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江西省景德镇市2019届高三第二次质检数学理试卷

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景德镇市2019届高三第二次质检试题
数学(理
命题市一中江宁市二中张勋达审核刘倩昌江一中叶柔涌乐一中许敏
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1.设集合M{x1x2},N{yya}，若M
N，则实数a的取值范围一定是
A．1a2B．a2C．a1D．a12．若(1i2a为纯虚数，则实数a的值为
A．0B．2C．1D．13.若命题P:对于任意x1,1，有f(x0，则对命题P的否定是A．对于任意x1,1有f(x0B．对于任意x(,1
(1,有f(x0
C．存在x01,1使f(x00D．存在x01,1使f(x00
4．在一组样本数据的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的
2
，且样本容量为280，则中间一组的频数为(5
A.56B.80C.112D.1205.已知(，sin(

2
3
，则cos45
A．
27227272
B．C．或D．1010101010
2x1
的图像可能是x1
6.函数y
·1·

y
2
y
2
yy
-1O
x
-1O
x
-1O
x
-2
-1O
x
ABC
D

7.等差数列an中的a1、a4025是函数f(x
13
x4x26x1的极值点，则log2a20133
A．2B．3C．4D．5
8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E是AB的中点，D是AA1的中点，则三棱锥DB1C1E的体积与三棱柱ABCA1B1C1的体积之比是
A1
B1
D
C1
141C．
8
A．

163D．
8
B．

A
E
B
C
x2y2
9．设F1、F2分别是双曲线C：221的左,右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支相交于A、B
ab
两点，且三角形ABF2是以B为直角的等腰直角三角形，记双曲线C的离心率为e，则e为（）A．522B．
2
5252
C．522D．2424
·2·

10．菱形ABCD的边长为
2
3，ABC60，沿对角线AC折成如图所示的四面体，二面角3
BACD为60，M为AC的中点，P在线段DM上，记DPx，PAPBy，则函数
yf(x的图像大致为
y
2
2
y
2
y
2
y
A
M
1
1
1
1
B
PC

D
x
O
1
x
O
1
x
O
1
x
O
1
A
BC
D

二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分．11．已知程序框图如图，则输出的i=．


·3·

12．在RtABC中，AB1，BC2，AC3，D在边BC上，BD
2
,则ABAD．3
2
13．已知抛物线y2x的焦点为F，过F点，且斜率为3的直线交抛物线于A,B两点，其中第
AF
．FB
14．设集合S1,2,3,4,5,6,7,8，集合Aa1,a2,a3，AS，
一象限内的交点为A，则
的个数为．
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．
15．（1）如图，在极坐标下，写出点P的极坐标．（2）方程x1xx1m有四个解，则m的取值范围
P
a1,a2,a3满足a1a2a3且a3a25，那么满足条件的集合A
60°
O
2
X
为．
四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a2sinA,(I求边c的大小;(II求△ABC面积的最大值.17．（本小题满分12分）设f(x
cosB2ab
0.cosCcc
12
axxlnx2
（1）当a2时，求f(x的单调区间；
（2）若f(x在[2,上单调递增，求a的取值范围．18．（本小题满分12分）
为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生的试卷成绩作为样本，他们数学成绩的茎叶图如图所示，其中茎为百位数和十位数，叶为个位数．（Ⅰ）若该样本男女生平均分数相等，求x的值；
女生男生
（Ⅱ）若规定120分以上为优秀，在该5名女生试卷中
2100247412x8
4130128
求的分布列和数学期望E．
·4·
每次都抽取1份，且不重复抽取，直到确定出所8119有非优秀的女生为止，记所要抽取的次数为，


19．（本小题满分12分）
如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC
P
E
D
ABBCCD
1
AD2，O为AD上一点，且2
A
AO1，平面外两点P、E满足，AE1，EAAB，
B
O
C
EBBD，PO//EA．
（1）求证：EA平面ABCD;
（2）求平面AED与平面BED夹角的余弦值;（3）若BE//平面PCD，求PO的长.
20.（本小题满分13分）
单调递增数列{an}满足a1a2a3
an
12
(ann．2
(1求a1，并求数列{an}的通项公式；
an1,n为奇数，
（2）设cn，求数列{cn}的前2n项和T2n．
an1
an121n为偶数

21.（本小题满分14分）
x22
已知双曲线C：y1(m0，A.B两点分别在双曲线C的两条渐近线上，且AB2m，
m
又点P为AB的中点．
（1）求点P的轨迹方程并判断其形状；
（2）若不同三点D（-2,0）、S、T均在点P的轨迹上，且DSST0；
求T点横坐标xT的取值范围。
·5·

景德镇市2019届高三第二次质检试题
数学(文
命题市一中江宁市二中张勋达审核刘倩昌江一中叶柔涌乐一中许敏
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M{x1x2},N{yya}，若M
N，则实数a的取值范围一定是
A．1a2B．a2C．a1D．a12．若(1i2a为纯虚数，则实数a的值为
A．0B．2C．1D．13.若命题P:对于任意x1,1有f(x0，则对命题P的否定是A．对于任意x1,1有f(x0B．对于任意x(,1
(1,有f(x0
C．存在x01,1使f(x00D．存在x01,1使f(x00
4．在一组样本的数据的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的
2
，且样本容量为280，则中间一组的频数为(5
A.56B.80C.112D.120
5.已知(，sin(

2
3
，则cos45
A．
27227272
B．C．或D．10101010102x1
的图像可能是x1
6.函数y
·6·

y
2
y
2
yy
-1O
x
-1O
x
-1O
x
-2
-1O
x
ABC
D
x222
7.不等式组y0且uxy4y，则u的最小值为(
yx1

A．
8.等差数列an中的a1、a4025是函数f(x
13
B．1C．D．422
13
x4x26x1的极值点，则log2a20133
A．2B．3C．4D．59.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E是AB的中点，D是AA1的中点，则三棱锥DB1C1E的体积与三棱柱ABCA1B1C1的体积之比是A．
A1
B1
D
C1
141C．
8

B．
16

D．
38
A
E
B
C
2
沿对角线AC3，ABC60，
3
折成如图所示的四面体，M为AC的中点，BMD60，P
10．菱形ABCD的边长为
在线段DM上，记DPx，PAPBy，则函数yf(x的图像大致为
·7·


y
2
2
y
2
y
2
y

A
1111
M
B
P
D
x
O
1
x
O
1
x
O
1
x
O
1
A
BC
D

C
二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分．11．已知程序框图如图，则输出的i=．
12．在RtABC中，AB1，BC2，AC3，D在
边
BC上，BD

2
,则ABAD．3
C
D
AB
2
13已知抛物线y2x的焦点为F，过F点，且斜率为3的直线交抛物线于A,B两点，其中第
一象限内的交点为A，则
AF
．FB
x
14．已知yf(x2是奇函数,且f(11.若g(xf(x3,则g(1_______.
15．方程x1x1m有2个解，则m的取值范围为．
三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c3,ccosB(2abcosC0.(1求角C的大小;(2求△ABC面积的最大值.17．（本小题满分12分）
·8·

设f(xx2xalnx
（1）当a1时，求f(x的单调区间；
（2）若f(x在[2,上单调递增，求a的取值范围．
18．为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生的试卷成绩作为样本，他们数学成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数和百位数，叶为个位数。（Ⅰ）若该样本男女生平均分数相等，求x的值；（Ⅱ）若规定120分以上为优秀，在该5名女生试卷中从中抽取2份试卷，求至少有1份成绩是非优秀的概率．
19．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC
女生男生21002481197412x8
4130128
1
AD2，O为AD上一点，且AO1，2
E
3
PO,AE1,EA平面ABCD，平面外两点P、E满足，
2ABBCCDPO//EA
（1）证明BE//平面PCD;（2）求该几何体的体积.
20．单调递增数列an的前n项和为Sn，满足Sn(1求a1，并求数列{an}的通项公式；
P
A
B
O
C
D
12
(ann，2
1
,n为奇数2
（2）设cnan11，求数列{cn}的前20项和T20．
a
32n11n为偶数
21．已知A，B两点分别在直线y
（1）求点P的轨迹方程．
（2）若不同三点D（-2,0），S,T均在点P的轨迹上，且DSST0，求T点横坐标xT的取值范
围．
·9·
xx
与y上，且AB22，又点P为AB的中点．22

数学试题（理）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
DACBABAAAD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．912．
2
13．314．553
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．15．（1）(3,

6
（2）1,2
四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
cosB2ab
0∴ccosB2acosCbcosC0cosCcc
∴sinCcosBsinBcosC2sinAcosC0∴sinA2sinAcosC0∵sinA0
12a
∴cosC∴C∴csinC3……(6分）
23sinA
16．（1）∵
1a2b2322
（2）∵cosC∴abab3
22ab
∴3ab3∴SABC
13
…………（12分）absinC
24
2
17．解：f(xxxlnx(x0
f(x2x1
1(2x1(x1xx
令f(x0
(2x1(x10
x1
x0
(2x1(x10
0x1
x0
令f(x0
所以f(x在(0,1单调递减，在[1,上单调递增………………………6分
1ax2x1
（2）f(xax1
xx
·10·

由f(x0，又x0，所以axx10
2
a
111121(2xxx24
11
x2
由x[2,0所以(
113max2xx434
即a[,得a
3
………12分4
18．（1）解：依题意得
10211812412713410010210411912x128130131132138

510
得x6……………………6分

（2）由茎叶图知，5名女生中优秀的人数为3人，非优秀的有2人
2,3,4
11C2C1
P(2111
C5C41012C2C3
P(433
C55
P(31P(2P(4E2
3
10
1367
34……………………12分1010102
19．（1）在等腰梯形ABCD中BDAB，又∵EBBD，∴BD平面ABE
∴BDEA又∵EAAB∴EA平面ABCD…（4分）
（2）如图建立直角坐标系
A(0,1,0，B(3,0,0，E(0,1,10，D(0,3,
·11·

求得平面AED法向量为
n1(1,0,0
平面BED法向量为
z
n2(3,,
∴平面PBD与平面PCD所成的角的余弦值为
P
E
D
ABx
O
C
cos
315
…（8分）
2010
y
(3设POh，EB(3,1,1可求得平面PCD法向量为
n2(h,3h,33∴EBn10∴h
（其他方法相应给分）
3
…………（12分）2
12
(a11得a112
12
当n2时，a1a2a3an1(an1n1
2
122
得an(anan11
2
20．（1）n1时，a1
2化为(an12an10
anan11或anan11（n2）
又因为an单调递增数列，故anan11
所以an是首项是1，公差为1的等差数列，ann………………6分
an1,n为奇数，cn
an1
an121n为偶数
T2n(24
2n[121323
1
3
(2n122n1]n
＝n(n1[1232记Sn1232
1
3
(2n122n1]n
(2n122n1①
·12·

4Sn123325
由①－②得
(2n122n1②
3Sn22426
22n(2n122n1
3Sn222426
22n(2n122n12
4(14n
3Sn(2n122n12
144(14n(2n122n12Sn
933(6n522n110
Sn
99
T2n

(6n522n110n22n……………13分
99
xx
与ymm
21.双曲线渐近线为y
所以设A(xA,
xxBxAxxx
，B(xB,B，xPAyPAB，
2mm2m
x22
又AB2m，点P的轨迹方程为2y1
m
所以m1时P的轨迹为圆
m1时P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆
0m1时P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆（6分）
x2x22
y21把D（-2,0）代入2y1，得P的轨迹的
m4
（2）设直线DS为yk(x2
2
2
2
①
②
2
联立（1）（2）得(14kx16kx4k10
16k2
设点S(x1,y1，有xDx1，
14k2
·13·

4k28k2
yx1，122
14k14k
则直线ST为y
1
(xx1y1k
③
x24k2
化简为：y
kk(14k2
2
联立①，③得(1
4232k16x2x40
222k2k(14k2k14k
424k2
2
1632k2
x1xT22
(4k(14k
1632k228k28k42k28
xT
(4k2(14k214k24k417k24
36k2
24（因为三点不同，易知k0）
4k17k24
36k2363614
2422
14k17k44(k21725252k
所以xT的取值范围为[
14
,……（14分）25
·14·

数学试题（文）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
DACBABAAAD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．712．
21
13．314．15．(2,32
三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（1）∵ccosB2acosCbcosC0∴sinCcosBsinBcosC2sinAcosC0∴sinA2sinAcosC0∵sinA0∴cosC
12∴C……(6分）23
1a2b2322
（2）∵cosC∴abab3
22ab
∴3ab3∴SABC
17．（1）a1，f(xxxlnx（(x0
2
13
…………（12分）absinC
24
f(x2x1
1(2x1(x1
xx
(2x1(x10
令f(x0x1
x0
令f(x0
(2x1(x10
0x1
x0
所以f(x在(0,1单调递减，在[1,上单调递增………………………6分
a2x2xa
（2）f(x2x1
xx
由f(x0，又x0，所以2xxa0
·15·
2

a2x2x
由x[2,所以(2x2xmin6得a6………12分18．（1）解：依题意得
10211812412713410010210411912x128130131132138

510
得x6……………………5分

（2）5名女生中优秀有3人，记为A1，A2，A3，非优秀2人记为B1，B2从中抽取2人有如下10种情况：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3）（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）其中至少有1份成绩是非优秀的有7种所以至少有1份成绩是非优秀的概率为
7
………………12分10
19．（1）取AD中点G，延长PE、DA交于F，连接BF，∴GD2则GDBC∴BG//CD
3
又∵PO//EA
2
FAFEEA2
∴
FOFPPO3AO1得FA2FGFE
∴∴EG//PDFDFP
P
E
D
F
AB
OGC
∴平面EBG//平面PCD∴BE//平面PCD…………（6分）(2所求几何体体积为
VVPFBCDVEAFB
23
353
…………（12分）
33
12
(a11得a112
20．（1）n1时，a1
·16·

当n2时，Sn1得an
12
(an1n12
122(anan112
2
化为(an12an10
anan11或anan11（n2）
又因为an单调递增数列，故anan11
所以an是首项是1，公差为1的等差数列，ann……………6分
1
,n为奇数，2
（2）cnan11
a
32n11n为偶数
T2n[
1
221421

1

13
]3(222
(201
1
21910
11＝
1335
＝
12(1410310192114
1111111
(2(410110213351921101782218221＝……………………13分2121

x2
y21①……………6分21.（1）P的轨迹的4
（2）设直线DS为yk(x2
2
2
2
②
2
联立（1）（2）得(14kx16kx16k40
16k2设点S(x1,y1，有xDx1，2
14k4k28k2
yx1，1
14k214k2
·17·

则直线ST为y
1
(xx1y1k
③
x24k2
化简为：y
kk(14k2
2
联立①，③得(1
4232k16x2x40
222k2k(14k2k14k
424k2
2
1632k2
x1xT
(4k2(14k2
1632k228k28k42k28
xT4
2222
(4k(14k14k4k17k4
36k2
24（因为三点不同，易知k0）2
4k17k4
36k2363614
242
4k17k244(k21172525
k2
所以xT的取值范围为[
14
,……（14分）25
·18·

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/de7dc885f02d2af90242a8956bec0975f565a45e.html

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