦定理得，

∴， ∴， ∴．

18．(1) (2)

【解析】

试题分析：

(Ⅰ)结合递推关系可得是以为首项，公比为的等比数列，据此可得通项公式为.

(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论有，分钟求和可得.

试题解析：

（Ⅰ）因为，故，得；

设，所以，，，又因为，

所以数列是以为首项，公比为的等比数列，故，

故.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

故

.

19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】

试题分析：

(Ⅰ)连接，,由中位线的性质可得：，利用线面平行的判断定理即可证得平面.

(Ⅱ)结合直三棱柱的性质，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，据此可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则，求解方程可得，利用线面角的向量求法可得.

试题解析：

（Ⅰ）连接，,则且为的中点，

又 为的中点，，

又平面，平面，故平面.

（Ⅱ）因为是直三棱柱，所以平面，得.因为，，

，故.以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，

，，.

取平面的一个法向量为，

由得：令，得，

同理可得平面的一个法向量为，

二面角的大小为，，

解得，得，又，

设直线与平面所成角为，则 .

点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．

(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．

20．(1) 可以(2)55

【解析】

试题分析：⑴依题意，计算的观测值，即可得到结论；

⑵依题意，的可能取值为且，，，据此得出分布列，计算数学期望

解析：（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，

故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；

（2）依题意，的可能取值为40，70，100，

且，

故的分布列为：

故所求数学期望．

21．（1）（2）1

【解析】

试题分析：

(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组有，，故椭圆的标准方程为.

(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知.易知当直线的斜率不存在时，不合题意.

当直线的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程可得，则

综上所述，为定值.

试题解析：

（Ⅰ）依题意，解得，，

故椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）依题意，.易知当直线的斜率不存在时，不合题意.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

代入中，得，

设，，由,得，

，，

故

综上所述，为定值.

点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

22．(1) 见解析(2)

【解析】

试题分析：（1）求导得，然后分类、两种情况即可得出函数的单调性（2）构造，求导得，构造，分类讨论时、时的两种情况得出的取值范围

解析：（1）依题意，，

若0' altImg='d2134ed106c5c7526b37b598ab904286.png' w='139' h='21' class='_7'>，函数在上单调递增；

若，当时，，当时，0' altImg='10644bc491a071b5b5b1c90f133b5ac1.png' w='88' h='21' class='_7'>，

函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）依题意，，即在上恒成立，

令，则，

令，则是上的增函数，即，

①当时，，所以，因此是上的增函数，

则，因此时，成立，

②当时，，得，

求得，（由于，所以舍去）

当时，，则在上递减，

当时，0' altImg='7b1ddb2cef4ab53373ee9d51dad0eed5.png' w='94' h='21' class='_7'>，则在上递增，

所以当时，，

因此时，不可能恒成立，

综合上述，实数的取值范围是．

点睛：本题考查了导数的单调性与恒成立问题，当遇到参量时需要进行分类讨论，在有参量求恒成立问题时有两种方法：分离含参量与不分离含参量，本题没有分类参量，带着参量一起求导，然后分类讨论

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