2019-2020学年江西省吉安市白鹭洲中学高三（下）第一次月考数学试卷（理科）（含答案解析）

019-2020学年江西省吉安市白鹭洲中学高三（下）第一次月考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知复数，，若，则a的值为

A. 1 B. C. D.

2. 已知集合，，则

A. B.

C. D.

3. 某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为

A. 650 B. 660 C. 680 D. 700

4. 已知为数列的前n项和，若恒成立，则整数n的最小值为

A. 1026 B. 1025 C. 1024 D. 1023

5. 如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于

A.

B.

C. 1

D.

6. 已知过点且与曲线相切的直线的条数有

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 如图网格纸上小正方形的边长为粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为

A.

B.

C.

D.

8. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”、“股”，则抛物线方程为

A. B. C. D.

9. 记不等式组，所表示的平面区域为“点”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 已知函数，则实数的值是

A. 4036 B. 2018 C. 1009 D. 1007

11. 已知双曲线C：，点是直线上任意一点，若圆与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是

A. B. C. D.

12. 如图，长为4，宽为2的矩形纸片ABCD中，E为边AB的中点，将沿直线DE翻转平面，若M为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是

A. 平面

B. 异面直线BM与所成角是定值

C. 三棱锥体积的最大值是

D. 一定存在某个位置，使

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为______．

14. 天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层如图1所示，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成如图2所示上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是______．

15. 函数的值域为______．

16. 如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数图象交于C，D两点，若轴，则四边形ABDC的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

求角C的大小；

若函数图象的一条对称轴方程为且，求的值．

18. 如图，棱长为a的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的点，且，将，沿DE，DF折起，使得A，C两点重合于P点上，设EF与BD交于M点，过点P作于O点．

求证：平面BFDE；

求直线MD与平面PDF所成角的正弦值．

19. 己知点E，F分别是椭圆的上顶点和左焦点，若EF与圆相切于点T，且点T是线段EF靠近点E的三等分点．

求椭圆C的标准方程；

直线l：与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线与圆相交于A，B两点，求面积的取值范围．

20. 已知函数，，，是函数的导函数．

当时，证明：函数在区间没有零点；

若在上恒成立，求a的取值范围．

21. 某房产中介统计了深圳市某高档小区从2018年12月至2019年1l月当月在售二手房均价单位：万元平方米的散点图，如图所示，图中月份代码1至12分别对应2018年12月至2019年l1月的相应月份．

根据散点图选择和两个模型进行拟合，根据数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：

请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；

某位购房者拟于2020年5月份购买深圳市福田区平方米的二手房欲购房为其家庭首套房若该小区所有住房的房产证均已满3年，请你利用中拟合效果更好的模型解决以下问题：

估算该购房者应支付的购房金额．购房金额房款税费；房屋均价精确到万元平方米

若该购房者拟用不超过760万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积精确到1平方米

附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按照房屋的计税价格进行征收．计税价格房款

征收方式见如表：

参考数据：，，，，，，，，

参考公式：相关指数．

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数．

求曲线C的普通方程；

经过点作直线1交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的普通方程．

23. 已知函数．

当时，若的最小值为3，求实数a的值

当时，若不等式的解集包含，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：【分析】

本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，属于基础题．

根据复数求模公式计算即可．

【解答】

解：，，

则，

解得：，

故选：D．

2.答案：B

解析：解：，，

．

故选：B．

可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．

本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

3.答案：A

解析：解：获得复赛资格的人数为人，

故选：A．

初赛成绩大于90分的概率乘以1000可得．

本题考查了频率分布直方图，属基础题．

4.答案：C

解析：【分析】

本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

利用等比数列的求和公式可得，即可得出．

【解答】

解：，

，

，

又，

整数n最小值为1024．

故选C．

5.答案：A

解析：解：由，

所以，，

即，

故选：A．

由平面向量基本定理得：，所以，，即，得解

本题考查了平面向量基本定理，属中档题．

6.答案：C

解析：解：若直线与曲线切于点，则

，，，，，

过点与曲线C：相切的直线方程为或，

故选：C．

设切点为，则，由于直线l经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，便可建立关于的方程．从而可求方程．

此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．

7.答案：B

解析：【分析】

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，下底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAB为等腰三角形，且平面平面ABCD，再求出其外接球的半径，则其外接球的表面积可求．

【解答】

解：由三视图还原原几何体如图：



该几何体为四棱锥，下底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAB为等腰直角三角形，且平面平面ABCD．

棱锥的高为2，设三角形PAB的外心在AB的中点，正方形ABCD的中心O是球心，

设该四棱锥外接球的半径为R，

则

则该几何体的外接球的表面积为：．

故选：B．

8.答案：B

解析：解：由题意可知，抛物线的图形如图：，，

可得，

所以，是正三角形，并且F是AC的中点，所以，则，

所以抛物线方程为：．

故选：B．

画出抛物线的图形，利用已知条件转化求解P，即可得到抛物线的标准方程．

本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查．

9.答案：C

解析：解：若点，得满足，则，即充分性成立，

若，则不等式组对应区域为阴影部分，则，

即“点”是“”的充要条件，

故选：C．

作出不等式组对应的平面区域，结合不等式组以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式组的关系是解决本题的关键．

10.答案：C

解析：解：由，

可得

可得；

实数的值是为1009．

故选：C．

根据是定值，即可求解；

本题考查了函数的奇偶性和应用，利用是定值，是解决此题的关键．

11.答案：D

解析：解：双曲线C：的一条渐近线方程为，即，

是直线上任意一点，

则直线与直线的距离，

圆与双曲线C的右支没有公共点，

，

，

即，

故e的取值范围为，

故选：D．

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离d，根据圆与双曲线C的右支没有公共点，可得，解得即可．

本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，属于中档题．

12.答案：D

解析：解：对于A，延长CB，DE交于H，连接，由E为AB的中点，

可得B为CH的中点，又M为的中点，可得，平面，

平面，则平面，A正确；

对于B，，过E作，平面，

则是异面直线BM与所成的角或所成角的补角，且，

在中，，，，

则为定值，即为定值，B正确；

对于C，设O为DE的中点，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得

平面平面ADE时，三棱锥的体积最大，

最大体积为，C正确；

对于D，连接，可得，若，即有平面，

即有，由在平面ABCD中的射影为AC，

可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直；

则不存在某个位置，使，C错误；

故选：D．

对于A，延长CB，DE交于H，连接，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得平面；

对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，求出异面直线所成的角；

对于C，由题意知平面平面ADE时，三棱锥的体积最大，求出即可；

对于D，连接，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，可得结论；

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，是中档题．

13.答案：10

解析：解：数学成绩服从正态分布，，

，

，

，

故答案为：10．

由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得．

本题考查正态分布曲线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．

14.答案：243   3402

解析：解：由题意知每环石块数构成等差数列，首项，，

则，

上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前27项和，

即，

故答案为：243，3402

根据条件知每环石块数构成等差数列，首项，，利用等差数列的通项公式以及前n项和公式进行计算即可．

本题主要考查等差数列的应用，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．

15.答案：

解析：解：，，

令，，

即，，

则，

当时，，当时，，

即在为增函数，在为减函数，

又，，，

故函数的值域为：

由导数的应用可得：，，则，当时，，当时，，即在为增函数，在为减函数，

又，，，故函数的值域为：得解．

本题考查了三角函数的最值及利用导数研究函数的最值，属中档题．

16.答案：

解析：【分析】

本小题主要考查对数函数图象，考查运算能力和分析问题的能力，属于中档题．

设出A、B的坐标，求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，从而解出B、C、D的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．

【解答】

解：设点A、B的横坐标分别为、，由题设知，，．

则点A、B纵坐标分别为、．

因为A、B在过点O的直线上，所以，

点C、D坐标分别为，

由于BC平行于x轴知

，

即得，

．

代入得．

由于知，

．

考虑解得．

于是点A的坐标为即

，，．

梯形ABDC的面积为．

故答案为：．

17.答案：本题满分为12分

解：由题意得，，分

可得：，可得：，

所以：分





，分

由题意其一条对称轴方程为，

，得：，即，

，

又，

，分

分

解析：由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求，可求C的值．

利用三角函数恒等变换的应用可求，由题意可得 ，解得，

可求，由已知可求的值，利用三角函数恒等变换的应用可求的值．

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

18.答案：证明：在正方形ABCD中，，根据勾股定理易得，

，D在EF的垂直平分线上，

，

根据翻折，，，，且PE，平面PEF，

平面PEF，

又平面PEF，

，

又，，且PD，平面PBD

平面PBD，

又平面PBD，

，

又，，且EF，平面BFDE

平面BFDE．

解：如图过点O作与EF平行直线为x轴，BD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，



根据正方形边长a且，

易求，，，．

根据和，可知在直角三角形PMF中，

，

由平面PEF，可知在直角三角形PMD中，

，

由可知在直角三角形OPM中，

，则

，，0，，

，

，，

，

设平面PDF的法向量y，，

则

即

取，

记直线MD与平面PDF所成角为，

则

，

故直线MD与平面PDF所成角的正弦值为．

解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量与线面角的计算，属于中档题．

根据翻折可得平面PEF进而得，结合可得平面PBD，故EF，又得出平面BFDE；

建立空间坐标系，求出各点坐标，计算平面PDF的法向量，则，为直线MD与平面PDF所成角的正弦值．

19.答案：解：如图所示，设，，即．

由∽，可得：，

，解得．

又，，，



椭圆C的标准方程为，

设P的坐标为，则，

，

由，则，则，

过坐标原点O且与l垂直的直线的方程为，即，

点到直线的距离，

，

令再令，，

则．

当且仅当，即时取等号，

故面积的取值范围

解析：如图所示，设，，即由∽，可得：，解得又，可得，可得，即可得出．

设出P的坐标，利用导数可得曲线在P点处切线的斜率，可得过坐标原点O且与l垂直的直线的方程，求出P到直线的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值．

本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数的几何意义，基本不等式，考查了转化与化归思想，函数与方程的思想，分类与整合的思想，属于难题．

20.答案：证明：若，则，，

又，所以，

又，，，当时，，

所以，恒成立，

所以当时，函数在区间间上没有零点．

解：，，

故，

设，，

由，，

则，

，

由，得，

在区间，上单调减，，

在区间，上单调增，，

又，所以，，，

故，在区间上存在唯一零点区间，由的单调性可知，

在区间上，，单调减，

在区间上，，单调增，

，故

解析：把代入，然后对函数求导，结合导数与单调性的关系及函数零点判定定理可证；

先对函数求导，然后结合导数可讨论单调性，结合函数的性质可求．

本题综合考查了利用导数求解函数的单调性，还考查了利用函数的性质求解函数的零点，属于综合试题．

21.答案：解：设模型和的相关指数分别是和，

则，，

，，

模型的拟合效果更好．

年5月份的对应月份代码为18，

由知，模型的拟合效果更好，

利用该模型预测可得，这个小区2020年5月份的在售二手房均价为：

万元平方米，

设该购房者应支付的购房金额为h万元，

税费中买方只需缴纳契税，

当时，契税为计税价格的，

故；

当时，契税为计税价格的，

故；

当时，契税为计税价格的，

故．

故．

当时，购房金额为万元；当时，购房金额为万元；当时，购房金额为万元．

设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为t平方米，

由知，当时，应支付的购房金额为万元，

又，

又房屋均价约为万元平方米，，

，得．

由，解得，

该购房者可购买该小区二手房的最大面积为104平方米．

解析：分别求出模型和的相关指数和，比较大小即可得到模型的拟合效果更好．

年5月份的对应月份代码为18，把代入模型，可得这个小区2020年5月份的在售二手房均价．

设该购房者应支付的购房金额为h万元，然后分类求解该购房者应支付的购房金额．

设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为t平方米，由知，当时，应支付的购房金额为万元，结合及房屋均价约为万元平方米求解t的范围，可得该购房者可购买该小区二手房的最大面积．

本题考查独立性检验，考查计算能力，正确理解题意是解答该题的关键，属难题．

22.答案：解由曲线C的参数方程，得为参数

所以曲线C的普通方程为 分

设直线l的倾斜角为，则直线的参数方程为为参数

代入曲线C的直角坐标方程，得，即



所以，由题意知，可不妨设，分

所以，即或 即

所以直线l的普通方程为，或 分

解析：根据平方关系可得曲线C的普通方程；

联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程，根据van属的几何意义可得．

本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．

23.答案：解：当时，



，

因为的最小值为3，

所以，

解得或4．

当时，，

即，

当时，

，

即，

因为不等式的解集包含，

所以且，

即，

故实数a的取值范围是．

解析：本题考查函数的最值的求法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．

当时，化简的表达式，利用绝对值的几何意义，求解最小值然后求解a即可；

当时，，即，通过x的范围，转化去掉绝对值符号，推出a的范围．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/de53b5f63069a45177232f60ddccda38376be1bb.html