地理坐标系统与投影坐标系统教材

坐标系统又可分为两大类：地理坐标系统、投影坐标系统。

弄清地球椭球体(Ellipsoid)、大地基准面(Datum)及地图投影(Projection)三者的基本概念及它们之间的关系。

一、 地球椭球体(Ellipsoid)

地球表面是凸凹不平，是一个无法用数学公式表达的曲面，不能作为测量和制图的基准面。假想一个扁率极小的椭圆，绕短轴旋转所形成的规则椭球体称之为地球椭球体，其表面是一个规则的数学表面，可以用数学公式表达，所以在测量和制图中就用它替代地球的自然表面。

地球椭球体有长半径和短半径之分，长半径(a)即赤道半径，短半径(b)即极半径。f=（a-b）/a为椭球体的扁率，表示椭球体的扁平程度。由此可见，地球椭球体的形状和大小取决于a、b、f 。因此，a、b、f被称为地球椭球体的三要素。 常见的地球椭球体如下：

二、 大地基准面(Datum)

不同的坐标系其实就是所采用的椭球体不同，因此椭球参数不同，原点不同，X Y Z轴不同。

把地球椭球体和基准面结合起来看，如果把地球比做是"马铃薯"，表面凸凹不平，而地球椭球体就好比一个"鸭蛋"，那么按照前面的定义，基准面就定义了怎样拿这个"鸭蛋"去逼近"马铃薯"某一个区域的表面，X、Y、Z轴进行一定的偏移，并各自旋转一定的角度，大小不适当的时候就缩放一下"鸭蛋"，这样通过如上的处理必定可以达到很好的逼近地球某一区域的表面。

因此，每个国家或地区均有各自的基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。椭球体与基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面。

北京54坐标系： (BJZ54)，北京54坐标系为参心大地坐标系，大地上的一点可用经度L54、纬度M54和大地高H54定位，它是以前苏联的克拉索夫斯基椭球为基础，经局部平差后产生的坐标系。它的原点在在前苏联的普尔科沃。

a．属参心大地坐标系；

b．采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数；

c.大地原点在原苏联的普尔科沃；

d．采用多点定位法进行椭球定位；

e．高程基准为 1954年青岛验潮站求出的黄海平均海水面；

f．高程异常以原苏联 1955年大地水准面重新平差结果为起算数据。按我国天文水准路线推算而得。

椭球坐标参数：

长半轴a=6378245m；短半轴=6356863.0188m；扁率α=1/298.3。

缺点：

1、 椭球参数有较大误差。克拉索夫斯基椭球差数与现代精确的椭球参数相比，长半轴约大109m。

2、 参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性的倾斜，在东部地区大地水准面差距最大达+60m。这使得大比例尺地图反映地面的精度受到影响，同时也对观测量元素的归算提出了严格的要求。

3、 几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一。我国在处理重力数据时采用赫尔默特1900～1909年正常重力公式，与这个公式相应的赫尔默特扁球不是旋转椭球，它与克拉索夫斯基椭球是不一致的，这给实际工作带来了麻烦。

4、 定向不明确。椭球短半轴的指向既不是国际普遍采用的国际协议（原点）CIO（Conventional International Origin），也不是我国地极原点JYD1968.0；起始大地子午面也不是国际时间局BIH（Bureau International de I Heure）所定义的格林尼治平均天文台子午面，从而给坐标换算带来一些不便和误差。

1980西安坐标系：

1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据。该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇。基准面采用青岛大港验潮站1952－1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）。

（1）大地原点在我国中部，具体地点是陕西省泾阳县永乐镇；

（2）西安80坐标系是参心坐标系，椭球短轴Z轴平行于地球质心指向地极原点方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文台子午面；X轴在大地起始子午面内与 Z轴垂直指向经度 0方向；Y轴与 Z、X轴成右手坐标系；

（3）椭球参数采用IUG 1975年大会推荐的参数，因而可得西安80椭球两个最常用的几何参数为：

长半轴a=6378140±5（m）

短半轴b=6356755.2882m

扁 率α=1/298.257

第一偏心率平方 =0.00669438499959 第二偏心率平方=0.00673950181947

椭球定位时按我国范围内高程异常值平方和最小为原则求解参数。

（4）多点定位；

（5）大地高程以1956年青岛验潮站求出的黄海平均水面为基准

WGS-84坐标系:

国际上采用的地心坐标系。坐标原点为地球质心，其地心空间直角坐标系的Z轴指向BIH （国际时间服务机构）1984.O定义的协议地球极（CTP)方向，X轴指向BIH 1984.0的零子午面和CTP赤道的交点，Y轴与Z轴、X轴垂直构成右手坐标系. GPS广播星历是以WGS-84坐标系为根据的.

WGS-84采用的椭球是国际大地测量与地球物理联合会第17届大会大地测量常数推荐值，其四个基本参数:

长半径：a=6378137±2（m）；

地球引力和地球质量的乘积：GM=3986005×108m3s-2±0.6×108m3s-2；

正常化二阶带谐系数：C20=-484.16685×10-6±1.3×10-9；

地球重力场二阶带球谐系数：J2=108263×10-8

地球自转角速度：ω=7292115×10-11rads-1±0.150×10-11rads-1

扁率f=0.003352810664

三、 地图投影(Projection) ：将球面坐标转化为平面坐标的过程便称为投影。

地理坐标系是用经纬度表示球面的位置，但精确分析需要在平面上来进行，这就要将地图从三维地理坐标通过投影转换成二维平面坐标，这样的坐标系叫投影坐标系(Coordina te Projection System)，它是在地理坐标系上加上投影转换参数。

投影既然是一种数学变换方法，那么任何一种投影都存在一定的变形，因此可以按照变形性质将投影方法如下分类：等角投影（Conformal Projection）、等积投影（Equal Area Projection）、等距投影（Equidistant Projection）、等方位投影（True-direction Projection）四种。

如果按照投影的构成方法分类又可分为方位、圆柱、圆锥投影三种，在上述三种投影中由于几何面与球面的关系位置不同，又分为正轴、横轴和斜轴三种。如图4－6：

墨卡托(Mercator)投影 ：

是一种"等角正切圆柱投影"。假设地球被围在一个中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的"墨卡托投影"绘制出的地图。

Google们为什么选择墨卡托投影？

墨卡托投影的”等角”特性，保证了对象的形状的不变行，正方形的物体投影后不会变为长方形。”等角”也保证了方向和相互位置的正确性，因此在航海和航空中常常应用，而Google们在计算人们查询地物的方向时不会出错。 墨卡托投影的”圆柱”特性，保证了南北（纬线）和东西（经线）都是平行直线，并且相互垂直。而且经线间隔是相同的，纬线间隔从标准纬线（此处是赤道，也可能是其他纬线）向两级逐渐增大。 但是，”等角”不可避免的带来的面积的巨大变形，特别是两极地区，明显的如格陵兰岛比实际面积扩大了N倍。

为什么是圆形球体，而非椭球体？ 这说来简单，仅仅是由于实现的方便，和计算上的简单，精度理论上差别0.33%之内，特别是比例尺越大，地物更详细的时候，差别基本可以忽略。

高斯-克吕格投影：

高斯是德国杰出的数学家、测量学家。高斯-克吕格尔投影是德国的 C.F.高斯于1822年提出的，后经德国的克吕格尔(J.H.L.Krüger)于1912年加以扩充而完善。他提出的横椭圆柱投影是一种正形投影。它是将一个横椭圆柱套在地球椭球体上，如下图所示：

椭球体中心O在椭圆柱中心轴上，椭球体南北极与椭圆柱相切，并使某一子午线与椭圆柱相切。此子午线称中央子午线。然后将椭球体面上的点、线按正形投影条件投影到椭圆柱上，再沿椭圆柱N、S点母线割开，并展成平面，即成为高斯投影平面。在此平面上：

①中央子午线是直线，其长度不变形，离开中央子午线的其他子午线是弧形，凹向中央子午线。离开中央子午线越远，变形越大。

②投影后赤道是一条直线，赤道与中央子午线保持正交。

③离开赤道的纬线是弧线，凸向赤道。

高斯投影可以将椭球面变成平面，但是离开中央子午线越远变形越大，这种变形将会影响测图和施工精度。为了对长度变形加以控制，测量中采用了限制投影宽度的方法，即将投影区域限制在靠近中央子午线的两侧狭长地带。这种方法称为分带投影。投影带宽度是以相邻两个子午线的经差来划分。有6°带、3°带等不同投影方法。

6°带投影是从英国格林尼治子午线开始，自西向东，每隔6°投影一次。这样将椭球分成60个带，编号为1～60带，如下图所示：



各带中央子午线经度(L)可用下式计算：

  式中n为6°带的带号。

已知某点大地经度L，可按下式计算该点所属的带号：

有余数时，为n的整数商+1。

3°带是在6°带基础上划分的，其中央子午线在奇数带时与6°带中央子午线重合，每隔3°为一带，共120带，各带中央子午线经度(L)为：

式中n′为3°带的带号。

我国幅员辽阔，含有11个6°带，即从13～23带(中央子午线从75°～135°)，21个3°带，从25～45带。北京位于6°带的第20带，中央子午线经度为117°。

高斯-克吕格投影的基本知识：我国大中比例尺地图均采用高斯-克吕格投影Gauss Kruger，其通常是按6度和3度分带投影，1:2.5万－1:50万比例尺地形图采用经差6度分带，1:1万比例尺的地形图采用经差3度分带。

UTM投影

全称为"通用横轴墨卡托投影"，是一种"等角横轴割圆柱投影"，椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形，而中央经线上长度比0.9996。UTM投影是为了全球战争需要创建的，美国于1948年完成这种通用投影系统的计算。与高斯-克吕格投影相似，该投影角度没有变形，中央经线为直线，且为投影的对称轴，中央经线的比例因子取0.9996是为了保证离中央经线左右约330km处有两条不失真的标准经线。UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，将地球划分为60个投影带。我国的卫星影像资料常采用UTM投影。

两者异同

高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。

从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是"等角横切圆柱投影"，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是"等角横轴割圆柱投影"，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996，该投影将地球划分为60个投影带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。

从计算结果看，UTM投影与高斯投影的主要区别在南北格网线的比例系数上，高斯-克吕格投影的中央经线投影后保持长度不变，即比例系数为1，而UTM投影的比例系数为0.9996。UTM投影沿每一条南北格网线比例系数为常数，在东西方向则为变数，中心格网线的比例系数为0.9996，在南北纵行最宽部分的边缘上距离中心点大约 363公里，比例系数为 1.00158。

从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。

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