第22讲 一元二次方程的应用

第22讲　一元二次方程的应用

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【思维入门】

1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是 (　B　)

A．100(1＋x)2＝81　　　　 B．100(1－x)2＝81

C．100(1－x%)2＝81 D．100x2＝81

2．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为 (　B　)

A. x(x＋1)＝28 B. x(x－1)＝28

C．x(x＋1)＝28 D．x(x－1)＝28

3．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出方程是 (　A　)

A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15

C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15

4．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 (　C　)

A．50(1＋x2)＝196

B．50＋50(1＋x)2＝196

C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196

D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196

5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得

1＋x＋x(1＋x)＝64.

解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)；

答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；

(2)7×64＝448(人)．

答：第三轮将又有448人被传染．

【思维拓展】

6．用长为32 m的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x m，面积为y m2.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60 m2?

(3)能否围成面积为70 m2的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．

解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0<x<16)；

(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.

所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60 m2；

(3)当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理得x2－16x＋70＝0，

由于Δ＝256－280＝－24<0，

此方程无解，所以不能围成面积为70 m2的养鸡场．

7．为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室，经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．

(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？

(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需要集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户集资20 000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0)，则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，求a的值．

解：(1)设用于购买书桌、书架等设施的资金为x元，由题意，得

30 000－x≥3x，

解得x≤7 500，

∴最多花7 500元资金购买书桌、书架等设施；

(2)由题意，得

200·150＝20 000.

设x＝a%，则3＝2，整理得，10x2＋x－3＝0.

解得x1＝－0.6(不合题意，舍去)，x2＝0.5.

∴a%＝0.5，∴a＝50.

答：a的值为50.

word/media/image8_1.png8．已知某市2013年企业月用水量x(t)与该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图6－22－1所示．

(1)当x≥50时，求y关于x的函数关系式；

(2)若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；

(3)为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80 t的企业加污水处理费．规定若企业月用水量x超过80 t，则除按2013年收费标准收取水费外，超过 80 t部分每吨另加收元．若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求该企业3月份的用水量．

解：(1)设所求的函数关系式为y＝kx＋b.

∵直线y＝kx＋b经过点(50，200)，(60，260)．

∴解得

答：所求的函数关系式为y＝6x－100；

(2)由图可知，当y＝620时，x>50，∴620＝6x－100，解得x＝120.

答：该企业2013年10月份的用水量为120 t；

(3)由题意，得6x－100＋(x－80)＝600.

化简得x2＋40x－14 000＝0，

解得x1＝100，x2＝－140(不合题意，舍去)．

答：该企业2014年3月份的用水量为100 t.

9．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46 000 m2，施工队在绿化了22 000 m2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？

(2)该项绿化工程中有一块长为20 m，宽为8 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图6－22－2所示)，问人行通道的宽度是多少米？

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图6－22－2

解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成x m2，

根据题意，得－＝4

解得x＝2 000，

经检验，x＝2 000是原方程的解，

答：该项绿化工程原计划每天完成2 000 m2.

(2)设人行通道的宽度为x m，根据题意，得

(20－3x)(8－2x)＝56.

解得x＝2或x＝(不合题意，舍去)．

答：人行通道的宽度为2 m.

【思维升华】

10．在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，图6－22－4分别是小华与小芳的设计方案．

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图6－22－3

(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；

(2)你还有其他的设计方案吗？请在图6－22－5中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．

解：(1)不符合．

设小路宽度均为x m，根据题意，得

(16－2x)(12－2x)＝×16×12，

解这个方程得x1＝2，x2＝12.

但x2＝12不符合题意，应舍去，

∴x＝2，

∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m.

(2)如答图，答案不唯一．

例如：

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第10题答图

左边的图形，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；

右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4 m时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e54205d70812a21614791711cc7931b764ce7b5e.html