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发布时间：2023-11-22 11:53:27 来源：文档文库
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维普资讯http://www.cqvip.com２００８年第７期 中学教研（数学） ・４３・ 用因式分解法解不定方程的整数问题时，等式的一边 求 ＋ ；＋ ；＋…＋ 的最小值和最大值． 应化为２个整系数因式的积，另一边为整数，然后将整数分 （２００６年浙江省初中数学竞赛复赛试题） 解质因数，将原不定方程化为一个或几个一次方程组来求 分析此题表面上比较复杂，若按其条件进行分类，可 解．在求解的过程中要注意分类，不遗漏也不重复． 化为不定方程组，再利用未知量的取值范围，从而求出 ＋ ４有取值范围的不定方程组问题 ；＋ ；＋…＋ 的最大值和最小值． 在近２年的数学竞赛试题中，不但出现了以上方程的 解设 １， ， ，…，Ｘ２００６中有ｒ个一１、Ｓ个１、ｔ个２，则 整数解问题，还出现了利用未知数的取值范围来确定取值 范围的问题． ｛ ２ ｔ＝２眠００； 例６某商店出售Ａ，Ｂ，Ｃ三种生日贺卡，已知Ａ种贺 两式相加，得 卡每张０．５元，Ｂ种贺卡每张１元，Ｃ种贺卡每张２．５元，营 Ｓ＋３ｔ＝１１０３． 业员统计３月份的经营情况如下：３种贺卡共售出１５０张， 因为ＳＩ＞０，ｔＩ＞０，所以０≤ｔ４３６７，因此 营业收入合计１８０元，则该商店３月份售出的Ｃ种贺卡至 ＋ ｉ＋ ；＋…＋ ０６＝一ｒ＋ｓ＋８ｔ＝６ｔ＋２００， 少有——张． 丑 ２００≤ ＋ ；＋ ；… ；００６≤６×３６７＋２００＝２４０２． （２００６年浙江省初中数学竞赛复赛试题） 当ｔ＝０时，Ｓ＝１１０３，ｒ＝９０３，此时 ｊ＋ ＋ ；＋…＋ 解设Ａ，Ｂ，Ｃ三种贺卡售出的张数分别为 ，ｙ， ，则 取最小值２００； ｒ ＋Ｙ＋ｚ＝１５０； 【０．５ｘ＋Ｙ＋２．５ｚ＝１８０． 当ｔ＝３６７时，ｓ＝２，ｒ＝５３６，此时 ＋ ；＋ ；＋…＋ 消去Ｙ，得 取最大值２４０２． ０．５ｘ＝１．５ｚ一３０． 不定方程问题的解决方法甚多，应用也相当广泛．从上 又由 Ｉ＞０，且１．５ｚ一３０Ｉ＞０，可得ｚＩ＞２０． 面几例可以看出，可直接应用于方程问题，也可应用于函数 例７设 ， ， ，…，Ｘ２００６是整数，且满足下列条件： 以及实际问题中；可以直接求值，也可求范围等其他问题． ①一１≤ ≤２，ｎ＝１，２，３，…，２００６； 在解决这类问题时，要灵活运用常用的几种方法；在解决实 ｘ１＋ ２＋ ３＋…＋Ｘ２００６＝２００； 际问题或者应用性问题时，要善于将此转化为不定方程，利 ｘ ＋ ＋ ；＋…＋ ＝２００６． 用不定方程解决问题． 由一个整除的证明探索能被特殊数整除的数的规律 ●李 馨 （青春中学浙江杭州３１０００３） 题目 求证：若ｃｌｅｆ—ａｂｃ能被１００１整除，则６位数 一组划分．从右边数起，奇数组数字之和减去偶数组数字之 ａｂｃｄｅｆ能被１００１整除． 和，所得的结果若能被１０１整除，则原数能被１０１整除． 证明ａｂｃｄｅｆ＝１０００ ａｂｃ＋ｄｅｆ＝－一ａｂｃ＋ｄｅｆ（ｍｏｄｌ００１）． 利用上面的方法，不难得出这个命题是成立的． 若幽 一ａｂｃ能被１００１整除，则６位数ａｂｃｄｅｆ能被１００１整除． 因此，可以把结论推广到寻找能被１ ＱＱ．二０１整除的数 事实上， ｎ个０ Ｉｆ￣３ｎ—ｆ一１（ｍｏｄｌ００１），当ｎ为奇数时； 的规律：从末位数起，每ｎ＋１个数一组划分．从右边数起， 【１（ｍｏｄｌ００１）， 当ｎ为偶数时． 奇数组数字之和减去偶数组数字之和，所得的结果若能被 这个证明过程给我们提供了能被７，１１，１３整除的数的 １ １整除，则原数能被１ ｏｏ＝ｏ １整除． 规律：即从末位数起，每３个数一组划分．从右边数起，奇数 ｎ个０ ｎ个０ 组数字之和减去偶数组数字之和，所得的结果若能被７或 至此，能够找到能被１０＋１，１０ ＋１，１０。＋１，…，１０ ＋１ １１或１３整除，则原数能被７或１１或１３整除． 整除的数以及能被它们的约数整除的数的规律，那么同样 这个规律在有关整除的竞赛辅导中，常常被当作基本 可以考虑能被１０—１，１０ 一１，１０。一１，…，１０ 一１整除的数 规律告知学生．而能被１１整除的数的规律有：从末位数起， 以及能被它们的约数整除的数的规律． 奇数位的数字之和减去偶数位的数字之和，所得的结果若 用同样的分组方法，可以知道能被１０—１，就是９整除 能被１１整除，则原数能被１１整除． 的数的规律是：各位数字之和若能被９整除，则原数能被９ 比较这２个规律，可以发现两者极其相似．由此，可大 整除．那么能被９９整除的数的规律是：从末位数起，每２个 胆猜想：能被１０１整除的数的规律：从末位数起，每２个数 数一组划分，每组数字之和若能被９９整除，则原数能被９９
维普资讯http://www.cqvip.com・４４－ 中学教研（数学） ２００８年第７期 整除． （２）因为９９＝１１×９，所以要判断一个数能否被１１整 除，除了上面的２种方法之外，还可以从末位数起，每２个 同样的，可以推广到：从末位数起，每Ｆ／．个数一组划分， 每组数字之和若能被塑二夕整除，则原数能被２ 整除． ｎ个９ ｎ个９ 数一组划分，每组数字之和若能被１１整除，则原数能被１１ 整除． 其中，我们能够找到一些比较有趣的规律： （１）因为９９９＝３。×３７，所以要判断一个数能否被２７或 ３７整除，可以从末位数起，每３个数一组划分，每组数字之 和若能被２７或３７整除，则原数能被２７或３７整除； 事实上，利用同余的知识，还可以知道一个数除以上述 特殊数字的余数．例如：求１２３４５６７８９０除以３７的余数． 按照上面的方法进行划分，可得 １ ｌ２３４Ｉ５６７ｌ８９０ １＋２３４＋５６７＋８９０＝１６９２－－－２７（ｒｏｏｄ３７）． 一道竞赛题●夏 平 的推广及应用 （平昌县中小学教研室四川平昌６３６４００） 将正方彤推厂到矩形，也有同样的结论： 题目在平面直角坐标系中，正方形ＯＡＢＣ的顶点坐 标分别为０（０，０），Ａ（１００，０），Ｂ（１００，１００），Ｃ（０，１００）．若正 方形ＯＡＢＣ内部（边界及顶点除外）一格点Ｐ满足：Ｓ Ｐ０ ・ 定理２连接矩形内一点与各顶点所组成的４个三角 形中，２组对边所在的２个三角形面积之积相等的充要条 件是：该点在矩形的对角线上． 简证为：ｙ： ０ ｓ 。＝Ｓ ｅ・ｓ 肋。，就称格点Ｐ为“好点”，则正方形 ＯＡＢＣ内部“好点”的个数为——（注：所谓“格点”是在直 如图２，矩形ＯＡＢＣ的对角线所在的直线方程 或ｙ：一＿ｂ ０ 角坐标系中横、纵坐标均为整数的点）． （２００６年全国初中数学联赛决赛试题） 解一６，在其上任取一点Ｐ（ ，ｙ），则 １．— 如图１，正方形ＯＡＢＣ内任意 ｓ△呦．Ｓ△船ｃ：下１ 。（６一ｙ） 点Ｐ（ｘ，Ｙ），满足 ｓ＆ｐ。＾‘ｓ＆ＰＢｃ Ｓ＆Ｐ勰－ｓ Ｐｏｃ， ＝÷。・ 。・ ÷。。（ｌ Ｊ） ・ 即 １・ｌＯＯｙ・÷・１ １００’ｙ） １＝ －： （…） ｌｏｏ（１ｏｏ— ）・ １・１ ， ＝Ｓ＆Ｐｃｏ・Ｓ＆ＰＡＢ 化简得 图１ 或ｓ 删．ｓ 胱：÷。ｙ．÷。（６一ｙ） ＝（ —Ｙ）（ ＋ｙ一１００）＝０， 即 １９７个． ＝Ｙ或 ＋ｙ＝１００， ÷。（一 ＋ ）・÷。（¨ 一 ） （…）・ Ｓ，，ｐＡ８‘Ｓ￣ｖｃｏ． 因此“好点”是正方形ＯＡＳＣ两对角线上的整数点，共有 ＝ 反之，若正方形ＯＡＢＣ两对角线 ＝Ｙ或 ＋Ｙ＝１００上 任意一点Ｐ（ ，Ｙ），满足 反之 即 １＝Ｓ△Ｐ叫・Ｓ△ＰＢｃ＝Ｓ△Ｐ∞・Ｓ△ Ｂ， ・ １（６一 ÷．１ＯＯｙ． １．１ｏｏ（１ｏｏ—ｙ） ＝ ・１ｏ ・ １・）＝ｌｂｘ・－－￣－ｂ（。一 ） 