知识点053 二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数 2011

一、选择题

1. （2011内蒙古呼和浩特，8，3）已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点、、，y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2

考点：二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解．

分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系．

解答：解：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=x2+2x-3，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，∴y1＜y2＜y3．故选A．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．

2. （2011台湾，32，4分）如图，将二次函数y＝31x2－999x＋892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2－999x＋892＝0的两根，下列叙述何者正确（　　）

A．两根相异，且均为正根 B．两根相异，且只有一个正根

C．两根相同，且为正根 D．两根相同，且为负根

考点：抛物线与x轴的交点。

专题：综合题。

分析：由二次函数y＝31x2－999x＋892的图象得，方程31x2－999x＋892＝0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案．

解答：解：∵二次函数y＝31x2－999x＋892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，

∴方程31x2－999x＋892＝0有两个正实根．

故选A．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不等的实根；抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根；抛物线与x轴无交点时，方程无实根．

3. .（2011•江西，6，3）已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（　　）

A、（1，0） B、（2，0） C、（﹣2，0） D、（﹣1，0）

考点：抛物线与x轴的交点。

分析：把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx﹣2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x=，可求出它与x轴的另一个交点坐标．

解答：解：把x=1，y=0代入y=x2+bx﹣2得：

0=1+b﹣2，

∴b=1，

∴对称轴为，

∴，

∴=﹣2，

它与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）．

故选C．

点评：本题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式。

4. (2011襄阳，12，3分)已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)

A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3

考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；一次函数的性质。

专题：计算题。

分析：分为两种情况：：①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0，求出△＝b2－4ac＝－4k＋16≥0的解集即可；②当k－3＝0时，得到一次函数y＝2x＋1，与X轴有交点；即可得到答案．

解答：解：①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0，

△＝b2－4ac＝22－4(k－3)×1＝－4k＋16≥0，

k≤4；

②当k－3＝0时，y＝2x＋1，与x轴有交点．

故选B．

点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．

5. （2011湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2

C．3 D．4

考点：二次函数图象与系数的关系。

专题：计算题。

分析：根据二次函数图象反应出的数量关系，逐一判断正确性．

解答：解：根据图象可知：

①c＜0，c＞0

∴ac＜0，正确；

②∵顶点坐标横坐标等于，

∴－=，

∴a+b=0正确；

③∵顶点坐标纵坐标为1，

∴=1；

∴4ac﹣b2=4a，正确；

④当x=1时，y=a+b+c＞0，错误．

正确的有3个．

故选C．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．

6. （2011广西崇左，18，3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是( )

A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④

考点：二次函数图象与系数的关系．

专题：数形结合．

分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，

∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，

∵对称轴为，

∴a 、b异号，即b＜0，

又∵c＜0，∴abc＞0，

故本选项正确；

②∵对称轴为，a＞0，

∴﹣b＞2a，

∴2a+b＞0；

故本选项错误；

③当x=1时，y1=a+b+c；

当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；

故本选项错误；

④当x=1时，a+b+c=0；

当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；

∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2；

∴（a+c）2=b2

故本选项错误；

⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；

当x=1时，a+b+c=0，

∴a+c=1，

∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；

故本选项正确；

综上所述，正确的是①⑤．

故选A．

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；

（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式判断符号；

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；

（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0，没有交点，b2﹣4ac＜0．

7.（2011广西防城港 6，3分）已知二次函数y＝ax2的图象开口向上，则直线y＝ax－1经过的象限是（　　）

A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限

C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限

考点：二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系

专题：二次函数

分析：二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y＝kx＋b（k≠0）的一次项系数k＞0、b＜0时，函数图象经过第一、三、四象限．

解答：D

点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系．二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号．

8．（2011湖北黄石，9,3分）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）

A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2

考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。

专题：数形结合。

分析：先令m=0求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围．

解答：解：令m=0，

则函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），

故此函数的图象为：

∵m＞0，

∴α＜1，β＞2．

故选D．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键．

9.（2011•黔南，9，4）分二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（　　）

A、1 B、﹣1 C、﹣2 D、0

考点：抛物线与x轴的交点。

专题：数形结合。

分析：先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．

解答：解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得，

﹣9+6+k=0，解得k=3，

∴原方程可化为：﹣x2+2x+3=0，

∴x1+x2=3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．

故选B．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，解答此类题目的关键是熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系．

10．（2011年四川省绵阳市，12，3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）

A、x1＜x2＜a＜b B、x1＜a＜x2＜b C、x1＜a＜b＜x2 D、a＜x1＜b＜x2

考点：抛物线与x轴的交点．

分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再有已知条件x1＜x2、a＜b可得到x1，x2，a，b的大小关系．

解答：解：∵x1和x2为方程的两根，
∴（x1-a）（x1-b）=1且（x2-a）（x2-b）=1，
∴（x1-a）和（x1-b）同号且（x2-a）和（x2-b）同号；
∵x1＜x2，
∴（x1-a）和（x1-b）同为负号而（x2-a）和（x2-b）同为正号，可得：x1-a＜0且x1-b＜0，x1＜a且x1＜b，
∴x1＜a，∴x2-a＞0且x2-b＞0，
∴x2＞a且x2＞b，
∴x2＞b，
∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：x1＜a＜b＜x2．
故选C．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．

二、填空题

1. （2011湖州，15，4分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是　 .

考点：抛物线与x轴的交点.

专题：计算题.

分析：把（0，－3）代入抛物线的解析式求出c的值，在（1，0）和（3，0）之间取一个点，把它的坐标代入解析式即可求出答案．

解答：解：把（0，﹣－3）代入抛物线的解析式得：c=－3，∴y=x2+bx－3.∵确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，假如过（2，0），代入，得0=4+2b﹣3，∴b=．故答案为．

点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点的理解和掌握，能理解抛物线与x轴的交点的坐标特点是解此题的关键．

2. （2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是　①③　．（只要求填写正确命题的序号）

考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点。

专题：计算题。

分析：由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据﹣=﹣1，推出b=2a；根据图象关于对称轴对称，得出与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0）；由a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，根据结论判断即可．

解答：解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；

﹣=﹣1，

∴b=2a，∴②错误；

根据图象关于对称轴对称，

与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0），∴③正确；

∵a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，∴④错误．

故答案为：①③．

点评：本题主要考查对二次函数与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键．

3.（2011•株洲13,3分）孔明同学在解一元二次方程x2﹣3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为　2　．

考点：根与系数的关系。

专题：计算题。

分析：根据两根x1=1，x2=2，得出两根之积求出c的值即可．

解答：解：解方程x2﹣3x+c=0得x1=1，x2=2，

∴x1x2=c=1×2，

∴c=2，

故答案为：2．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系利用两根之积得出c的值是解决问题的关键．

4.（2011•江西，12，3）试写一个有两个不相等实根的一元二次方程：　 　．

考点：根与系数的关系。

专题：开放型。

分析：根据根与系数的关系，一元二次函数有两个不相等的实根，则必须满足△=b2﹣4ac＞0，可结合以上条件，写出满足条件的一元二次方程；

解答：解：要使一元二次函数有两个不相等的实根，则必须满足△=b2﹣4ac＞0，

∵假设x2+4x﹣5=0，则△=b2﹣4ac=16﹣（﹣4×5）=36＞0；

∴一元二次方程x2+4x﹣5=0，有两个不相等的实根．

故答案为：x2+4x﹣5=0（答案不唯一）．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

5.如图，抛物线y=-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y

＜0（填“＞”“=”或“＜”号）．

考点：抛物线与x轴的交点．

专题：数形结合．

分析：由二次函数根与系数的关系求得关系式，求得m小于0，当x=x2-2时，从而求得y小于0．

解答：解：∵抛物线y=-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=2，x1x2=-m＞0
∴m＜0
∵x1+x2=2
∴x1=2-x2
∴x=-x1＜0
∴y＜0
故答案为＜．

点评：本题考查了二次函数根与系数的关系，由根与系数的关系得到m小于0，并能求出x=x2-2小于0，结合图象从而求得y值的大于0．

三、解答题

1. （2011江苏南京，24，7分）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征。

专题：计算题。

分析：（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．

（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；

②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．

解答：解：（1）当x=0时，y=1．

所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；

（2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；

②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，

所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．

综上，若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用．

2. （2011新疆建设兵团，19，8分）已知抛物线y＝﹣x2＋4x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），顶点为P．

（1）求A、B、P三点的坐标；

（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x取何值时，函数值大于零；

（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平称后图象的函数表达式．

考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数图象与几何变换．

分析：（1）令y＝0求得点A、B的坐标，根据抛物线的顶点公式求得点P的坐标；

（2）首先写出以顶点为中心的5个点的坐标，从而画出图象，结合与x轴的交点，写出x取何值时，函数值大于零；

（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，即对应点的纵坐标少1，从而写出函数解析式．

解答：解：（1）令y＝0，则﹣x2＋4x﹣3＝0，解，得x＝1或x＝3．

则A（1，0），B（3，0）．

根据顶点坐标公式，则﹣＝2， ＝1，即P（2，1）；

（2）

根据图象，得x＜1或x＞3时，函数值大于零；

（3）抛物线的对顶点式是y＝﹣（x﹣2）2＋1，则将此抛物线的图象向下平移一个单位后，得到

y＝﹣（x﹣2）2＋1﹣1═﹣x2＋4x﹣4．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点以及顶点坐标、抛物线的画法以及与不等式之间的关系、抛物线的平移和解析式的变化．

3. （2011•广东汕头）已知抛物线与x轴没有交点．

（1）求c的取值范围；

（2）试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由．

考点：抛物线与x轴的交点；一次函数的性质。

专题：代数综合题。

分析：（1）根据题意的判别式小于0，从而得出c的取值范围即可；

（2）根据c的值，判断直线所经过的象限即可．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴没有交点．

∴△=1﹣4×c=1﹣2c＜0，

解得c＞；

（2）∵c=，∴直线的解析式为y=x+1，

∵c=＞0，b=1＞0，

∴直线y=x+1经过第一、二、三象限．

点评：本题考查了抛物线和x轴的交点问题以及一次函数函数的性质，是基础知识要熟练掌握．

4.（2011湖南怀化,22,10分）已知：关于x的方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0．

（1）当x取何值时，二次函数y=ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的对称轴是x=﹣2；

（2）求证：a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根．

考点：二次函数的性质；根的判别式。

分析：（1）根据二次函数对称轴求法得出x=﹣==﹣2，即可求出；

（2）利用一元二次方程根的判别式，证明其大于等于0即可．

解答：解：（1）当对称轴是x=﹣2，

∴x=﹣==﹣2，

解得：a=﹣1；

（2）∵△=（1﹣3a）2﹣4a（2a﹣1）=a2﹣2a+1=（a﹣1）2≥0，

∴a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根．

点评：此题主要考查了二次函数对称轴求法以及根的判别式，熟练应用此性质是解决问题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e2571433eefdc8d376ee327d.html