2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理）

2001年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共60分)

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

(1) 若siniθcosθ＞0，则θ在 ( )

(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是 ( )

(3) 设｛an｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( )

(4) 若定义在区间(－1，0)的函数f (x) = log2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是 ( )

(5) 极坐标方程的图形是 ( )

(6) 函数y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是 ( )

(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1，0) F2 (3，0)，则其离心率为 ( )

(8) 若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则 ( )

(9) 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若，则AB1 与C1B所成的角的大小为 ( )

(10) 设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：

① 若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增；

② 若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增；

③ 若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减；

④ 若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递减．

其中，正确的命题是 ( )

(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( )

(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ( )

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

注意事项：

1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是

(14)双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为

(15)设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若｛Sn｝是等差数列，则

q =

(16)圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为

三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17) (本小题满分12分)

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，．

(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

(18) (本小题满分12分)

已知复数z1 = i (1－i) 3．

(Ⅰ)求arg z1及；

(Ⅱ)当复数z满足=1，求的最大值．

(19) (本小题满分12分)

设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

(20) (本小题满分12分)

已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．

(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)证明(1＋m) n＞ (1＋n) m．

(21) (本小题满分12分)

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．

(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；

(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

(22) (本小题满分14分)

设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈[0，]都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)．且f (1) = a＞0．

(Ⅰ)求f () 及f ()；

(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数；

(Ⅲ)记an = f (2n＋)，求．

2001年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

说明：

一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C

（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C

（11）D （12）D

二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

（13）2π （14） （15）1 （16）2n (n－1)

三.解答题：

（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．

解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是

M底面， ……2分

∴ 四棱锥S—ABCD的体积是

M底面

． ……4分

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱． ……6分

∵ AD∥BC，BC = 2AD，

∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB，

∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线，

又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB，

故SB是CS在面SEB上的射影，

∴ CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10分

∵ ，BC =1，BC⊥SB，

∴ tan∠BSC ．

即所求二面角的正切值为． ……12分

（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）z1 = i (1－i) 3 = 2－2i，

将z1化为三角形式，得

，

∴，． ……6分

（Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则

z－z1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i，

()， ……9分

当sin() = 1时，取得最大值．

从而得到的最大值为． ……12分

（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．

证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F (，0)，所以经过点F的直线的方程可设为

； ……4分

代入抛物线方程得

y2 －2pmy－p2 = 0，

若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以

y1y2 = －p2． ……8分

因为BC∥x轴，且点c在准线x = －上，所以点c的坐标为（－，y2），故直线CO的斜率为

．

即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

……12分

证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则

AD∥FE∥BC． ……2分

连结AC，与EF相交于点N，则

，

……6分

根据抛物线的几何性质，，

， ……8分

∴，

即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分

（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．

（Ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有

= m·…·(m－i＋1)，

…，

同理…， ……4分

由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有，

所以，即． ……6分

（Ⅱ）证明由二项式定理有

，

， ……8分

由 (Ⅰ)知＞(1＜i≤m＜n＝，

而，， ……10分

所以， (1＜i≤m＜n＝．

因此，．

又，，．

∴．

即 (1＋m)n＞(1＋n)m． ……12分

（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－）万元，……，第n年投入为800×（1－）n－1万元．

所以，n年内的总投入为

an = 800＋800×（1－）＋…＋800×（1－）n－1

= 4000×[1－()n]； ……3分

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋）n－1万元．

所以，n年内的旅游业总收入为

bn = 400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）n－1

= 1600×[ ()n－1]． ……6分

（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此

bn－an＞0，

即 1600×[（）n －1]－4000×[1－（）n]＞0．

化简得 5×（）n＋2×（）n －7＞0， ……9分

设（）n，代入上式得

5x2－7x＋2＞0，

解此不等式，得

，x＞1(舍去)．

即 （）n＜，

由此得 n≥5．

答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分

（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．

（Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，]，都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)，所以

f () · f ()≥0，x∈[0，1]．

∵ f () = f () · f () = [f ()]2，

f ()f () = f () · f () = [f ()]2． ……3分

，

∴ f ()，f ()． ……6分

（Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称，

故 f (x) = f (1＋1－x)，

即f (x) = f (2－x)，x∈R． ……8分

又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R，

∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R，

将上式中－x以x代换，得

f (x) = f (x＋2)，x∈R．

这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]．

∵ f ()= f (n ·) = f (＋（n－1）·)

= f () · f (（n－1）·)

= f () · f () · … ·f ()

= [ f ()]n，

f () =，

∴ f () =．

∵ f (x)的一个周期是2，

∴ f (2n＋) = f ()，因此an =， ……12分

∴ () = 0． ……14分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e248b38d4b7302768e9951e79b89680202d86b6e.html