2019年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）高考数学三模试卷（理科）

2019年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）高考数学三模试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A．{﹣1，1} B．{0} C．{﹣1，0，1} D．[﹣1，1]

2．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）

A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0

C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤O D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0

3．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝4，则（﹣）＝（　　）

A．﹣16 B．﹣13 C．﹣12 D．﹣10

4．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（　　）

A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x

5．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，a1+a2+a3＝7，则a3+a4+a5＝（　　）

A．14 B．21 C．28 D．63

6．（5分）某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（　　）

附若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545

A．171 B．239 C．341 D．477

7．（5分）在复平面内，复数z＝a+bi（a∈R，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设||＝r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z＝r（cosθ+isinθ），法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），则（）5＝（　　）

A． B． C． D．

8．（5分）运行程序框图，如果输入某个正数n后，输出的s∈（20，50），那么n的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

9．（5分）已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD＝DC，BD⊥CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

10．（5分）一项针对都市熟男（三线以上城市30～50岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者、1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：

根据表格中数据判断，以下分析错误的是（　　）

A．都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品

B．从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前

C．80前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品

D．被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2：1

11．（5分）椭圆+y2＝1上存在两点A，B关于直线4x﹣2y﹣3＝0对称，若O为坐标原点，则||＝（　　）

A．1 B． C． D．

12．（5分）如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′﹣ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为（　　）

A． B． C． D．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝24，a8＝17，则S8＝　 　．

14．（5分）函数y＝sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x＝，则ω的最小值为　 　．

15．（5分）若函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围是　 　．

16．（5分）已知f（x）＝+b，g（x）＝f2（x）﹣1，其中a≠0，c＞0，则下列判断正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）

①f（x）关于点（0，b）成中心对称

②f（x）在（0，+∞）上单调递增

③存在M＞0，使|f（x）|≤M

④若g（x）有零点，则b＝0

⑤g（x）＝0的解集可能为{1，﹣1，2，﹣2}

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。

17．（12分）在△ABC中，2sinA•sinB（1﹣tan•tanB）＝tanA•tanB．

（Ⅰ）求∠C的大小；

（Ⅱ）求sinA﹣cosB的取值范围．

18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ACD是边长为2的等边三角形，且AB＝BC＝，PA＝2，点M是棱PC上的动点．

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）当线段MB最小时，求直线MB与平面PBD所成角的正弦值．

19．（12分）现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（sEMG）等指标．

（Ⅰ）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：

实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376

实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361

完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？

（Ⅱ）实验过程中测得时间t（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG）的中位数y（Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86），（60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75）建立y关于时间t的线性回归方程；

（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？

参考数据：（ti）（yi）＝﹣1800

参考公式：回归方程＝t+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝．

20．（12分）抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，交抛物线于M，N两点．

（Ⅰ）求证：直线AB与抛物线相切；

（Ⅱ）若点A满足AM⊥AN，求此时点A的坐标．

21．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣x）ek（x﹣1）﹣x（k∈R，e为自然对数的底数）

（Ⅰ）若f（x）在R上单调递减，求k的最大值；

（Ⅱ）当x∈（1，2）时，证明：ln＞2（x﹣）．

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数），A（2，0），P为曲线C上的一动点．

（Ⅰ）求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形面积；

（Ⅱ）若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|3x+2|．

（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；

（Ⅱ）已知m＞0，n＞0，m+n＝1，若对任意的x∈R，m＞0，n＞0不等式|x﹣a|﹣f（x）≤（a＞0）恒成立，求正数a的取值范围．

2019年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【分析】利用交集定义直接求解．

【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2≤1}＝{﹣1，0，1}，

B＝{﹣1，0，1，2}，

∴A∩B＝{﹣1，0，1}．

故选：C．

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．【分析】将量词否定，结论否定，可得结论．

【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3﹣x2+1＞0

故选：B．

【点评】本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

3．【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．

【解答】解：向量，的夹角为60°，||＝2，||＝4，

则（﹣）＝＝＝﹣12．

故选：C．

【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．

4．【分析】根据题意，由双曲线的离心率e＝2可得c＝2a，由双曲线的几何性质可得b＝＝a，即＝，由双曲线的渐近线方程可得答案．

【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，

其焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，

又由其离心率e＝＝2，则c＝2a，

则b＝＝a，即＝，

则其渐近线方程y＝±x；

故选：B．

【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程．

5．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1＝1，a1+a2+a3＝7，

∴1+q+q2＝7，解得q＝2．

则a3+a4+a5＝q2+q3+q4＝4+8+16＝28．

故选：C．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．【分析】先根据正态分布求得质量在（10，10.2）kg的袋数的概率，再根据袋数Y服从二项分布可得．

【解答】解：∵P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545，且μ＝10，σ＝0.1，

∴P（9.8＜X＜10.2）≈0.9545，∴P（10＜X＜10.2）＝＝0.47725，

则面粉质量在（10，10.2）kg的袋数Y服从二项分布，即Y～B（500，0.47752），

则E（Y）＝500×0.47752≈239．

故选：B．

【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．

7．【分析】（）5＝，再利用棣莫弗定理即可得出．

【解答】解：（）5＝＝+i＝﹣i．

故选：A．

【点评】本题考查了棣莫弗定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得

s＝0，k＝1

第1次执行循环体，s＝1，k＝2

第2次执行循环体，s＝4，k＝3

第3次执行循环体，s＝13，k＝4

第4次执行循环体，s＝40，k＝5

第5次执行循环体，s＝121，k＝6

由上可知，若要输出的s∈（20，50），那么n的值为4，即k＝5＞4时，退出循环得解．

故选：B．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

9．【分析】以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BD所成角的余弦值．

【解答】解：四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD＝DC，BD⊥CD，

以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

A（0，1，），C（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，0），

＝（2，﹣1，﹣），＝（0，﹣2，0），

设异面直线AC与BD所成角为θ，

则cosθ＝＝＝．

∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为．

故选：A．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

10．【分析】根据表中的数据逐项进行分析可得．

【解答】解：对于选项A，从表中的数据可得都是熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A正确；

对于选项B，从表中后两列的数据可以看出，前6项的比例均是80后得意愿高于80前的意愿，所以B正确；

对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中7类高价商品的比例为32.1%，约为3成，所以C正确；

对于选项D，根据表中数据不能得到被调查者的都是熟男中800后人数与80前人数的比例，所以D不正确．

故选：D．

【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．

11．【分析】将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为﹣，代入求得AB中点M（x0，y0），求出点M的坐标，再根据向量的模计算即可．

【解答】解：∵椭圆+y2＝1上，焦点在x轴上，

设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线4x﹣2y﹣3＝0对称，

AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为﹣，

则x12+4y12＝4，①

x22+4y22＝4，②

①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，

由中点坐标公式可知：x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，

即 2x0•（x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）＝0，

∴＝﹣＝﹣，

∴2y0＝x0，代入直线方程4x﹣2y﹣3＝0，得x0＝1，y0＝，

∴x1+x2＝2，y1+y2＝1，

∴＝（x1+x2，y1+y2）＝（2，1）

∴||＝＝，

故选：C．

【点评】本题考查作差法求弦的直线方程的斜率，点与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．

12．【分析】当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面ABD′距离的最大值．

【解答】解：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1，

E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′﹣ABCE，

当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，

∵D′E⊥AE，CE∩AE＝E，∴D′E⊥平面ABCE，

以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，1，0），C（1，0，0），D′（0，0，1），B（1，1，0），

＝（1，0，0），＝（1，﹣1，0），＝（0，﹣1，1），

设平面ABD′的法向量＝（x，y，z），

则，取y＝1，得＝（0，1，1），

∴点C到平面ABD′距离的最大值为：

d＝＝＝．

故选：B．

【点评】本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S4＝24，a8＝17，

∴4a1+d＝24，a1+7d＝17，

解得a1＝3，d＝2，

则S8＝＝80．

故答案为：80．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．

【解答】解：函数y＝sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x＝，

故：（k∈Z），

解得：ω＝6k+2（k∈Z），

由于：ω∈N*，

当k＝0时，ω的最小值为2．

故答案为：2

【点评】本题考查的知识要点：三角函数中正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

15．【分析】由指数函数的单调性和定义，可得m＞0且1+20≥0+m﹣1，解不等式可得所求范围．

【解答】解：函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上单调递增，

由x≥0时，f（x）＝1+2x递增，

可得x＜0时，f（x）也递增，即有m＞0，

且1+20≥0+m﹣1，即m≤3，

综上可得0＜m≤3．

故答案为：0＜m≤3．

【点评】本题考查分段函数的单调性，注意运用指数函数的单调性和定义法，考查运算能力，属于基础题．

16．【分析】对于①根据y＝是定义域R上的奇函数，f（x）是由y＝向上平移b个单位得到，故①正确；对于②，求导后讨论f（x）的单调性即可得到结论；对于③结合②的结论，|f（x）|≤max{f（﹣），}，故③正确；对于④，由g（x）有零点，得b═，b不一定为0，所以④错误；对于⑤举出实例即可．

【解答】解：对于①，函数y＝是定义域R上的奇函数，图象关于原点（0，0）对称，

所以函数f（x）＝+b的图象关于点（0，b）对称，①正确；

对于②，x＞0时，f'（x）＝＝，当﹣时，f'（x）＞0，当x或x时，f'（x）＜0，所以f（x）在[﹣，]上单调递增，在（﹣∞，﹣）和（，+∞）上单调递减．所以②错；

对于③，由②知，函数f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在[﹣，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当x→∞时y＝→0，所以当x→∞时，f（x）→b，所以|f（x）|≤max{f（﹣），}，所以存在存在M＞0，使|f（x）|≤M；

对于④若g（x）有零点，只需|f（x）|＝1，即b＝，b不一定为0，④错误；

对于⑤，当a＝﹣20，b＝9，c＝1时，g（x）＝0的解集为{1，﹣1，2，﹣2}．故⑤正确；

故填：①③⑤．

【点评】本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等．属于难题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。

17．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由题意利用三角恒等变换求得cos（A+B）＝，可得A+B＝，可得∠C的大小．

（Ⅱ）化简sinA﹣cosB为sin（A﹣），再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，2sinA•sinB（1﹣tan•tanB）＝tanA•tanB，

∴两边同时乘以cosAcosB，可得2sinA•sinB（cosAcosB﹣sinAsinB）＝sinA•sinB，

∴2cosAcosB﹣2sinAsinB＝1，即2cos（A+B）＝1，即cos（A+B）＝，∴A+B＝，∴C＝．

（Ⅱ）sinA﹣cosB＝sinA﹣cos（﹣A）＝sinA﹣cosA﹣sinA＝sinA﹣cosA＝sin（A﹣），

∵A∈（0，），∴A﹣∈（﹣，），∴sin（A﹣）∈（﹣，），

sinA﹣cosB的取值范围为（﹣，）．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

18．【分析】（I）取AC中点O，可证O在直线BD上，得出BD⊥AC，BD⊥PA，于是BD⊥平面PAC，得出平面PAC⊥平面PBD；

（II）取PC中点E，证明OE⊥平面ABCD，以O为原点建立空间坐标系，求出||最短时对应的坐标，求出平面PBD的法向量，计算平面法向量与的夹角的余弦值即可得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，

取AC中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，AC⊥OD，∴点O，B，D共线，即AC⊥BD，

又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．

∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．

（Ⅱ）解：取CP中点E，连接OE，OE∥PA，∴OE⊥底面ABCD，

∴OC，OD，OE两两垂直，

以O为原点如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，，0），P（﹣1，0，2），

∴＝（0，+1，0），＝（﹣1，1，2），

设平面PBD的法向量为＝（x，y，z），则，即，

令z＝1可得平面PBD的一个法向量＝（2，0，1），

设＝λ（0≤λ≤1），则＝+＝（1﹣2λ，1，2λ），

∴||＝＝，

∴当λ＝时，||取得最小值，此时＝（，1，），

设直线MB与平面PBD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，

∴直线MB与平面PBD所成角的正弦值为．

【点评】本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题．

19．【分析】（Ⅰ）根据题意填写茎叶图，计算平均值、，求出﹣ 的值；

（II）计算平均值，求出回归系数、，写出y关于t的线性回归方程；

（III）根据题意知40分钟到60分钟y的下降幅度最大，说明60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，该休息了．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图如下；

计算＝×（346+357+358+360+362+362+364+372+373+376）＝363，

＝×（313+321+322+324+330+332+334+343+350+361）＝333，

﹣＝363﹣333＝30（N），

所以实验前后握力的平均值下降了30N；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（II）＝80，＝80，（ti﹣）（yi﹣）＝﹣1800，

＝（0﹣80）2+（20﹣80）2+（40﹣80）2+（60﹣80）2+（80﹣80）2+（100﹣80）2+（120﹣80）2+（140﹣80）2+（160﹣80）2＝24000；

回归系数为＝＝＝﹣0.075，

＝＝80﹣（﹣0.075）×80＝86，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

y关于时间t的线性回归方程为：＝﹣0.075t+86；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

（III）九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，

所以使用鼠标60分钟就该休息了．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．

20．【分析】（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），分别求出直线AF的斜率，可得直线BF的方程，求出点B的坐标，根据直线核对斜率公式和导数的几何意义已即可证明．

（Ⅱ）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），求出直线AM，AN的斜率，根据直线的垂直可得x1x2+x0（x1+x2）+x02＝﹣16，再根据韦达定理，即可求出点A的坐标．

【解答】解：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），F（0，1），

∴直线AF的斜率为，

由已知直线BF斜率存在，直线BF的方程为y＝x+1，

令y＝﹣1，x＝，

∴B（，﹣1），

直线AB的斜率为＝＝，由y＝知，y′|＝，

∴直线AB与抛物线相切．

（II）A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

直线AM的斜率为＝＝，

直线AN的斜率为＝，

∵AM⊥AN，

∴•＝﹣1，

∴x1x2+x0（x1+x2）+x02＝﹣16，

∴，

∴x2﹣x﹣4＝0，

∴x1+x2＝，x1x2＝﹣4

∴x02+x0﹣4＝﹣16，

∴y02﹣2y0﹣3＝0

∵y0＞0，

∴y0＝3，

又x0＞0，

∴x0＝2，

∴存在A（2，3），使得AM⊥AN．

【点评】本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，导数的几何意义，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．

21．【分析】（I）推导出f′（x）＝ek（x﹣1）[k（2﹣x）﹣1]﹣1≤0恒成立，从而﹣kx+2k﹣1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）＝，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．推导出k≤2．当k＝2时，，g′（1）＝0，利用导数性质推导出g（x）≥0恒成立，由此能求出k的最大值．

（II）当k＝2时，f（x）＝（2﹣x）•e2（x﹣1）﹣x单调递减，且f（1）＝0，当x∈（1，2）时，（2﹣x）•e2（x﹣1）＜x，从而ln（2﹣x）+2（x﹣1）＜lnx，2（x﹣1）＜ln，再证明：﹣，由此能证明ln＞2（x﹣）成立．

【解答】解：（I）∵函数f（x）＝（2﹣x）ek（x﹣1）﹣x（k∈R，e为自然对数的底数），

∴f′（x）＝ek（x﹣1）[k（2﹣x）﹣1]﹣1≤0恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

即﹣kx+2k﹣1≤对于∀x∈R恒成立，

设g（x）＝，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．

则g（1）＝2﹣k≥0，∴k≤2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

当k＝2时，，g′（1）＝0，

x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，

x∈（﹣∞，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减，

g（x）min＝g（1）＝0，即g（x）≥0恒成立，

故k的最大值为2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

证明：（II）当k＝2时，f（x）＝（2﹣x）•e2（x﹣1）﹣x单调递减，且f（1）＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

当x∈（1，2）时，f（x）＜f（1），即（2﹣x）•e2（x﹣1）＜x，

ln（2﹣x）+2（x﹣1）＜lnx，2（x﹣1）＜ln，①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

下面证明：﹣，②

令H（x）＝ln（2x﹣1）﹣（﹣），则H′（x）＝≥0，

∴H（x）单调递增，H（x）＞H（1）＝0，故②成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）

由①+②得ln＞2（x﹣）成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．【分析】（Ⅰ）设θ＝时对应的点为M，θ＝时对应的点为N，线段AP扫过的面积＝S△AMN+S弓形＝S△OMN+S弓形＝S扇形OMN＝×12×＝；

（Ⅱ）根据中点公式求得中点坐标代入曲线C的方程可得．

【解答】解：（I）设θ＝时对应的点为M，θ＝时对应的点为N，

线段AP扫过的面积＝S△AMN+S弓形＝S△OMN+S弓形＝S扇形OMN＝×12×＝﹣﹣﹣﹣（4分）

（II）设P（cosθ，sinθ），A（2，0）

∵P为线段AQ的中点，∴Q（2cosθ﹣2，2sinθ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

∵Q在曲线C上，曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝1

∴（2cosθ﹣2）2+（2sinθ）2＝1

∴8cosθ＝7，cosθ＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

P（，±）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）＝|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．

【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，

∴①，或②，或 ③．

解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．

综上可得，不等式的解集为（﹣，）．

（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），∴+＝（m+n）（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当m＝n＝时，取等号．

再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．

设g（x）＝|x﹣a|﹣|3x+2|＝，故函数g（x）的最大值为g（﹣）＝+a，

再由+a≤4，求得 0＜a≤．

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．

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