2015-2016学年广东省深圳市XX学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1.下列计算结果正确的是（ ）
A．2a3+a3=3a6 B．（﹣a）2•a3=﹣a6 C．（﹣）﹣2=4 D．（﹣2）0=﹣1
2．已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣2x﹣y）（2x﹣y） B．（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）
C．（2x+y）（﹣2x+y） D．（2x﹣y）（﹣2x+y）
4．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
5．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3
6．如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE
7．如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
8．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
10．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
11．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），则这个容器的形状为（ ）
A． B．
C．
D．
12．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（ ）
A． B．
C．
D．
二、填空题
13．若a2﹣b2=，a﹣b=
，则a+b的值为 ．
14．已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是 ．
15．如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1= 度．
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16．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．
其中正确的结论是 ．
（把你认为正确结论的序号都填上）
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三．解答题（共6大题，共52分）
17．计算：
（1）（﹣x2y5）•（xy）3；
（2）4a（a﹣b+1）；
（3）3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）．
18．先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2，其中ab=﹣word/media/image24.gif．
19．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．
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20．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
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21．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到学校的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
22．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
2015-2016学年广东省深圳市XX学校七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1.下列计算结果正确的是（ ）
A．2a3+a3=3a6 B．（﹣a）2•a3=﹣a6 C．（﹣word/media/image31.gif）﹣2=4 D．（﹣2）0=﹣1
【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】根据同底数幂的乘法的性质，负整数指数幂，零指数幂，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、2a3+a3=3a3，故错误；
B、（﹣a）2•a3=a5，故错误；
C、正确；
D、（﹣2）0=1，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，负整数指数幂，零指数幂，理清指数的变化是解题的关键．
2．已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．
【解答】解：∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2
=（a+b）2﹣2ab
=32﹣2×2
=5，
故选C
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：a2+b2=（a+b）2﹣2ab．
3．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣2x﹣y）（2x﹣y） B．（﹣2x+y）（﹣2x﹣y） C．（2x+y）（﹣2x+y） D．（2x﹣y）（﹣2x+y）
【考点】平方差公式．
【分析】根据公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的左边的形式，判断能否使用．
【解答】解：A、由于两个括号中含x项的符号相反，故能使用平方差公式，A错误；
B、两个括号中，含y项的符号相反，x项的符号相同，故能使用平方差公式，B错误；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；
D、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，D正确；
故选：D
【点评】本题考查了平方差公式．注意两个括号中一项符号相同，一项符号相反才能使用平方差公式．
4．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
word/media/image32.gif
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
【解答】解：（2a）2﹣（a+2）2
=4a2﹣a2﹣4a﹣4
=3a2﹣4a﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
5．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3
【考点】完全平方式．
【专题】计算题．
【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍．
【解答】解：∵x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，
∴﹣（m+1）x=±2×1•x，
解得：m=1或m=﹣3．
故选D．
【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
6．如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
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A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定定理即可直接判断．
【解答】解：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【点评】本题考查了判定两直线平行的方法，正确理解同位角、内错角和同旁内角的定义是关键．
7．如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
word/media/image35.gif
A．70° B．100° C．110° D．120°
【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．
【专题】计算题．
【分析】先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．
【解答】解：如图，∵∠1=70°，
∴∠2=∠1=70°，
∵CD∥BE，
∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．
故选：C．
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【点评】本题利用对顶角相等和平行线的性质，需要熟练掌握．
8．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
word/media/image38.gif
A．15° B．20° C．25° D．30°
【考点】平行线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°﹣20°=25°．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的大小为（ ）
word/media/image41.gif
A．60° B．50° C．40° D．30°
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据直角三角形的性质得出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵FE⊥DB，
∵∠DEF=90°．
∵∠1=50°，
∴∠D=90°﹣50°=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故选C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
10．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）
word/media/image43.gif
A．60° B．50° C．40° D．30°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据三角形外角性质可得∠3=30°+∠1，由于平行线的性质即可得到∠2=∠3=60°，即可解答．
【解答】解：如图，word/media/image45.gif
∵∠3=∠1+30°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=60°，
∴∠1=∠3﹣30°=60°﹣30°=30°．
故选D
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是根据：两直线平行，内错角相等．也利用了三角形外角性质．
11．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），则这个容器的形状为（ ）
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A．word/media/image49.gif B．
word/media/image51.gif C．
word/media/image49.gif D．
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【考点】函数的图象．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B．
故选B．
【点评】此题考查了函数的图象；用到的知识点是函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
12．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（ ）
A．word/media/image56.gif B．
word/media/image56.gif C．
word/media/image56.gif D．
word/media/image56.gif
【考点】函数的图象．
【分析】由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S变化也加快变小，由此即可作出选择．
【解答】解：因为开始以正常速度匀速行驶﹣﹣﹣停下修车﹣﹣﹣加快速度匀驶，可得S先缓慢减小，再不变，在加速减小．
故选：D．
【点评】此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
二、填空题
13．若a2﹣b2=word/media/image24.gif，a﹣b=
word/media/image24.gif，则a+b的值为
word/media/image24.gif ．
【考点】平方差公式．
【专题】计算题．
【分析】已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．
【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=word/media/image24.gif，a﹣b=
word/media/image24.gif，
∴a+b=word/media/image24.gif．
故答案为：word/media/image60.gif．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14．已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是 平行 ．
【考点】平行线的判定；垂线．
【分析】根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得答案．
【解答】解：∵a⊥b，c⊥b，
∴a∥c，
故答案为：平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
15．如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1= 45 度．
word/media/image20.gif
【考点】平行线的性质；等腰直角三角形．
【分析】先根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC，根据平行线的性质得出∠1=∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵直线m∥n，
∴∠1=∠ABC=45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠1=∠ABC和求出∠ABC的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
16．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．
其中正确的结论是 ②③ ．
（把你认为正确结论的序号都填上）
word/media/image22.gif
【考点】函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．
【解答】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；
火车的长度是150米，故①错误；
整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5=25秒，故③正确；
隧道长是：35×30﹣150=1050﹣150=900米，故④错误．
故正确的是：②③．
故答案是：②③．
word/media/image22.gif
【点评】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
三．解答题（共6大题，共52分）
17．计算：
（1）（﹣x2y5）•（xy）3；
（2）4a（a﹣b+1）；
（3）3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）．
【考点】整式的混合运算．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；
（2）根据单项式与多项式的乘法计算即可；
（3）根据整式的乘法计算即可．
【解答】解：（1）原式=﹣x2y5•x3y3
=﹣x5y8．
（2）原式=4a2﹣4ab+4a．
（3）原式=9xy﹣3x2﹣（4x2+12xy﹣3xy﹣9y2）
=9xy﹣3x2﹣（4x2+9xy﹣9y2）
=﹣7x2+9y2．
【点评】此题考查整式的混合计算，关键是根据法则进行计算．
18．先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2，其中ab=﹣word/media/image24.gif．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项先计算乘方运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，把ab的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=4﹣a2+a2﹣5ab+3ab=4﹣2ab，
当ab=﹣word/media/image24.gif时，原式=4+1=5．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．
【考点】平行线的性质．
【分析】由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130°，
∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°，
∴∠2=∠BDC=50°．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠ABD的度数，题目较好，难度不大．
20．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 a﹣b ，长是 a+b ，面积是 （a+b）（a﹣b） ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
word/media/image26.gif
【考点】平方差公式的几何背景．
【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．
【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
（4）①解：原式=（10+0.3）×（10﹣0.3）
=102﹣0.32
=100﹣0.09
=99.91；
②解：原式=[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]
=（2m）2﹣（n﹣p）2
=4m2﹣n2+2np﹣p2．
【点评】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观．
21．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到学校的路程是 1500 米，小红在商店停留了 4 分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
word/media/image67.gif
【考点】函数的图象．
【分析】（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；
（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度；
（3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程；读图即可求得本次去舅舅家的行程中，小红一共用的时间．
【解答】解：（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
（2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡，
故小红在12﹣14分钟最快，速度为word/media/image69.gif=450米/分．
（3）读图可得：小红共行驶了1200+600+900=2700米，共用了14分钟．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
22．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
【考点】平行线的性质．
【专题】阅读型；分类讨论．
【分析】（1）①根据图形猜想得出所求角度数即可；
②根据图形猜想得出所求角度数即可；
③猜想得到三角关系，理由为：延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；
（2）分四个区域分别找出三个角关系即可．
【解答】解：（1）①∠AED=70°；
②∠AED=80°；
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，
证明：延长AE交DC于点F，
∵AB∥DC，
∴∠EAB=∠EFD，
∵∠AED为△EDF的外角，
∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；
（2）根据题意得：
点P在区域①时，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；
点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；
点P在区域③时，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；
点P在区域④时，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
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