2019高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 平面解析几何（教师版）

平面解析几何

一、高考预测

解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2018年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．

圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2018年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．

解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．

二、知识导学

(一)直线的方程

1.点斜式：；2. 截距式：；

3.两点式：；4. 截距式：；

5.一般式：，其中A、B不同时为0.

(二)两条直线的位置关系

两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.

设直线：=+，直线：=+，则

∥的充要条件是=，且=；⊥的充要条件是=-1.

(三)圆的有关问题

1.圆的标准方程

（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.

特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.

2.圆的一般方程

（＞0）称为圆的一般方程，

其圆心坐标为（，），半径为.

当=0时，方程表示一个点（，）；

当＜0时，方程不表示任何图形.

3.圆的参数方程

圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

（θ为参数）

（θ为参数）

(四) 椭圆及其标准方程

1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.

2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.

3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

(五)椭圆的简单几何性质

1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.

⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.

⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

⑶ 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.

线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.

椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.

(六)椭圆的参数方程

椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.

说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.

(七)双曲线及其标准方程

1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.

若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

2. 双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.

(九)抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。

需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。

2．抛物线的方程有四种类型：、、、.

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。

3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例

（1）范围：x≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

（5）准线方程；

（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.

注意事项

1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.

⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.

⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.

⑷当直线或的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直

⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.

2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.⑷双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.⑸双曲线的标准方程有两个和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.

解题的策略有：1、注意直线倾斜角范围 、设直线方程时注意斜率是否存在，可以设成 ，包含斜率不存在情况，但不包含斜率为0情况。注意截距为0的情况；注意点关于直线对称问题（光线的反射问题）；注意证明曲线过定点方法（两种方法：特殊化、分离变量）2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离；注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某点的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。3、注意圆与椭圆、三角、向量（注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化）结合；4、注意构建平面上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最小值，“差”的问题有最大值，只有当三点共线时才取得最值；5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定系数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在轴上时为 ，焦点在 轴上时为 ；注意化抛物线方程为标准形式（即2p、p、的关系）；注意利用比例思想，减少变量，不知道焦点位置时，可设椭圆方程为 。6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题；熟练掌握求离心率的题型与方法，特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法，减少变量。7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条件一般有：①“ 法”；②离心率 的范围；③自变量 的范围；④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围；注意寻找两个变量的关系式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法， 注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。8、求轨迹方程的常见方法：①直接法；★②几何法；★③定义法；★④相关点法； 9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；注意将有关向量的表达式合理变形；特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决；10、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一般的方法。

三、易错点点睛

命题角度1对椭圆相关知识的考查

1．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )

[考场错解] A

[专家把脉] 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把当作离心率．

[对症下药] D 设椭圆的方程为=l (a，b >0) 由题意可设|PF2|=|F1F2|=k，|PF1|=k，则e=

2．设双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )

A．±2 B．± C．± D．±

[考场错解] D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=

[专家把脉] 没有很好理解a、b、c的实际意义．

[对症下药] C 设双曲线方程为=1，则由题意知c=5，=4 则a2=20 b2=5，而a=2 b=∴双曲线渐近线斜率为±=

3．从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={(x，y)‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为 ( )

A．43 B．72 C．86 D．90

[考场错解] D 由题意得，m、n都有10种可能，但m≠n故椭圆的个数10×10-10=90．

[专家把脉] 没有注意，x、y的取值不同．

[对症下药] B 由题意得m有10种可能，n只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m≠n，故椭圆的个数：10×8-8=72．

4．设直线l与椭圆=1相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求直线l的方程 ( )

[考场错解] 设直线l的方程为y=kx+b

如图所示，l与椭圆，双曲线的交点为A(x1，y1)、B (x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有=3

由所以x1+x2=-

由得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0

(2) 若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1

所以x3+x4=、由x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4-bk=0或b =0

①当k=0时，由(1)得x1、2=± 由(2)得x3、4=±由=3(x4-x1)即故l的方程为y=±

②当b=0时，由(1)得x1、2=±，由(2)得x3、4=由=3(x4-x3)即综上所述：直线l的方程为：y=

[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．

[对症下药] 解法一：首先讨论l不与x轴垂直时的，情况．

设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有．由得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0．(1) 所以x1+x2=-由得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0．

若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1．所以x3+x4=

由x1+x2=x2+x4或 b=0．

①当k=0时，由(1)得由(2)得x3、4=±由(x4-x3)．

即故l的方程为 y=±

②当b=0时，由(1)得x1、2=

自(2)得x3、4=(x4-x3)．即

故l的方程为y=．再讨论l与x轴垂直时的情况．

设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2=

y3、4=即

综上所述，直线l的方程是：y=x、y=±和x=

x3、4=∵x2-x1=3(x4-x3)．故l的方程为y=±

②当y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0，这时l平行y轴．设l的方程为x=c，分别代入椭圆、双曲线方程得：yl、2=y3、4=∵y2-y1=3(y4-y3)

故l的方程为：

③当x0=0，y0=0时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直．设l的方程为y=kx，分别代入椭圆、双曲线方程得：x1、2=故l的方程为y=综上所述，直线l的方程是：y=、y=和x=

5．设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点． (1)确定A的取值范围，并求直线AB的方程； (Ⅱ)试判断是否存在这样的A，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)

[考场错解] (1)设A(x1，y1)B(x2，y2)则有:(x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0

依题意，x1≠x2 ∴kAB-∵N(1，3)是AB的中点，∴x1+x2=2,yl+y2=6从而kAB=-9又由N(1，3)在椭圆内，∴λ<3×12+32=12 ∴λ的取值范围是(-∞，12)直线AB的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0

[专家把脉] ①用“差比法”求斜率时kAB=这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3×12+32=12应用结论时也易混淆．

[对症下药] (1)解法1：依题意，可设直线AB的方程为y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．① 设A(x1，y1)、B(x2、y2)，则x1，x2是方程①的两个不同的根，

∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0，② 且x1+x2=，由N(1，3)是线段AB的中点，得，∴A(k-3)=k2+3．解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)．于是，直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．

解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0

依题意，x1≠x2，∴kAB=-∵N(1，3)是AB的中点，∴x1+x2=2，yl+y2=6，从而kAB=-1．又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3×12+32=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．

(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4

又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)，则x3， x4是方程③的两根，∴x3+x4=-1，且x0=(x3+x4)=-，y0=x0+2=，即M(-，)．于是由弦长公式可得|CD|=④将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x2-8x+ 16-λ=0 ⑤同理可得|AB|=⑥ ∵当λ>12时，>,∴|AB|<|CD|

假设存在λ>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．点M到直线AB的距离为d=⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+

故当λ>12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上．

(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2 =|CN|·|DN|，即. ⑧

由⑥式知，⑧式左边=,由④和⑦知，⑧式右边=

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，

∵CD垂直平分AB，∴直线CD方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③

将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得4x2-8x+16-λ=0．⑤

解③和⑤式可得 xl，2=

不妨设A(1+

计算可得,∴A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆．

(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD)

专家会诊 1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等．

命题角度2对双曲线相关知识的考查

1．已知双曲线x2-=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为 ( )

[考场错解] B

[专家把脉] 没有理解M到x轴的距离的意义．

[对症下药] C 由题意得a=1，b=，c=可设M (x0，y0)|MF1|=|ex0+a|=|x0+1|，

|MF2|= |ex0-a|=|x0-1| 由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2得 x02=

即点M到x轴的距离为

2．已知双曲线=1(a>0，b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )

A．30° B．45° C．60° D．90°

[考场错解] B

[专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角．

[对症下药] D 由题意得A()s△OAF=·c·，则两条渐近线为了y=x与y=-x则求两条渐近线的夹角为90°．

解不等式，得

专家会诊 1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性 2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏． 3．掌握参数a、b、c、e的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用．

命题角度3对抛物线相关知识的考查。

1．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )

A.有且仅只有一条 B．有且仅有两条 C.有无穷多条 D．不存在

[考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 2×4=8 5<8，故不存在这样的直线．

[专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及p的意义．

[对症下药] B 解法一：由题意得P=2，通径长为4，而|AB|=x1+x2+p=7，由7>4，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k有两个值，即直线有且仅有两条．

2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线． (1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论； (Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

[考场错解] (Ⅱ)，设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b，过点A、B的直线方程可写为y=与y=2x2联立得2x2+x-m=0．得x1+ x2=-；设AB的中点N的坐标为(x0，y0)

则x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m．由N∈l,得+m=-+b，于是b=即得l在y轴上截距的取值范围为[].

[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m>，无法进一步求出b的范围，只好胡乱地把m当作大于或等于0．

[对症下药] (1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意 y1、y2不同时为0， ∴上述条件等价于yl=y2x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0；

∵x1≠x2，∴上述条件等价于 x1+x2=0． 即当且仅当x1+x2=0时，l经过抛物线的焦点F。

(Ⅱ)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为y=-x+m，所以x1、x2满足方程2x2+x-m=0，得x1+x2=-； A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式+8m>0，即m>设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0=(x1+x2)=-，y0=-x0+m=+m

由N∈l，得+m=-+b，于是b=+m> 即得l在y轴上截距的取值范围为(，+∞)．

3．如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离； (Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

[考场错解] (1)当y=时，x=又抛物线的准线方程为x=-P，由抛物线定义得，所求距离为

(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y21=2px1,y20=2px0

相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1≠x0)．

同理可得kpB=(x2≠x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故

设直线AB的斜率为kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)

故kAB=将y1+y2=-y0(y0>0)代入得kAB=-故kAB是非零常数．

[专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确．

[对症下药] (1)当y=时，x=，又抛物线y2= 2px的准线方程为x=，

由抛物线定义得，所求距离为-(-)=

(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB

由y12=2px1，y20=2px0相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，

故kPA=(x1≠x0)．同理可得kPB=(x2≠x0)．

由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB，即=-，所以yl+y2=-2y0，

故=-2. 设直线AB的斜率为kAB

由y22=2px2，y21=2pxl

相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，

所以

将yl+y2=-2y0(y0>0)代入得

所以kAB是非零常数．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示)．

(1)求△AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；

(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

[考场错解]（Ⅰ）设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则

∵OAx1x2+yly2=0(2)

又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=0或-1

∴y=[（x1+x2）2-2x1x2]=3x2+或3x2，故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+.

[专家把脉]没有考虑到x1x2=0时，△AOB不存在

[对症下药] （Ⅰ）设△AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则

又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=-1

∴y=[（x1+x2）2-2x1x2]==3x2+所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+

(Ⅱ)S△AOB=

由(1)得S△AOB=

当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，最小值为1。

专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

∴(x1，yl-1)=(x2，y2-1)由此得x1=x2，由于x1， x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以消去x2得

[专家把脉] (1)没有考虑到1-a2≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件a>0．

[对症下药] (1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以解得0且 a≠1．双曲线的率心率e=且 a≠1，∴e>且e≠，即离心率e的取值范围为()∪()．

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)．∵∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以x2=-，消x2，得-，由a>0，所以a=

2．给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1，求与夹角的大小； (Ⅱ)设，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

[考场错解] (1)设与夹角为α；由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1，y1)B(x2，y2)则有x1+x2=6，x1x2=1．易得·=x1x2+y1y2=-3，cosα=∴α=-arccos

(Ⅱ)由题意知，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'．

∴|FB|=|BB'|，|AF|=|AA'| ∴|BB’|=λ|AA'|，λ∈[4， 9]

设l的方程为y=k(x-1)由得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0

∴x=∴|AA'|=+l =

|BB'|=

[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义．(Ⅱ)思路不清晰．

[对症下药] (1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1．

将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1．

=(x1，y1)·(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3．

所以与夹角的大小为π-arc cos(Ⅱ)由题设得 (x2-1，y2)=λ(1-x1，-y1)，

即由②得y22=λ2y21．∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1 ③

联立①、③解得x2=λ，依题意有λ>0，∴B(λ，2 )或B (λ，-2 )，又9(1，0)，得直线

(2)当|PF1|=|F1F2|时，同理可得解得e2=3于是λ=1-3=-2．

(3)当|PF2|=|F1F2|时，同理可得=4c2 解得e2=1 于是λ=1-1=0

综上所述，当λ=或-2或0时△PF1F2，F2为等腰三角形．

[专家把脉] (1)没有注意到因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围．

[对症下药] (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-)(0,a). 由

所以点M的坐标是(-c,)，由得(-c+)=λ(，a)． 即

证法二：因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-，0)，(0，a)，设M的坐标是(x0，y0)，由得()，

所以因为点M在椭圆上，所以=1，

即e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0，解得e2=1-λ 即λ=1-e2．

(Ⅱ)解法一：因为PF1⊥l，所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,即|PF1|=c. 设点F1到l的距离为d，由|PF1|=d， =,得

=e．所以e2=，于是λ=1-e2=.即当λ=时，△PF1F2为等腰三角形．

解法二：因为PF1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是(x0，y0)，

则解得由|PF1|=|FlF2|得=4c2，

两边同时除以4a2，化简得=e2．从而e2=于是λ=l-e2=．即当λ=时，△PF1F2为等腰三角形．

4．抛物线C的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x0≠0)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)B(x2，y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1)．

(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)设直线AB上一点M满足=λ，证明线段PM的中点在y轴上 (Ⅲ)当A=1时，若点P的坐标为(1，-1)，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．

[考场错解] (1)抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为(，0)准线方程为x=-

(Ⅲ)∵P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2

由(Ⅱ)易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)

于是= (k1+2,k21+2k1)，=(2k1，4k1)，2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有·<0易得k1的取值范围是 k1<-2或l<0，又∵yl=-(k1+1)2

故当k1<-2时，y<-1;当-1<0时-1l<- 即y1∈ ．

[专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念．

[对症下药] (1)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得，焦点坐标为(0，)，准线方程为y=-．

(Ⅱ)证明：设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0)，直线 PB的方程为y-y0=k2(x-x0)．

点P(x0，y0)和·点A(x1，y1)的坐标是方程组

的解．将②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是 x1+x0=，故x1=-x0③

又点P(x0，y0)和点B(x2，y2)的坐标是方程组

的解．将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0．于是x2+x0=，故x2=-x0, 由已知得，k2=-λkl，则x2=⑥设点M的坐标为(xM,yM)，由=λ，则xM=.将③式和⑥式代入上式得x0，即xM+x0=0．所以线段PM的中点在y轴上．

(Ⅲ)因为点P(1，-1)在抛物线y=ax2上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x2．由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2．将λ=1代入⑥式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2．因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 A(-k1，-1，-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)．

于是=(k1+2，k12+2k1)，=(2K1，4K1)，= 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)．因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有<0．求得k1的取值范围是k1<-2或-1<0．又点A的纵坐标y1满足y1=-(k1+1)2，故当k1<-2时， y1<-1；当-1<0时，-11<-.即y1∈(-∞，-1)U(-1，-)．

专家会诊 1．判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆．2．涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算，以免出现差错．3．涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。

命题角度5对轨迹问题的考查

1．(典型例题)已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( )

A.2 B． C．18+12 D．21

[考场错解] C

[专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻．

[对症下药] B 设双曲线方程为=1，由题意得则a=b=，则双曲线方程为=1,由得A（3，2），故交点到原点的距离为

2．(典型例题)已知点A（-2，0）、B(3，0)，动点P(x，y)满足=x2，则点P的轨迹是 (Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得 ·=d2即=d2

∴k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0

(Ⅲ)略

[专家把脉] 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成．

[对症下药] 解：(I)W1={(x，y)|kx，z< 0|，W2={(x,y)|kx，x>0}，

(Ⅱ)直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0，由题意得·=d2，即=d2，

由P(x，y)∈W，知k2x2-y2>0，所以=d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，

所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0；

(Ⅲ)当直线J与，轴垂直时，可设直线J的方程为，x=a (a≠0)．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为(a，0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为(a，0)，即它们的重心重合，

当直线l1与x轴不垂直时，设直线J的方程为y=mx+n(n ≠0)．

由, 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0

在△QF1F2中故有x2+b2= a2(x=±a)

(Ⅲ)C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要条件是：

又=(-C-x0-y0)，=(c-x0,y0)由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2

即cos∠F1MF2=b2又s=sin∠FlMF2得tan ∠FlMF2=2

[专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面．

[对症下药] (1)证法一：设点P的坐标为(x，y)．由P(x，y)在椭圆上，得

2

由|x|≤a，知a+≥-c+a>0，所以=a+x．

证法二：设点P的坐标为(x，y)．记

则r1=，r2=.

由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得=r1=a+．

证法三：设点P的坐标为(x，y)．椭圆的左准线方程a+=0．

由椭圆第二定义得即

由x≥-a，知a+≥-c+a>0，所以=a+

(Ⅱ)解法一：设点T的坐标为(x，y)．当=0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上．当且时，由=0，得又，所以T为线段F2Q的中点．在△QF1F2中，=a，所以有x2+y2=a2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2

解法二：设点T的坐标为(x，y)．当||=0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上．

当且时，由又||=||，所以T为线段F2Q的中点．

设点Q的坐标为(x'，y')，则因此①由=2a得(x'+c)2+y'2=4a2．②

将①代入②，可得x2+y2=a2．综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2

(Ⅲ)解法一：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是

由③得，|y0|≤a，由④得，|y0|≤，所以，当a≥时，存在点M，使S=b2；

当a<时，不存在满足条件的点M．当a≥时，=(-c-c0,-y0)，=(c-c0,-y0)，

由·=x02-c2+y20=a2-c2=b2，

解法二：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是

由④得|y0|，上式代入③得x20=a2-=(a-) (a+)≥0．

于是，当a≥时，存在点M，使s=b2;当a<时，不存在满足条件的点M．

当a≥时，记k1=kF1M=

由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2==2．

专家会诊 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起．(2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除．

故舍去

综上所述：当x=时d取得最小值

[专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性，致使思路不清晰，计算繁琐．

[对症下药] [解](1)由已知可得点A(-6，0)，F(0，4)

设点P(x，y)，则=(x+6，y)，=(x-4，y)，由已知可得

则 2x2+9x-18=0，x=或x=-6．由于y>0，只能x=，于是y= 点P的坐标是()

(2)直线AP的方程是x-+6=0．设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是．于是= |m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有，d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20-x2 =(x-)2+15，由于-6≤m≤6，∴当x=时，d取得最小值

2．如图，直线y=x严与抛物线y=x2-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q． (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值．

[考场错解] (1)略(Ⅱ)由(1)得Q(5，-5) 直线OQ的方程为x+y=0

设P(x, -4)∵点P到直线OQ的距离

d=

∵-4≤x≤8． ∴S△OPQ最大值=|(-4+4)2-48|=15

[专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法．

[对症下药] (1)解方程组，得即A(-4，-2)，B(8，4)，从而AB的中点为M(2，1)，由，得线段AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2)．令y=-5，得x=5，∴Q(5，-5)．

(2)直线OQ的方程为x+y=0，设P(x，-4)，∵点P到直线OQ的距离d=∵P为抛物线上位于线段AB下方点，且P不在直线OQ上． ∴ -4≤x<4-4或4-4≤8．∴S△OPQ最大值=30

3．设椭圆方程为x2+=1，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B、O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为(，)，当l绕点M旋转时，求： (Ⅰ)动点户的轨迹方程； (Ⅱ)的最小值与最大值．

[考场错解] (1)①若l的斜率存在，设为k，则l：y =kx+1代入4x2+y2=4中得，(k2+4)x2+2kx-3=0

∴x1+x2=

i)A=0时，x=0 y=1，∴P(0，1)

ii）k≠0时，k=∴P点的轨迹为：x2+y2-y=0(y≠O)

②若l不存在斜率，∴A、B为上、下顶点．∴P(0，0)

(2)解：∵N()，i)，∵k不存在时P(0，0)，ii） k=0时P(0，1)． iii）k≠0时x2+(y-)2=。又∵N()max=2r=1 ∴min=0．

[专家把脉] 思路不清晰．

[对症下药] (1)解法一：直线l过点M(0，1)，设其斜率为A，则J的方程为y=kx+1．

记A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题设可得A、B的坐标(x1，y1)、(x2,y2)是方程组的解．

将①代入②并化简得．(4+k2)x2+2kx-3=0．所以 于是

设点P的坐标为(x，y)，则消去参数k得 4x2+y2-y=0． ③当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为 4x2+y2-y=0

解法二：设点P的坐标为(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在椭圆上，所以

④⑤④-⑤得所以（x1-x2）(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0

当x1≠x2时，有⑥并且⑦

将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0．⑧

当x1=x2时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，-2)，这时点p的坐标为(0，0)也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

(Ⅱ)解法：由点P的轨迹方程知x2≤。 即-≤x≤所以

故当x=时，取得最小值，最小值为，当x=时，取得最大值，最大值为

由消去x得y2-2(k2+b)y+b2=0③

则

的取值范围是[2，+∞]．

[专家把脉] (1)没有注意“杂点”的去除；(Ⅱ)没有注意利用重要不等式时等号成立的条件．

[对症下药] 解法：(1)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M (x0，y0)，依题意x1≠0，yl>0，y2>0．由y=x2，①得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k切=x1, ∵x1=0不合题意， ∴x1≠0．

∴直线l的斜率k1=,直线l的方程为y-x21=(x-x1)．②

方法一：联立①②消去y，得x2+-x21-2=0． ∵M为PQ的中点，

消去x1,得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0)，

方法二：由y1=x21,y2=x22，x0=，得y1-y2=x21-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，则x0=k1=-∴x1=-,将上式代入②并整理，得y0=x20++1(x0≠0)， ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0)．

(Ⅱ)设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)．分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y轴，垂足分别为p'、 Q'，则

由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0．③则

方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP,即则x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)．于是b=

可取一切不等于l的正数，的取值范围是(2，+∞)．

专家会诊①直线过定点的问题，常用直线系的思想处理． ②定值问题常常用函数的思想处理，即把所求定值通过一些基本变量表示，最终化成常数．③最值问题往往用几何方法，函数或不等式等方法处理．

四、典型习题导练

1、已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为求直线AB的方程。

【解析】（Ⅰ）由题意，-----1分解得-----2分

即：椭圆方程为-----4分

（Ⅱ）当直线与轴垂直时，， 此时不符合题意故舍掉；

当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：，代入消去得：

------5分 设，则，

所以 -----7分原点到直线的距离，

所以三角形的面积．由，

所以直线或．--------12分

2、设椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，过三点做.（Ⅰ）若是的直径，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若的圆心在直线上，求椭圆的方程。

【解析】（Ⅰ）由椭圆的方程知∴设…1分∵是的直径，

∴,∵∴，…2分∴，

解得： …5分∴椭圆的离心率 …6分

（Ⅱ）解：∵过点三点，∴圆心即在的垂直平分线，也在的垂直端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在线段上是否存在点,使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）因为椭圆的短轴长：，又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以：；故椭圆的方程为：……4分

（Ⅱ）（1）若与轴重合时，显然与原点重合，；

（2）若直线的斜率，则可设，设则：

所以化简得：；

的中点横坐标为：，代入可得：的中点为

， 由于得到所以：

直线…10分

.12分

直线恒过定点.……13分

5、设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆。(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线交椭圆于A、B两点，椭圆上一点，求面积的最大值。

【解析】(Ⅰ)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，圆的直径为，则，由所求椭圆的方程为…12分

6、已知椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点F，点A是椭圆E的右顶点. 过点A的直线交抛物线C于M，N两点，满足，其中是坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)过椭圆E的左顶点B作轴平行线BQ，过点N作轴平行线NQ，直线BQ与NQ相交于点Q. 若是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程.