稀疏表示与压缩感知
1. 稀疏表示
信号表达是数字信号与信息处理中的根本问题，而信号处理是指对信号进行滤波、变换、分析、加工、提取特征参数等的过程。在信号处理中，我们常常希望在特定的空间中研究数字信号，如时域(一维信号)、空间域(多维信号)、频域、自相关域和小波域等。运用空间变换思想等价的表达信号对于处理信号是一种有效的手段，常用的变换方法是将信号分解到一组正交基上。从数学意义上讲，任何信号都可以分解成其所在空间的无穷多个基函数的加权和，展开系数就是基与信号之间的内积，即投影。
一般的信号表示方法均是使用完备正交基来表示信号，但是这类方法的一个缺点是：一旦基函数确定以后，对于一个给定的信号，只有一种分解方法，这对于一些信号并不能得到信号的最佳系数表示。更好的分解方式是根据信号的结构特征，在更加冗余的函数库(过完备字典)中自适应的选择合适的"基"函数表示信号。
研究信号的稀疏表达的目的是寻求信号在某一特定空间下的某种基的最优逼近，从而提供一种直接、简便的分析方式。信号变换的本质就是透过不同角度不同方式去观察和认识一个信号。信号的稀疏表示就是在变换域上用尽量少的基函数来表示原始信号。
2. 压缩感知
信号采样是联系模拟信源和数字信息的桥梁。
香农-奈奎斯特采样定理指出为了无失真的回复或者描述一个信号，至少要以二倍带宽的速率来采样。而实际应用中，例如数码相机、视频摄像机等，奈奎斯特采样速率采样得到的样本太多，对我们存储和传输都带来了巨大的不便，因此我们需要对采样得到的样本数据再进行一定的压缩。这样一来，先以高速率采集得到大量样本然后再压缩就造成了很大的浪费，于是考虑是不是存在一种采样方式可以直接采样得到适量的信息，并且利用这些信息可以足够好的恢复原始信号？而信号的稀疏表示和压缩感知无疑是一个promising的方向。压缩感知理论指出:只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么久可以利用不相关的观测矩阵直接将这样一个高位信号投影到低维空间商，然后利用少量的投影解一个优化问题，就可以高概率重构原信号。
压缩感知理论是一种新的在采样的同时实现压缩的理论框架。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e1243cdef80f76c66137ee06eff9aef8951e484f.html
文档为doc格式