陕西省西安市高新中考数学三模试卷
一、选择题
1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．a+b=0 B．b＜a C．ab＞0 D．|b|＜|a|
2．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）
A． B．
C．
D．
3．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
4．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（ ）
A．a是无理数 B．a是方程x2﹣3=0的解
C．a是8的算术平方根 D．3＜a＜4
5．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在平面直角坐标系中，把直线y=2x向左平移1个单位长度，平移后的直线解析式是（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2
7．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（ ）
A． B．2 C．
D．2
8．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（ ）
A． B．
C．2 D．
9．如图，线段BD为锐角△ABC上AC边上的中线，E为△ABC的边上的一个动点，则使△BDE为直角三角形的点E的位置有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（ ）
A． B．
C．
D．全体实数
二、填空题
11．与2+最接近的正整数是 ．
12．如图，过点A（3，4）作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y=的图象于点C（x1，y1），连接OA交反比例函数y=
的图象于点D（2，y2），则y2﹣y1= ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 ．
三、填空题
14．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ．
15．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
三、解答题
16．计算：﹣12016++（﹣
）﹣1﹣tan30°．
17．化简（a﹣）+
，并请从﹣1，0，1，2中选择你喜欢的数代入求值．
18．如图，已知直线及其上一点A，请用尺规作⊙O，使得⊙O与直线相切于点A，且半径等于r长．（保留作图痕迹，不写作法）
19．考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．数据收集整理后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）请通过计算，补全条形统计图；
（2）请直接写出扇形统计图中“享受美食”所对应圆心角的度数为 ；
（3）根据调查结果，可估计出该校九年级学生中减压方式的众数和中位数分别是 ， ．
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：AE=AB．
21．如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°．若小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°．求小华的眼睛到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
22．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：
该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后获毛利润共2.1万元（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）
（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过17.25万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
23．小明、小亮、和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪两个人先下棋，规则如下：
游戏规则：三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合，落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋．
（1）如图，请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；
（2）求一个回合不能确定两人先下棋的概率．
24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=，求⊙O的直径．
25．如图，抛物线M：y=（x+1）（x+a）（a＞1）交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点．抛物线M关于y轴对称的抛物线N交x轴于P、Q两点（P在Q的左边）
（1）直接写出A、C坐标：A（ ），C（ ）；（用含有a的代数式表示）
（2）在第一象限存在点D，使得四边形ACDP为平行四边形，请直接写出点D的坐标（用含a的代数式表示）；并判断点D是否在抛物线N上，说明理由．
（3）若（2）中平行四边形ACDP为菱形，请确定抛物线N的解析式．
26．对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．如图①中，∠B=∠D，AB=AD；如图②中，∠A=∠C，AB=AD则这样的四边形均为奇特四边形．
（1）在图①中，若AB=AD=4，∠A=60°，∠C=120°，请求出四边形ABCD的面积；
（2）在图②中，若AB=AD=4，∠A=∠C=45°，请直接写出四边形ABCD面积的最大值；
（3）如图③，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线上一点，且BE=DF，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H．若EB+BC=m，问四边形BCGE的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值（用含m的代数式表示）；如果不是，请说明理由．
陕西省西安市高新中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．a+b=0 B．b＜a C．ab＞0 D．|b|＜|a|
【考点】实数与数轴．
【专题】常规题型．
【分析】根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2，b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1，即可得出|b|＜|a|．
【解答】解：根据图形可知：
﹣2＜a＜﹣1，
0＜b＜1，
则|b|＜|a|；
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，解答此题的关键是根据数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大，负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于本身．
2．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）
A． B．
C．
D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
【考点】平行线的性质．
【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．
【解答】解：如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，
∴∠ANM=55°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，
∴∠2=∠AMO=115°．
故选C．
【点评】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．
4．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（ ）
A．a是无理数 B．a是方程x2﹣3=0的解
C．a是8的算术平方根 D．3＜a＜4
【考点】一元二次方程的解；无理数．
【分析】由无理数，算术平方根，方程的解的概念进行判断即可．
【解答】解：∵边长为a的正方形的面积为8，
∴a==2
，
∴A，C，D都正确，
故选B．
【点评】本题考查了无理数，算术平方根，方程的解，熟记概念是解题的关键．
5．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：由x﹣3＞0，得x＞3，
由x+1≥0，得x≥﹣1．
不等式组的解集是x＞3，
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．在平面直角坐标系中，把直线y=2x向左平移1个单位长度，平移后的直线解析式是（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x向左平移1个单位所得的直线的解析式是y=2（x+1）=2x+2．即y=2x+2，
故选C
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
7．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（ ）
A． B．2 C．
D．2
【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质．
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．
【解答】解：如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC==
=
，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC=．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键．
8．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（ ）
A． B．
C．2 D．
【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．
【专题】网格型．
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
【解答】解：∵∠E=∠ABD，
∴tan∠AED=tan∠ABD==
．
故选D．
【点评】本题利用了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念求解．
9．如图，线段BD为锐角△ABC上AC边上的中线，E为△ABC的边上的一个动点，则使△BDE为直角三角形的点E的位置有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】圆周角定理．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，分BD是斜边和BD是直角边两种情况作出图形，然后确定出点E的位置即可．
【解答】解：如图，BD是斜边时，点E有两个位置，
BD是直角边时点E有一个位置，
综上所述，使△BDE为直角三角形的点E的位置有3个．
故选B．
【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的定义，主要利用了直径所对的圆周角是直角，作出图形更形象直观．
10．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（ ）
A． B．
C．
D．全体实数
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】压轴题．
【分析】因为抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，所以令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，则f（2）＜0，解不等式可得m＞，又因为抛物线与y轴的交点在点（0，
）的下方，所以f（0）＜﹣
，解得m＜
，即可得解．
【解答】解：根据题意，
令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，
∵抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，
∴f（2）＜0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：m＞，
又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，
∴f（0）＜﹣，解得：m＜
，
综上可得：＜m＜
，
故选A．
【点评】本题考查二次函数图象特征，要善于合理运用题目已知条件．
二、填空题
11．与2+最接近的正整数是 4 ．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先估算出的范围，然后再确定即可．
【解答】解：∵4＜6＜6.25，
∴2＜＜2.5，
∴4＜2+＜4.5．
所以与2+最接近的正整数是4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出2+的大致范围是解题的关键．
12．如图，过点A（3，4）作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y=的图象于点C（x1，y1），连接OA交反比例函数y=
的图象于点D（2，y2），则y2﹣y1=
．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征结合点A的坐标以及点D的横坐标即可得出点C、D的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出直线OA的解析式，将点D的坐标代入直线OA的解析式中即可求出k值，再将其代入y2﹣y1=中即可得出结论．
【解答】解：∵过点A（3，4）作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y=的图象于点C（x1，y1），
∴点C（3，）．
∵连接OA交反比例函数y=的图象于点D（2，y2），
∴点D（2，）．
设直线OA的解析式为y=mx（m≠0），
将A（3，4）代入y=mx中，
4=3m，解得：m=，
∴直线OA的解析式为y=x．
∴点D（2，）在直线OA上，
∴=
×2，解得：k=
，
∴y2﹣y1=﹣
=
=
．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求正比例函数解析式，根据点A的坐标利用待定系数法求出直线OA的解析式是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是
+1 ．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=
，最终得到答案BM=BO+OM=1+
．
【解答】解：如图，连接AM，
由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC=，
∴AC=2=CM=2，
∵AB=BC，CM=AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=
，
∴BM=BO+OM=1+，
故答案为：1+．
【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
三、填空题
14．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 5 ．
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．
【解答】解：根据题意得：
这个多边形的边数是360°÷72°=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和边数的关系是解题的关键．
15．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 14.1 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．
【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cos∠CBE=，
∴BE=BC•cos∠CBE
=15×0.940
=14.1cm．
故答案为：14.1．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节．
三、解答题
16．计算：﹣12016++（﹣
）﹣1﹣tan30°．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用乘方的意义，二次根式性质，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1+﹣2﹣
=﹣3．
【点评】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，注意区别﹣12016与（﹣1）2016．
17．化简（a﹣）+
，并请从﹣1，0，1，2中选择你喜欢的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先对括号内的分式进行通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后代入a=2求解．
【解答】解：原式=+
=+
=
=
当a=2时，原式==0．
【点评】本题考查了分式的化简求值，正确进行通分、约分是关键，本题中要注意a不能取﹣1，0以及1．
18．如图，已知直线及其上一点A，请用尺规作⊙O，使得⊙O与直线相切于点A，且半径等于r长．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—应用与设计作图；切线的判定与性质．
【分析】过点A作直线DE⊥BC，在直线DE上截取OA=r，以O为圆心，OA为半径画圆即可．
【解答】解：如图所示，圆O为所求．
【点评】本题考查了尺规作图以及切线的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19．考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．数据收集整理后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）请通过计算，补全条形统计图；
（2）请直接写出扇形统计图中“享受美食”所对应圆心角的度数为 72° ；
（3）根据调查结果，可估计出该校九年级学生中减压方式的众数和中位数分别是 B ， C ．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．
【分析】（1）利用“流谈心”的人数除以所占的百分比计算求得总人数，用总人数乘以“体育活动”所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可；
（2）用360°乘以“享受美食”所占的百分比计算即可得解；
（3）根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：（1）一共抽查的学生：8÷16%=50人，
参加“体育活动”的人数为：50×30%=15人，
补全统计图如图所示：
（2）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：360°×=72°；
（3）B出现了15次，出现的次数最多，则众数是B；
因为共有50人，把这组数据从小到大排列，最中间两个都是C，
所以中位数是C．
故答案为：72°；B，C．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了众数和中位数的计算．
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：AE=AB．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由在平行四边形ABCD中，AM=DM，易证得△AEM≌△DCM（AAS），即可得AE=CD=AB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠E=∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE=CD，
∴AE=AB．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形各种判断方法是解题的关键．
21．如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°．若小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°．求小华的眼睛到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AC=AA1，进而得出tan30°==
求出即可．
【解答】解：∵当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°．
∴AC=AA1，
∵若小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°，
∴AB=A1B1=0.5米，∠DB1B=30°，
∴tan30°==
=
=
，
解得：BD=≈
≈1.4（米），
答：小华的眼睛到地面的距离为1.4米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形中仰角与俯角问题以及平面镜成像的性质，得出AB=A1B1=0.5米，再利用锐角三角函数求出是解题关键．
22．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：
该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后获毛利润共2.1万元（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）
（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过17.25万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为15.5万元和两种手机的销售利润为2.1万元建立方程组求出其解即可；
（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，表示出购买的总资金，由总资金不超过17.25万元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润．
【解答】解：（1）设该商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意得
，
解得．
答：该商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；
（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加3a部，由题意得4000（20﹣a）+2500（30+3a）≤172500
解得a≤5
设全部销售后的毛利润为w元．则
w=300（20﹣a）+500（30+3a）=1200a+21000．
∵1200＞0，
∴w随着a的增大而增大，
∴当a=5时，w有最大值，w最大=1200×5+21000=27000
答：当商场购进甲种手机15部，乙种手机45部时，全部销售后毛利润最大，最大毛利润是2.7万元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键．
23．小明、小亮、和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪两个人先下棋，规则如下：
游戏规则：三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合，落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋．
（1）如图，请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；
（2）求一个回合不能确定两人先下棋的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】图表型．
【分析】（1）此题需两步完成，可根据题意画树状图求得所有可能出现的结果；
（2）根据树状图求得一个回合不能确定两人先下棋的情况，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图得：
（2）∴一共有8种等可能的结果，
一个回合不能确定两人先下棋的有2种情况，
∴一个回合能确定两人先下棋的概率为： =
．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=，求⊙O的直径．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
（2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，
又∵OA=OD，
∴PD=OA，
∵，
∴．
∴⊙O的直径为．
【点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．
25．如图，抛物线M：y=（x+1）（x+a）（a＞1）交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点．抛物线M关于y轴对称的抛物线N交x轴于P、Q两点（P在Q的左边）
（1）直接写出A、C坐标：A（ ﹣a，0 ），C（ 0，a ）；（用含有a的代数式表示）
（2）在第一象限存在点D，使得四边形ACDP为平行四边形，请直接写出点D的坐标（用含a的代数式表示）；并判断点D是否在抛物线N上，说明理由．
（3）若（2）中平行四边形ACDP为菱形，请确定抛物线N的解析式．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）令y=0可求得x，则可求得A、B坐标，令x=0可求得C点坐标；
（2）可先求得抛物线N的解析式，则可求得P点坐标，由平行四边形的性质可知CD=AP，则可求得D点坐标；
（3）由菱形的性质可知AC=AP，则可得到关于a的方程，可求得抛物线N的解析式．
【解答】解：
（1）在y=（x+1）（x+a）中，令y=0可得（x+1）（x+a）=0，解得x=﹣1或x=﹣a，
∵a＞1，
∴﹣a＜﹣1，
∴A（﹣a，0），B（﹣1，0），
令x=0可得y=a，
∴C（0，a），
故答案为：﹣a，0；0，a；
（2）∵抛物线N与抛物线M关于y轴对称，
∴抛物线N的解析式为y=（x﹣1）（x﹣a），
令y=0可解得x=1或x=a，
∴P（1，0），Q（a，0），
∴AP=1﹣（﹣a）=1+a，
∵四边形ACDP为平行四边形，
∴CD∥AP，且CD=AP，
∴CD=1+a，且OC=a，
∴D（1+a，a）；
（3）∵A（﹣a，0），C（0，a），
∴AC=a，
当四边形ACDP为菱形时则有AP=AC，
∴a=1+a，解得a=
+1，
∴抛物线N的解析式为y=（x﹣1）（x﹣﹣1）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、轴对称、平行四边形的性质、菱形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴交点的求法，在（2）中由平行四边形的性质求得AP=CD、AP∥CD是解题的关键，在（3）中由菱形的性质得到AC=AP是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
26．对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．如图①中，∠B=∠D，AB=AD；如图②中，∠A=∠C，AB=AD则这样的四边形均为奇特四边形．
（1）在图①中，若AB=AD=4，∠A=60°，∠C=120°，请求出四边形ABCD的面积；
（2）在图②中，若AB=AD=4，∠A=∠C=45°，请直接写出四边形ABCD面积的最大值；
（3）如图③，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线上一点，且BE=DF，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H．若EB+BC=m，问四边形BCGE的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值（用含m的代数式表示）；如果不是，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）如图①中，设AC与BD交于点O．首先证明△ABD是等边三角形，AC⊥BD，根据S四边形ABCD=•BD•OA+
•BD≈OC=
•BD•（OA+OC），求出AO，OC即可解决问题．
（2）如图②中，作DH⊥AB于H．因为∠C′=∠C=45°，所以当C′B=C′D时，△BDC′的面积最大，此时四边形ABC′D的面积最大，易证四边形ABC′D是菱形，在Rt△AHD中，由∠A=45°，∠AHD=90°，AD=4，推出AH=HD=2，所以四边形ABC′D的面积=AB•DH=8
．
（3）四边形BCGE的面积是定值如图③中，连接EC、CF，作FH⊥BC于H．由△BCE△DCF，推出CE=CF，由EG=GF，推出S△ECG=S△FCG，由四边形DCFH是矩形，推出BC=DC=HF，DF=BE=CH，推出BH=m，BE+FH=m，推出△FCH，△DCF，△BCE的面积相等，推出四边形BCGE的面积=•梯形BEFH的面积，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，设AC与BD交于点O．
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4，∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠ABD=∠ADC，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠BCD=120°，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴CB=CD，∵AB=AD，
∴AC⊥BD，
∴BO=OD=2，OA=AB•sin60°=2，OC=OB•tan30°=
，
∴S四边形ABCD=•BD•OA+
•BD≈OC=
•BD•（OA+OC）=
．
（2）如图②中，作DH⊥AB于H．
∵∠C′=∠C=45°，
∴当C′B=C′D时，△BDC′的面积最大，此时四边形ABC′D的面积最大，
易证四边形ABC′D是菱形，
在Rt△AHD中，∵∠A=45°，∠AHD=90°，AD=4，
∴AH=HD=2，
∴四边形ABC′D的面积=AB•DH=8．
∴四边形ABCD的面积的最大值为8．
（3）四边形BCGE的面积是定值．理由如下，
如图③中，连接EC、CF，作FH⊥BC于H．
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE△DCF，
∴CE=CF，
∵EG=GF，
∴S△ECG=S△FCG，
∵四边形DCFH是矩形，
∴BC=DC=HF，DF=BE=CH，
∴BH=m，BE+FH=m，
∴△FCH，△DCF，△BCE的面积相等，
∴四边形BCGE的面积=•梯形BEFH的面积=
•
•m•m=
m2．
【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、菱形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，第三个问题的关键是证明四边形BCGE的面积=•梯形BEFH的面积，所以中考压轴题．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/e07f9ce23868011ca300a6c30c2259010302f34e.html
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