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2010-2011-1线性代数(本科)A卷答案

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线性代数期末试卷共5页第1页
武汉科技大学
2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A
解答与参考评分标准
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（A）。
(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B）行列式中有两行（列）元素完全相同;（C）行列式中有两行（列）元素成比例;（D）行列式中等于零的个数大于n
2
n个.
2．下列矩阵中（C）不满足AE。
2
12121211(A）;（B）;（C）;（D）.
111111213.设A,B为同阶可逆方阵,则(D。
1
(AABBA；(B存在可逆矩阵P,使PAPB；
T
(C存在可逆矩阵C,使CACB；(D存在可逆矩阵P,Q,使PAQB.
4．向量组（A）
（C）（D）
线性无关的充分必要条件是（D）
均不为零向量；（B）中有一部分向量组线性无关；
中任意两个向量的分量不对应成比例；
中任意一个向量都不能由其余r1个向量线性表示。
5．零为方阵A的特征值是A不可逆的（B）。
（A）充分条件；（B）充要条件;（C）必要条件;（D）无关条件.
二、填空题（每小题3分，共15分）
101

6．设A020，则A22A=0。
101

1
11T
7．已知1,2,3,1,,,设A,则A2
23
3
12132
132；31
*1
8．设A是三阶方阵，且A1，则A2A27；
9．已知向量组11,2,3,4,22,3,4,5,33,4,5,6,44,5,6,7,则该向量组的秩为2;
111
42，B010.已知A2
335000

20，且A于B相似，则6。02
三、计算题（每小题10分，共50分）
1

线性代数期末试卷共5页第2页
1a11
11a2
1111a2
11
111111

n
111111
100
111
111

111
5分
11．Dn
111a11
1a3(a1a2an0
1an
01a1
解：Dn
11
1a31a2
1an1an
111a11010
100
100
1
i1
1ai
1a100
100

100
8分
a2
000
an
a2
an
n
1
1a1a2an10分i1ai
x12x22x30
12．已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组2x1x2x30的解.
3xxx0123
①求的值；②证明B0.
x12x22x30
解：①因为非零矩阵B的每一列都是齐次方程组的解，所以齐次线性方程组2x1x2x30
3xxx0123
1
有非零解，即2
22
104515分311
122
②由题意可得211B0R(BR(An3，8分
311
因为RA1，所以R(B3，即B不可逆，所以B010分注：第二问也可以用反证法，方法对即可。
311110
13．设3阶矩阵X满足等式AXB2X,其中A012,B102.
004202
求矩阵X。
2

线性代数期末试卷共5页第3页
111
解：AXB2XA2EXBA2E012,3分
002
111110100111

A2E,B012102~010100,8分
002202001101111
所以X100。10分
101
1134333541
14．求向量组1,2,3,4,5的秩及最大无关组。
2232033421
11343113433354100488~解：1,2,3,4,5
2232000369334210051010
1134300488，6分~
0000000000
所以R1,2,3,4,52，任意两个不成比例的向量组均是1,2,3,4,5的一个
极大无关组。10分
001x2

30015.设f(x1,x2,x3(x1,x2,x3x3430x1
1.求二次型f(x1,x2,x3所对应的矩阵A；2.求A的特征值和对应的特征向量。
100

解：1.二次型f(x1,x2,x3所对应的矩阵A032，3分
023
100
2．AE
00
3201505,1（二重）6分23
2
400100

当5时，A5Ex0022~011，
022000
3

线性代数期末试卷共5页第4页
0
所以k11为5对应的特征向量。8分
1
000000
当1时，AEx0022~011，
022000
10
所以k20,k31为1对应的特征向量。10分
01
四、解答题（10分）
16．(1,3,3T,1(1,2,0T,2(1,a2,3aT,3(1,b2,a2bT，试讨论a,b为何值时
（1）不能用1,2,3线性表示；（2）可由1,2,3唯一地表示，并求出表示式；（3）可由1,2,3表示，但表示式不惟一，并求出表示式.
x1x2x31

解：问题转化为方程组求解问题2x1(a2x2(b2x33
3ax(a2bx3
23
11111111
A2a2b23~0ab1
增广矩阵03aa2b300ab05分
（1）a0时,(若b=0则R(A1,R(A2,若b0则R(A2,R(A3方程组无解，即不能用1,2,3线性表示6分（2）a0,ab0时，R(AR(A3，方程组有唯一解，即可由1,2,3唯一地表示，求表示式：
1111110110011a
1A0ab10a01010a00ab000100010
1(11a1a28分
（3）a0,ab0时，R(AR(A2，可由1,2,3表示，但表示式不惟一，
4

线性代数期末试卷共5页第5页
111110011aA0aa10111a求表示式：00000000
1
(11a1(ak2k3，10分
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设1,2,,n是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示。证明：充分性：1,2,,n是一组n维向量，任一n维向量都可由它们线性表示。因此有E可由1,2,,n线性表示，因此有
nR(ERAnRAn1,2,,n线性无关。3分必要性：bRn,1,2,,n线性无关，因此有1,2,,n,b线性相关，即
1,2,,nxb有惟一解，所以向量b可由向量组1,2,,n线性表示，由b的任意性可得任一n维向量都可由1,2,,n线性表示。5分18．设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，且A,B可交换，AB可逆，证明：
ABAB
1
是正交矩阵。
证明：A为对称矩阵ATA，B为反对称矩阵BTB，
A,B可交换ABBAABABABAB，2分
ABAB
AB
1
1T

ABAB
1

AB
1T

ABAB
T
4分
ABABABE
1
所以ABAB是正交矩阵。5分
1
5

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/df532e105f0e7cd18425364c.html

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