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2021-2021学年河南省名校联盟高三(上)月考数学试卷(理科)(1)

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河南省名校联盟高三（上）月考数学试卷（理科）（1）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x≤﹣1或x≥1}，集合B={x|0＜x＜1}，则（）A．A∩B={1}2．（5分）复数A．﹣2B．2
B．A∩∁RB=A
C．（∁RA）∩B=（0，1]D．A∪B=R
，则z2=（）
C．﹣2iD．2i
3．（5分）如图所示为一个8×8的国际象棋棋盘，其中每个格子的大小都一样，向棋盘内随机抛撒100枚豆子，则落在黑格内的豆子总数最接近（）

A．40B．50C．60D．64
4．（5分）在等比数列{an}中，a1a3=a4=4，则a6=（）A．6
B．±8C．﹣8D．8
5．（5分）空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a，b，c，则下列四个命题中正确的有（）
p1：若α⊥β且α⊥γ，则β∥γ；p2：若a⊥b且a⊥c，则b∥c；p3：若a⊥α且b⊥α，则a∥b；p4：若a⊥α，b⊥β且α⊥β，则a⊥b．A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p3D．p3，p4
6．（5分）《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入a=20，b=8，则输出的结果为（）
1


A．a=4，i=37．（5分）已知A．
B．a=4，i=4C．a=2，i=3D．a=2，i=4
，则m的值为（）
D．﹣1
，其三视图如图所示，图中均为正
B．C．
8．（5分）已知某几何体的外接球的半径为方形，则该几何体的体积为（）

A．16B．C．D．8
9．（5分）变量x，y满足，则z=3y﹣x的取值范围为（）
A．[1，2]B．[2，5]C．[2，6]D．[1，6]
10．（5分）在（x2+1）2（x﹣1）6的展开式中，x3项的系数为（）A．32B．﹣32
C．﹣20
D．﹣26
11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A，B两点向y轴引垂线交y轴于D，C，若梯形ABCD的面积为A．1
B．2
C．3
D．4
，则a的最，则p=（）
12．（5分）若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有大值为（）A．2eB．e
C．1
D．
2


二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知非零向量，满足14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，点
，，
，则
=．
，记射线OA与x
轴正半轴所夹的锐角为α，将点B绕圆心O逆时针旋转α角度得到点C，则点C的坐标为．15．（5分）以双曲线
的两焦点为直径作圆，且该圆在x轴上方交双曲
线于A，B两点；再以线段AB为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为．16．（5分）数列bn=an•cos
的前n项和为Sn，已知S2015=1，S2016=0，若数列
{an}为等差数列，则S2017=．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆半径为R，且满足（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，△PDC和△BDC均为等边三角形，且平面PDC⊥平面BDC，点E为PB中点．
（1）求证：AE∥平面PDC；
（2）求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．
．
3


19．（12分）某建材公司在A，B两地各有一家工厂，它们生产的建材由公司直接运往C地．由于土路交通运输不便，为了减少运费，该公司预备投资修建一条从A地或B地直达C地的公路；若选择从某地修建公路，则另外一地生产的建材可先运输至该地再运至C以节约费用．已知A，B之间为土路，土路运费为每吨千米20元，公路的运费减半，A，B，C三地距离如图所示．为了制定修路计划，公司统计了最近10天两个工厂每天的建材产量，得到下面的柱形图，以两个工厂在最近10天日产量的频率代替日产量的概率．（1）求“A，B两地工厂某天的总日产量为20吨”的概率；
（2）以修路后每天总的运费的期望为依据，判断从A，B哪一地修路更加划算．

20．（12分）椭圆+=1（a＞b＞0）的上下左右四个顶点分别为A，B，C，D，
x轴正半轴上的某点P满足|PA|=|PD|=2，|PC|=4．（1）求椭圆的标准方程以及点P的坐标；
（2）过点C作直线l1交椭圆于点Q，过点P作直线l2交椭圆于点M，N，且l1∥l2，是否存在这样的直线l1，l2使得△CDQ，△MNA，△MND的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x2+ax．（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选
4

修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4
sin（
），直线l的极坐标方程
为θ=θ0（ρ∈R），曲线C与直线l相交于A，B两点．（1）当θ0=
时，求|AB|；
（2）设AB中点为P，当θ0变化时，求点P轨迹的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x+a|+|x+1|．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为2a，求a的值．
5


2017-2018学年河南省名校联盟高三（上）月考数学试卷
（理科）（1）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x≤﹣1或x≥1}，集合B={x|0＜x＜1}，则（）A．A∩B={1}
B．A∩∁RB=A
C．（∁RA）∩B=（0，1]D．A∪B=R
【解答】解：由题意可得：
A∩B=∅；A∩∁RB=A；（∁RA）∩B=B=（0，1），A∪B≠R，故选：B．
2．（5分）复数A．﹣2B．2【解答】解：
，则z2=（）
C．﹣2iD．2i
=
，
则z2=（1﹣i）2=﹣2i．故选：C．
3．（5分）如图所示为一个8×8的国际象棋棋盘，其中每个格子的大小都一样，向棋盘内随机抛撒100枚豆子，则落在黑格内的豆子总数最接近（）

A．40B．50C．60D．64
【解答】解：观察所给的图形，黑格子和白格子的个数相等，

6

则豆子落在黑格内的概率为，
个．
据此可得：落在黑格内的豆子总数最接近故选：B．
4．（5分）在等比数列{an}中，a1a3=a4=4，则a6=（）A．6
B．±8C．﹣8D．8
=4，
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1a3=a4=4，∴解得a1=q=±则a6=故选：D．
，
=8．
5．（5分）空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a，b，c，则下列四个命题中正确的有（）
p1：若α⊥β且α⊥γ，则β∥γ；p2：若a⊥b且a⊥c，则b∥c；p3：若a⊥α且b⊥α，则a∥b；p4：若a⊥α，b⊥β且α⊥β，则a⊥b．A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p3D．p3，p4
【解答】解：由空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a，b，c，知：在p1中，若α⊥β且α⊥γ，则β与γ相交或平行，故p1错误；在p2中，若a⊥b且a⊥c，则b与c相交、平行或异面，故p2错误；在p3中，若a⊥α且b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故p3正确；在p4中，若a⊥α，b⊥β且α⊥β，
则由线面垂直的性质定理和面面垂直的性质定理得a⊥b，故p4正确．故选：D．
6．（5分）《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入a=20，b=8，则输出的结果为

7

（）

A．a=4，i=3B．a=4，i=4C．a=2，i=3D．a=2，i=4
【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=20，b=8，i=0，满足a＞b，a=20﹣8=12，i=1满足a＞b，a=12﹣8=4，i=2
不满足a＞b，不满足a=b，b=8﹣4=4，i=3
不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为4，i的值为3．故选：A．
7．（5分）已知A．
B．C．
D．﹣1
，则m的值为（）
【解答】解：由微积分基本定理可得：
，
结合题意可得：故选：B．
8．（5分）已知某几何体的外接球的半径为方形，则该几何体的体积为（）
，其三视图如图所示，图中均为正
，解得：
．

8

A．16B．C．D．8
【解答】解：由三视图可知几何体为正方体的面对角线组成的正四面体B1﹣ACD1，设正方体的棱长为a，则外接球半径为正方体体对角线的一半，即∴a=2，
∴几何体的体积V=a3﹣4•=
=．
故选C．


9．（5分）变量x，y满足，则z=3y﹣x的取值范围为（A．[1，2]B．[2，5]C．[2，6]D．[1，6]【解答】解：∵变量x，y满足约束条件
，
目标函数为：z=3y﹣x，
分析可知z在点A（0，2）处取得最大值，zmax=3×2﹣0=6，z在点B（﹣1，0）处取得最小值，zmin=3×0+1=1，∴1≤z≤6，故选：D．
，

9
）


10．（5分）在（x2+1）2（x﹣1）6的展开式中，x3项的系数为（）A．32B．﹣32
C．﹣20
D．﹣26
【解答】解：（x2+1）2（x﹣1）6=（x4+2x2+1）（x﹣1）6通项公式可得：展开式中可得x3项：当：2x2•当
是x3项，可得：r=5，此时系数为是x3项，可得：r=3，此时系数为﹣
=﹣12．
．
=﹣20．
∴x3项的系数为：﹣12﹣20=﹣32．故选：B．
11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A，B两点向y轴引垂线交y轴于D，C，若梯形ABCD的面积为A．1
B．2
C．3
D．4
，则p=（）
【解答】解：如图，抛物线方程为y2=2px，设A，B点坐标分别为（x1，y1，），（x2，y2），
10


焦点F坐标为（，0），直线AB的方程为y=x﹣，
联立，得x2﹣3px+=0，
∴x1+x2=3p，x1x2=∴|x1﹣x2|=∴|y1﹣y2|=
．
，
=
，
则梯形ABCD的面积为•（AD+BC）•CD=（x1+x2）|y1﹣y2|=•3p解得：p=1．故选：A．
12．（5分）若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有大值为（）A．2eB．e
C．1
D．
=，
，则a的最
【解答】解：由题意可得：x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2，
，
∴，
11

据此可得函数其导函数：
据此可得：0＜x≤1，即实数a的最大值为1．故选：C．
在定义域（0，a）上单调递增，
在（0，a）上恒成立，
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知非零向量，满足【解答】解：非零向量，满足∴•（+）=∴4
=
，
+
=0，•（4+）=4
，+
=0，，
，，则
=2．
∴2||=||，∴
=2，
故答案为：2
14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，点
，
，记射线OA与x
轴正半轴所夹的锐角为α，将点B绕圆心O逆时针旋转α角度得到点C，则点C的坐标为
．
，cosα=
，
【解答】解：由题意得：sinα=
记射线OB与x轴正半轴所夹的角按逆时针为β，则sinβ=，cosβ=﹣，
则OC与x轴正半轴所夹的角按逆时针为（α+β），则sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=
×（﹣）+
×=
，
12

cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=故C点的坐标是（﹣故答案为：（﹣
15．（5分）以双曲线
，
，）．
），
×（﹣）﹣×=﹣，
的两焦点为直径作圆，且该圆在x轴上方交双曲
线于A，B两点；再以线段AB为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为
．
的图象上，所以
，
【解答】解：设A（m，n），则A在双曲线
则m2=a2+
，
以双曲线的两焦点为直径作圆，且该圆在x轴上方交双曲线于A，B两
点；再以线段AB为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，可得：a2+n2=m2，所以a2+所以双曲线的离心率为：e==故答案为：
16．（5分）数列bn=an•cos
的前n项和为Sn，已知S2015=1，S2016=0，若数列
．
=a2+n2，可得a=b，则c=．
．
{an}为等差数列，则S2017=﹣．【
解
+
a3+a6．…．
∵S2015=1，S2016=0，
∴1=﹣（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010）．

13
答
+
】
+
解
+
：∵=﹣

0=﹣（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010）+a2016．解得公差d=0，a2016=﹣1．∴an=a2016+（n﹣2016）×0=﹣1．∴S2017=﹣cos故答案为：
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆半径为R，且满足（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理，得又解得
，得，
，解得
．
，
，
，
．
．
=﹣．
由△ABC为锐角三角形，∴sinA=（2）由a=2、
及余弦定理，得
即（b+c）2=4+3bc，结合
，得
，
解得b+c≤4（当且仅当b=c时取等号），
所以a+b+c=2+b+c≤2+4=6（当且仅当b=c时取等号），故当△ABC为正三角形时，△ABC周长的最大值为6．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，△PDC和△BDC均为等边三角形，且平面PDC⊥平面BDC，点E为PB中点．
14

（1）求证：AE∥平面PDC；
（2）求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：过点E作EF∥BC交PC于点F，连接DF，取BC的中点G，连接DG，
∵DG是等边△BCD底边BC的中线，∴∠DGB=90°．∵∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABGD为矩形，∴
，AD∥BC．
∵EF为△BCP底边BC的中位线，∴
，EF∥BC，
∴AD=EF，AD∥EF，则四边形ADFE是平行四边形，∴AE∥DF，∵DF⊂面PDC，AE⊄面PDC，∴AE∥面PDC；
（2）解：以点A为坐标原点，坐标系A﹣xyz，
如图所示，各个点的坐标为A（0，0，0），
，
因此向量
，
，
，
．
，
，
，
为x轴正方向，|
|为单位长度建立空间直角
设面ABP、面CBP的法向量分别为
则
，取y1=1，得，
15

同理得，
设平面PAB与平面PBC所成的锐二面角为θ，
则=．


19．（12分）某建材公司在A，B两地各有一家工厂，它们生产的建材由公司直接运往C地．由于土路交通运输不便，为了减少运费，该公司预备投资修建一条从A地或B地直达C地的公路；若选择从某地修建公路，则另外一地生产的建材可先运输至该地再运至C以节约费用．已知A，B之间为土路，土路运费为每吨千米20元，公路的运费减半，A，B，C三地距离如图所示．为了制定修路计划，公司统计了最近10天两个工厂每天的建材产量，得到下面的柱形图，以两个工厂在最近10天日产量的频率代替日产量的概率．（1）求“A，B两地工厂某天的总日产量为20吨”的概率；
（2）以修路后每天总的运费的期望为依据，判断从A，B哪一地修路更加划算．

【解答】解：（1）设“A、B两地公司总日产量为20吨”为事件C，则
；
、
（2）同样可求A、B两地工厂某天的总日产量为19吨，21吨的概率分别为；
16

若从A地修路，从B地到A地每天的运费的期望为：
（元）；
从A地到C地每天的运费的期望为：
（元）；
所以从A地修路，每天的总运费的期望为：456+1592=2048（元）；
若从B地修路，从A地到B地每天的运费的期望为：
；
从B地到C地每天的运费的期望为：
（元）；
所以从B地修路，每天的总运费的期望为：340+1393=1733（元）；比较知从B地修路更划算些．
20．（12分）椭圆
+
=1（a＞b＞0）的上下左右四个顶点分别为A，B，C，D，
x轴正半轴上的某点P满足|PA|=|PD|=2，|PC|=4．（1）求椭圆的标准方程以及点P的坐标；
（2）过点C作直线l1交椭圆于点Q，过点P作直线l2交椭圆于点M，N，且l1∥l2，是否存在这样的直线l1，l2使得△CDQ，△MNA，△MND的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，由x轴正半轴上的某点P满足|PA|=|PD|=2，|PC|=4．可得|PC|+|PD|=2a，∴a=3，|PO|=1，b=椭圆的标准方程为：（2）可得A（0，

，点P的坐标为（1，0）
），D（3，0），AD中点H（
）
∵使△MNA，△MND的面积相等，∴过点P的直线l2交过AD中点H，
17

∴直线l2的方程为：y=（x﹣1）．
∵l1∥l2，∴△CDQ，△MND的高之比等于DC：DP=6：2
即要使得△CDQ，△MNA，△MND的面积相等，只需3|CQ|=|MN|即可．由
∴M（0，﹣∴|MN|=
，
（x+3）．
得5x2﹣9x=0），N（，
）
设直线l2的方程为：y=由x1+x2=﹣|CQ|=
得5x2+27x+36=0，x1x2=
．
|x1﹣x2|=
∴满足3|CQ|=|MN|，
即存在这样的直线l1，l2使得△CDQ，△MNA，△MND的面积相等，直线斜率为．


21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x2+ax．（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）1）当a=0时，f（x）=﹣x2，在（0，+∞）上单调递减；2）当a≠0时，
．
①当a＜0时，在定义域（0，+∞）上，﹣2x2＜0，ax+a＜0，f'（x）＜0，f（x）
18

单调递减；
②当a＞0时，f'（x）=0的解为
，
（负值舍去），
f'（x）在（0，x1）上大于0，f（x）在（0，x1）上单调递增，f'（x）在（x1，+∞）上小于0，f（x）在（x1，+∞）上单调递减；综上所述，当a∈（﹣∞，0]时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当a∈（0，+∞）时，f（x）在上单调递减；
（2）①当a=0时，f（x）=﹣x2≤0，满足题意；②当a∈（﹣∞，﹣1]时，③当a∈（﹣1，0）时，由于ln（﹣a）＜0且所以④
当
a
∈
（=
，
为两负数的乘积大于0，即0
，
+
∞
）
时
，
由
（

上单调递增，在
，不满足题意；
，
，不满足题意；1
）
可
知
令此时a=1，
，则将上式写为，令f（t）=0，解得t=1，
而当a∈（0，1]时，t≤1，当a∈（1，+∞）时，t＞1，
综上可得，当a∈[0，1]时，f（x）≤0．
，f（t）≤0满足题意；，f（t）＞0不满足题意；
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建

19

立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin（），直线l的极坐标方程
为θ=θ0（ρ∈R），曲线C与直线l相交于A，B两点．（1）当θ0=
时，求|AB|；
（2）设AB中点为P，当θ0变化时，求点P轨迹的参数方程．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4
sin（
），
直线l的极坐标方程为θ=θ0（ρ∈R），曲线C与直线l相交的其中一点为原点．所以：当|AB|==4=2
．
sin（
），
，
时，
，
（2）曲线C的极坐标方程为ρ=4
转化为直角坐标方程为：x2+2y﹣4x﹣4y=0．
设P（x，y），A（0，0），B（xB，yB），P为AB的中点，所以：xB=2x，yB=2y，由于点B在圆上，则：（2x）2+（2y）2﹣4（2x）﹣4（2y）=0，整理得：x2+y2﹣2x﹣2y=0，即：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．转化为参数方程为：
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x+a|+|x+1|．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值为2a，求a的值．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．当x≤﹣1时，f（x）=﹣3x；当

（α为参数）．
时，f（x）=2﹣x；
20

当时，f（x）=3x．
由单调性知，f（x）的最小值为．
（2）令2x+a=0，得；令x+1=0，得x=﹣1．
①当
，即a≥2时，f（x）=3x+1+a，x∈[﹣1，1]，
最大值为f（1）=4+a=2a，解得a=4．
②当，即﹣2≤a＜2时，
其最大值在区间两个端点处取得．若f（﹣1）=2﹣a=2a，解得
，此时
，舍去；若f（1）=4+a=2a，解得a=4，舍去；③当
，即a＜﹣2时，f（x）=﹣x﹣a+1，x∈[﹣1，1]，
最大值为f（﹣1）=2﹣a=2a，解得，舍去．
综上所述，a=4．
21



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