川省南充市高考数学一诊试卷理科

川省南充市高考数学一诊试卷理科

2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．必有1个 B．1个或2个 C．至多1个 D．可能2个以上

2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（　　）

A． B． C． D．

3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（　　）

A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6

4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：

则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（　　）

A．=﹣ B．=﹣+ C．=﹣+ D．=﹣

5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么 f（2018）=（　　）

A．1 B．2 C．0 D．﹣1

6．（5分）若0＜m＜1，则（　　）

A．logm（1+m）＞logm（1﹣m） B．logm（1+m）＞0

C．1﹣m＞（1+m）2 D．

7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（　　）

A． B．4 C．3 D．

8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（　　）

A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5] D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）

9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（　　）

A． B． C． D．

10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（　　）

A． B．48π C．24π D．16π

11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（　　）

A．[，1） B．[，1） C．[，1） D．[，1]

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）的展开式中有理项系数之和为　 　．

14．（5分）函数y=的单调递增区间是　 　．

15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　 　．

16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{}的前n项和为Tn，求Tn．

18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．

（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．

（1）证明：MN∥平面BCE；

（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．

20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．

（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；

（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．

21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．

（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；

（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

（1）求C的普通方程和l的倾斜角；

（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

23．已知函数f（x）=|x+1|．

（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；

（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．

2018年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．必有1个 B．1个或2个 C．至多1个 D．可能2个以上

【解答】解：集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，

则A∩B={（x，y）|y=f（x），且x=1}，

当x=1时，f（1）的值存在，A∩B={（1，f（1））}，有一个元素；

当x=1时，f（1）的值不存在，A∩B=，没有元素；

∴A∩B中元素的个数至多一个．

故选：C．

2．（5分）已知复数z满足，则复数z的虚部是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由，

得==，

∴z=，

∴复数z的虚部是﹣．

故选：C．

3．（5分）已知向量是互相垂直的单位向量，且，则=（　　）

A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6

【解答】解：向量是互相垂直的单位向量，且，

则=0﹣+5=﹣1+5×（﹣1）=﹣6．

故选：D．

4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：

则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（　　）

A．=﹣ B．=﹣+ C．=﹣+ D．=﹣

【解答】解：根据表中数据，得；

=（6+5+10+12）=，

=（6+5+3+2）=4，

且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，

所以，验证=时，=﹣×+≈4，

即回归直线=﹣+过样本中心点（，）．

故选：B．

5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么 f（2018）=（　　）

A．1 B．2 C．0 D．﹣1

【解答】解：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，

若f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，则asinα+bcosβ=1，

那么 f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bcosβ=1，

故选：A．

6．（5分）若0＜m＜1，则（　　）

A．logm（1+m）＞logm（1﹣m） B．logm（1+m）＞0

C．1﹣m＞（1+m）2 D．

【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=logmx是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m＞1﹣m＞0，∴logm（1+m）＜logm（1﹣m）；∴A不正确；

②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴logm（1+m）＜0；∴B不正确；

③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；

④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是定义域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；

故选：D．

7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（　　）

A． B．4 C．3 D．

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

截面是等腰梯形FHDE，

∵正方体的棱长为2，

∴FH=，DE=，梯形的高为．

∴该截面的面积为S=．

故选：A．

8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（　　）

A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5] D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）

【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，

则f′（﹣1）f′（1）＜0，

即（1﹣a）（5﹣a）＜0，

解得1＜a＜5，

另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，

当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，

故选：B．

9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（　　）

A． B． C． D．

【解答】.解：由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC=，AB=2 ，BC=，由题意知，，

△BCD中，由余弦定理得 DB2=DC2+CB2﹣2DCCBcos（45°+90°）=1+6+2×1×=7+2

∵∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2①．

如图，作，，则

CC′=x﹣1，C′B=y，

Rt△CC′B中，由勾股定理得 BC2=CC'2+C′B2，

即 6=（x﹣1）2+y2，②

由①②可得 x=1+，y=．

那么：x+y=1+2

故选：B．

10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（　　）

A． B．48π C．24π D．16π

【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，

把A、B、C、D扩展为三棱柱，

上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，

AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，

所以AE=．

AO=．

所求球的体积为：==32．

故选A．

11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：由x2=4y，对其求导得．

设A，B，则直线PA，PB的斜率分别为kPA=，kPB=．

由点斜式得PA，PB的方程分别为：y﹣=．=（x﹣x2），

联立解得P，

因为P在l上，所以=﹣1，

所以kPAkPB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．

所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．

故选：C．

12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（　　）

A．[，1） B．[，1） C．[，1） D．[，1]

【解答】解：由f（m）=2ln﹣f（n）得 f（m）+f（n）=1，f（mn）=1﹣=1﹣，

又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+≥4+4=8，

∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，

故选：B．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）的展开式中有理项系数之和为　32　．

【解答】解：由，得通项，

∴当r=0、2、4、6时，Tr+1为有理项，

此时有理项系数之和为=．

故答案为：32．

14．（5分）函数y=的单调递增区间是　[0，]　．

【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），

由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，

当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，

由x∈[0，]可得x∈[0，]，

故答案为：[0，]．

15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　4　．

【解答】解：由题 O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，

可得＜|m|＜．

再根据题意可得O1A⊥AO2，

∴m2=5+20=25，

∴m=±5，

∴利用，

解得：AB=4．

故答案为：4．

16．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是　（0，）　．

【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），

且f（x）是定义域为R的偶函数，

令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），

又f（﹣1）=f（1），

∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），

∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．

当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，

函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．

∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，

令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．

∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，

要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，

则有g（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，

即loga3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，

故答案为：（0，）．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{}的前n项和为Tn，求Tn．

【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．

当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

所以an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），

即=2，

所以数列{an}是以首项为2，公比为2的等比数列，

故an=2n（n∈N*）．

（2）=（n+1）（）n，

则Tn=2（）+3（）2+4（）3+…+（n+1）（）n，

Tn=2（）2+3（）3+4（）4+…+（n+1）（）n+1，

上面两式相减，可得

Tn=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）（）n+1，

=1+﹣（n+1）（）n+1，

化简可得Tn=3﹣（n+3）（）n．

18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．

（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

【解答】解：（1）由题意得，（++a+）×10=1

解得a=；

又由最高矩形中点的横坐标为20，

可估计盒子中小球重量的众数约为20，

而50个样本小球重量的平均值为：

=×10+×20+×30+×40=（克）

故估计盒子中小球重量的平均值约为克．

（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的；

则X～B（3，），

X=0，1，2，3；

P（X=0）=×（）3=；

P（X=1）=×（）2×=；

P（X=2）=×（）×（）2=；

P（X=3）=×（）3=，

∴X的分布列为：

即E（X）=0×=．

19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，M，N分别是DE，AB的中点．

（1）证明：MN∥平面BCE；

（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．

【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．

由题意可得MP∥AD∥BC，

因为MP平面BCE，BC平面BCE，

所以MP∥平面BCE，

同理可证NP∥平面BCE．

因为MP∩NP=P，

所以平面MNP∥平面BCE，

又MN平面MNP，

所以MN∥平面BCE．

（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE．

由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系．

令AB=2，则．

所以．

设平面MAB的法向量

则

令x=2，则

因为是平面ABE的一个法向量

所以

所以锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值为．

20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．

（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；

（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．

【解答】解：（1）设P（x0，y0），又 A（﹣2，0），F（﹣1，0）

所以=，

因为P点在椭圆上，

所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，

函数在[﹣2，2]单调递增，

当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；

当x0=2时，f（x0）取最大值为12．

所以的取值范围是[0，12]．

（2）由题意：

联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0

由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①

设M（x1，y1），N（x2，y2），则．

==0，

所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0

即，

4k2﹣16km+7m2=0，

所以或均适合①．

当时，直线l过点A，舍去，

当时，直线过定点．

21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．

（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；

（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．

【解答】解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数f′（x）=﹣2x+a≤0

在[1，+∞）上恒成立a≤2x﹣在[1，+∞）上恒成立，

令h（x）=2x﹣，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）h（x）在[1，+∞）上为增函数h（x）min=h（1）=，

所以a≤；

（2）若对任意x1∈[﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（﹣1，+∞）上的值域是函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为

a=﹣1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x+2，定义域（﹣1，+∞）

f′（x）=﹣2x﹣1=

令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．

当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

所以f（x）max=f（0）=2所以f（x）的值域为（﹣∞，2）

对于函数g（x）=﹣x2+2bx+b=﹣（x﹣b）2+b+b2

①当b≤﹣1时，g（x）的最大值为g（﹣1）=﹣1﹣bg（x）值域为（﹣∞，﹣1﹣b]

由﹣1﹣b≥2b≤3；

②当b＞﹣1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+bg（x）值域为（﹣∞，b2+b]

由b2+b≥2b≥1或b≤﹣2（舍去），

综上所述，b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1．+∞）．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

（1）求C的普通方程和l的倾斜角；

（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

【解答】解：（1）由消去参数α，得

即C的普通方程为

由，得ρsinθ﹣ρcosθ①

将代入①得y=x+2

所以直线l的斜率角为．

（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）

即（t为参数），

代入并化简得

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．

则，所以t1＜0，t2＜0

所以．

23．已知函数f（x）=|x+1|．

（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；

（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．

【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；

②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；

③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．

综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；

（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，

则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．

∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|

=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|

=|b||a+1|﹣|a+1|=|a+1|（|b|﹣1|）＞0，

故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．

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