1983年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
一．（本题满分10分）
1．在直角坐标系内，函数y=|x|的图象 （ D ）
（A）关于坐标轴、原点都不对称
（B）关于原点对称
（C）关于x轴对称
（D）关于y轴对称
2．抛物线x2+y=0的焦点位于 （ A ）
（A）y轴的负半轴上 （B）y轴的正半轴上
（C）x轴的负半轴上 （D）x轴的正半轴上
3．两条异面直线，指的是 （ D ）
（A）在空间内不相交的两条直线
（B）分别位于两个不同平面内的两条直线
（C）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
（D）不在同一平面内的两条直线
4．对任何的值等于 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
5．这三个数之间的大小顺序是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
二．（本题满分10分）
在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形
解：见上图
三．（本题满分10分）
1求函数的定义域
2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法
解：1.根据题意，得
解得
2．
或：
四．（本题满分12分）
已知复数
证：
五．（本题满分14分）
在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图）当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积
O α
R
解：设矩形在半圆板直径上的一边长为2x，α角如图所示，则x=Rcosα,另一边的长为Rsinα矩形面积S为
S=2R2sinαcosα.
=R2sin2α
当2α=即α=
时，也即长为
，宽为
时，矩形面积最大
最大面积是R2
六．（本题满分14分）
如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20米，在A点处测得P点的仰角∠OAP=300，在B点处测得P点的仰角∠OBP=450，又测得∠AOB=600，求旗杆的高度h（结果可以保留根号）
P
h
A 300 O
600
20米 450
B
解：在直角三角形AOP中，得
OA=OPctg300=.
在直角三角形BOP中，得
OB=OPctg450=h
在三角形AOB中，由余弦定理得
答：略
七．（本题满分16分）
如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内，
∠ABC=600，∠ACB=300，BC=24cm，A点在平面α内的射影为N，AN=9cm求以A为顶点的三棱锥A-NBC的体积（结果可以保留根号）
解：自N作NE⊥BC，E为垂足连结AE，
由三垂线定理可知 AE⊥BC
A
C
N E
B
α
在直角三角形ABC中，
在直角三角形ANE中，
三棱锥A-NBC的体积
答：略
八．（本题满分17分）
一个等比数列有三项如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列;如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列
解：设所求等比数列为,
q,
q2,由已知条件得
由=2,q=3,得所求等比数列是2，6，18;
由，得所求等比数列是
经检验均正确
九．（本题满分17分）
如图，已知两条直线L1:2x-3y+2=0,L2:3x-2y+3=0.有一动圆（圆心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称
解：设圆心M的坐标为(x,y)，圆的半径为r，
点M到L1，L2的距离分别为d1,d2
根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有
Y
L2
L1
M
O X
根据点到直线的距离公式，得
轨迹是双曲线
1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
（这份试题共九道大题，满分120分）
一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内
每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分
1．两条异面直线，指的是 （ D ）
（A）在空间内不相交的两条直线
（B）分别位于两个不同平面内的两条直线
（C）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
（D）不在同一平面内的两条直线
2．方程x2-y2=0表示的图形是 （ A ）
（A）两条相交直线 （B）两条平行直线
（C）两条重合直线 （D）一个点
3．三个数a ,b ,c不全为零的充要条件是 （ D ）
（A）a ,b ,c都不是零 （B）a ,b ,c中最多有一个是零
（C）a ,b ,c中只有一个是零（D）a ,b ,c中至少有一个不是零
4．设则
的值是 （ C ）
（A） （B）
（C）
（D）
5．这三个数之间的大小顺序是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
二．（本题满分12分）
1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程
的图形，并写出它们交点的坐标
2．在极坐标系内，方程表示什么曲线？画出它的图形
解：
Y
2
1 1
O X
P
1.图形如左图所示
交点坐标是：O（0，0），P（1，-1）
O X
( ,0)
2．曲线名称是：圆
图形如右所示
三．（本题满分12分）
1．已知，求微分
2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法
解：1.
2．
或：
四．（本题满分12分）
计算行列式（要求结果最简）：
解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以
加到第2列上，得
五．（本题满分15分）
1．证明：对于任意实数t，复数的模
适合
2．当实数t取什么值时，复数的幅角主值
适合
？
1．证：复数（其中t 是实数）的模
为
要证对任意实数t，有，只要证对任意实数t，
成立
对任意实数t，因为，所以可令
且
，于是
2．因为复数的实部与虚部都是非负数，所以z的幅角主值
一定适合
从而
显然因为
由于
这就是所求的实数t的取值范围
六．（本题满分15分）
如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等
S
M
P C
A N
D
B
于∠NSC，求证SC垂直于截面MAB
证：因为SN是底面的垂线，NC是斜线SC在底面上的射影，
AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂线定理）
连结DM因为AB⊥DC，AB⊥SC，
所以AB垂直于DC和SC所决定的平面又因DM在这个平面内，所以AB⊥DM
∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC
在△MDC和△NSC中，因为∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，
所以∠DMC=∠SNC=900从而DM⊥SC
从AB⊥SC，DM⊥SC，
可知SC⊥截面MAB
七．（本题满分16分）
如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N
设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？
Y
M
α
A1 F1 O F2 A X
N
解一：以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=，短半轴b=1，离心率e=
，中心到准线距离=
,
焦点到准线距离p=.椭圆的极坐标方程为
解得
以上解方程过程中的每一步都是可逆的，
所以当或
时，|MN|等于短轴的长
解二：以椭圆的中心为原点，F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为
MN所在直线方程为
解方程组
消去y得.
下同解法一
解三：建立坐标系得椭圆如解二，
MN所在直线的参数方程为
代入椭圆方程得
设t1,t2是方程两根，则由韦达定理，
下同解一
解四：设|F1M|=x ,则|F2M|=6-x|F1F2|=
，∠F2F1M=α
在△MF1F2中由余弦定理得
同理，设|F1N|=y，则|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得
下同解一
八．（本题满分16分）
已知数列{an}的首项a1=b(b≠0），它的前n项的和Sn=a1+a2+…+an
(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1）
1．证明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}从第二项起）是一个等比数列
2．设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）
1．证：由已知条件得S1=a1=b.
Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）
因为当n≥2时，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an ,所以
an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)从而
因此a2,a3,a3,…an,…是一个公比为p的等比数列
2．解：当n≥2时，
且由已知条件可知p2<1，因此数列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比为p2<1的无穷等比数列于是
从而
九．（本题满分12分）
1．已知a,b为实数，并且e
2.如果正实数a,b满足ab=ba.且a<1，证明a=b
1．证：当e
即只要证
考虑函数因为但
时，
所以函数
内是减函数
因为e，即得ab>ba
2．证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而
考虑函数，它的导数是
因为在（0，1）内
，所以f(x)在（0，1）内是增函数
由于0
可推出b<1.
由0，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得
，即
，从而
这与ab=ba矛盾
所以a=b
证二：因为0即
假如a，但因a<1，根据对数函数的性质，得
矛盾
所以a不能小于b
假如a>b，则，而
，这也与
矛盾
所以a不能大于b因此a=b
证三：假如a，其中ε>0
由于0
根据幂函数或指数函数的性质，得和
，
所以
即ab所以a不能小于b
假如b
这于ab=ba矛盾所以a不能大于b
因此a=b
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