数的整除（3）最大公因数、最小公倍数
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【知识要点】
1、 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。
2、 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。
3、 两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：
（1）（a，b）×［a，b］=a×b；
（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。
（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。
【典型例题】
例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.
例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？
解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？
解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.
例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？
解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1. ［2，3，4，5，6，7］=420， 最小数是：420+1=421。
【精英班】例5、两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是16，请写出这两个整数。
解：1925=5×5×7×11 ，两个商都是1925的因数，互质，而且和为16，所以这两个商分别为5、11. 即：1925÷5=385， 1925÷11=175.
【竞赛班】例6、大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个环形花圃的周长。他俩的起步和走的方向完全相同。小明的平均步长54厘米，爸爸平均步长72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下60个脚印，这个花圃的周长是多少米？
解：根据题意从第一个脚印重合到下一个重合脚印点的路程长度是他们步长的最小公倍数。［54，72］=216，在这216厘米的路程中小明留下216÷54=4个脚印，爸爸应留下216÷72=3个脚印，由于两人最后重合了一个脚印，所以雪地上实际只留下4+3－1=6个脚印。周长：216×（60÷6）=2160厘米=21.6米。
【课后分层练习】
A组：入门级
1. 甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，乙数应该是多少？
解：甲数×乙数=288×4，所以乙数=288×4÷36=32.
2. 两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126.这两个数的和是多少？
解：126=21×6＝21×2×3，所以这两个数是21×2与21×3；或21与21×6，从而这两个数的和是：21×2+21×3=105或21+21×6=147.
3. 从运动场一端到另一端全长96米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？
解：因为［6，4］=12，可以不拔出来的小红旗有96÷12+1=9（面）
4. 三位小朋友每人隔不同的天数到图书馆一次：甲隔2天去一次，乙隔3天去一次，丙隔4天去一次。上次他们在星期二在图书馆相遇，还要多少天他们才能再在图书馆相遇；相遇时是星期几？
解：［3，4，5］=60；还要60天再次在图书馆相遇。
60÷7=8周……4天；相遇时是星期六。
5. 四个自然数的和为1111，这四个数的公因数最大是几？
解：1111=11×101，四个数的公因数必是其和的因数，故公因数最大不超过101，又1+2+3+5=11，所以101，202，303，505这四个数的和为1111，且它们的最大公因数为101.
B组：进阶级
1、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900（秒）=15（分）。
2、用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？
解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。
3、用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？
解：（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。
4、 一组五个连续自然数的和能分别被2，3，4，5，6整除，求满足此条件的最小一组数。
解：由于2，3，4，5，6的最小公倍数是60，得这五个数的和为60的倍数，即至少为60，60÷5=12，得10+11+12+13+14=60,故满足条件的最小一组数为10、11、12、13、14。
C组：挑战级
1、在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？
解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）
小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。
所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。
2、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。[6，5，4，3，2]=60，
爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁），爷爷的年龄=10×7=70（岁）。
3、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”当a=60时， b=（a，b）×[a，b]÷a=12×120÷60=24；当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a=12×120÷120=12。所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。
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