圆锥体体积公式的证明

圆锥体体积公式的证明

证明需要几个步骤来解决：

　　

1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。

　　





　　

　　所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。

　　



　　2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

　　

　　

　　

　　　　

　　(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。 )

　　

　　现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.

　　

　　证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。

　　　　

　　3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。

　　注释：祖暅原理

　　祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。

　　祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

祖暅原理的思想

　　我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。

　　两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。

　　这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。

　　

　　所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：

　　

　　等底等高的三棱锥，体积都相等：

　　

　　

　

　　三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：

　　

　　





　　

　　

　　

　　知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成题目的证明。





　　

　　

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　　下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论：

　　

　　

　　



注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。

　　

　　

　　

　　

　　下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:

　　

　　1) 金字塔锥的体积也是: (1/3)x底面积x高.

　　

　　

　　这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:

　　

　　





　　

　　

　　

　　2）下面的图说明，球体的微分单元是金字塔锥体。

　　

　　由此可知，球体的体积 = （1/3）x 球的表面积 x 球半径.

　　

　　

　　







　　上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上，根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步。

　　

　　

　　3）球体的体积。

　　

　　先看半球的体积：

　　

　　





　　

　　这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体，我们前面见过，右边是一个半球，高度（球半径）与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.

　　

　　根据图，在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环（绿色）面积是：πR2 - πh2.  而右边的图里，被截的圆（绿色）面积是:πr2 = π(R2- h2).

　　

　　可见，两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。

　　

　　左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积=(2/3)πR3.

　　

　　所以，右边的半球的体积也是=(2/3)πR3.

　　

　 可知整个球体的体积公式是：

　　

　　V=(4/3)πR3.

　　

　　

　　再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：

　　

　　S=4πR2.







　　

　　

　　(我们用直观方法得出了球的体积公式。学了微积分的人容易知道用下图的微积分算法求出球的体积公式）

　　

　　

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e237281cfc4ffe473368ab65.html