动点问题

动点问题 姓名：

例1.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a-b|，线段AB的中点表示的数为．

【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． 

设运动时间为t秒（t＞0）．

【综合运用】

（1）填空：①A、B两点间的距离AB=______，线段AB的中点表示的数为______；

②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______；点Q表示的数为______．

（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=AB；

（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．

例2.如图,三点A、B、O在数轴上,点A、B在数轴上表示的数分别是,两点间的距离用AB表示

(1)C在AB之间且AC=BC，C对应的数为______．

(2)C在数轴上,且AC+BC=20，求C对应的数．

(3)P从A点出发以1个单位秒的速度在数轴向右运动,Q从B点同时出发,以2个单位秒在数轴上向左运动．

求①P、Q相遇时求P对应的数．

②P、Q运动的同时M以3个单位长度秒的速度从O点向左运动当遇到P时,点M立即以同样的速度3个单位秒向右运动,并不停地往返于点P与点Q之间,求当点P与点Q相遇时,点M所经过的总路程是多少？

课后练习

1. 点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足：|a+6|+（b-4）2=0

（1）求线段AB的长；

（2）如图1，点C在数轴上对应的数为x，且是方程x+1=x-5的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；

（3）如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM-BN的值不变；②PM+BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并求出其值．

2.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）数轴上点B表示的数_______；点P表示的数_______（用含t的代数式表示）

（2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是_______．

（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？

（4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？

3.已知数轴上有A，B，C三点，分别代表-30，-10，10，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．

（1）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？

（2）多少秒后，甲到A，B，C的距离和为48个单位？

（3）在甲到A、B、C的距离和为48个单位时，若甲调头并保持速度不变，则甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．

4.已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）解决问题：①当t=1秒时，写出数轴上点B，P所表示的数；

②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？

（2）探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在P、Q上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．

5.“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”

（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是___；

（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是___（填一个即可）；

（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心

1.【答案】(1)①10   3  ;

② -2+3t   8-2t  

(2)t=2时，P、Q相遇，相遇点表示的数为4；

(3)t=1或3时，PQ=AB；

(4)点P在运动过程中，线段MN的长度不发生变化，且MN=5．

【解析】解：（1）①10，3；

②-2+3t，8-2t；

（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等

∴-2+3t=8-2t，

解得：t=2，

∴当t=2时，P、Q相遇，

此时，-2+3t=-2+3×2=4，

∴相遇点表示的数为4；

（3）∵t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，

∴PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，

又PQ=AB=×10=5，

∴|5t-10|=5，

解得：t=1或3，

∴当：t=1或3时，PQ=AB；

（4）∵点M表示的数为 =-2，

点N表示的数为 =+3，

∴MN=|（-2）-（+3）|=|-2--3|=5．

（1）根据题意即可得到结论；

（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t=2，于是得到当t=2时，P、Q相遇，即可得到结论；

（3）由t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，于是得到PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到结论；

（4）由点M表示的数为 =-2，点N表示的数为 =+3，即可得到结论．

本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

2.【答案】解：（1）4.

（2）设点C表示的数为x，

当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12-x）=20，即16=20，不合题意，舍去；

当点C在点A左侧时，由题意知（-4-x）+（12-x）=20，解得：x=-6，

当点C在点B右侧时，由题意知x-12+x-（-4）=20，解得：x=14，

即点C表示的数为-6或14；

（3）①设t秒后，点P表示的数为-4+t，点Q表示的数为12-2t，

由题意知-4+t=12-2t，

解得：t=，

则相遇时点P对应的数为-4+=；

②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，

∴点M的运动时间为秒，

则点M所经过的总路程是3×=16．

【解析】【分析】

本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键．

（1）根据中点的定义可得；

（2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得；

（3）①设t秒后，点P表示的数为-4+t，点Q表示的数为12-2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，据此知点M的运动时间为秒，再根据路程=速度×时间可得答案．

【解答】

解：（1）根据题意知点C表示的数为=4，

故答案为：4；

（2）见答案.

（3）见答案.

3.【答案】解：（1）∵|a+6|+（b-4）2=0，

∴a+6=0，b-4=0，

∴a=-6，b=4，

∴AB=|-6-4|=10．

答：AB的长为10；

（2）存在，

∵2x+1=x-5，

∴x=-8，

∴BC=12．

设点P在数轴上对应的数是m，

∵PA+PB=BC+AB，

∴|m+6|+|m-4|=×12+3，

令m+6=0，m-4=0，

∴m=-6或m=4．

①当m≤-6时，

-m-6+4-m=13，

m=-7.5；

②当-6＜m≤4时，

m+6+4-m=13，（舍去）；

③当m＞4时，

m+6+m-4=13，

m=5.5．

∴当点P表示的数为-7.5或5.5时，PA+PB=BC+AB；



（3）设P点所表示的数为n，

∴PA=n+6，PB=n-4．

∵PA的中点为M，

∴PM=PA=．

N为PB的三等分点且靠近于P点，

∴BN=PB=×（n-4），

∴①PM-BN=×-×=（不变），

②PM+BN=+×=n+1（随点P的变化而变化），

即正确的结论为①PM-BN的值不变，其值为．

【解析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；

（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由PA+PB=BC+AB确定出P位置，即可做出判断；

（3）设P点所表示的数为n，就有PA=n+6，PB=n-4，根据条件就可以表示出PM=，BN=×（n-4），再分别代入①PM-BN和②PM+BN求出其值即可．

本题考查了一元一次方程的运用，分段函数的运用，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．

4.【答案】（1）-14；8-5t；

（2）11；

（3）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2.

分两种情况：

①点P、Q相遇之前，由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5；

②点P、Q相遇之后，由题意得3t-2+5t=22，解得t=3.

答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；

（4）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，



则AC=5x，BC=3x，

∵AC-BC=AB，

∴5x-3x=22，

解得：x=11，

​∴点P运动11秒时追上点Q.

【解析】【分析】

本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分情况进行讨论.

（1）根据已知可得B点表示的数为8-22；点P表示的数为8-5t；

（2）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可；

（3）分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可；

（4）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC-BC=AB，列出方程求解即可.

【解答】

解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22，

∴点B表示的数是8-22=-14，

∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，

∴点P表示的数是8-5t．

故答案为-14，8-5t；

（2）①当点P在点A、B两点之间运动时：



MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=×22=11，

②当点P运动到点B的左侧时：



MN=MP-NP=AP-BP=（AP-BP）=AB=11，

∴线段MN的长度不发生变化，其值为11.

故答案为11；

（3）见答案；

（4）见答案.

5.【答案】解：（1）设x秒后，甲、乙在数轴上相遇．

则4x+6x=40，解得x=4，

-30+4×4=-14

答：甲，乙在数轴上表示-14的点相遇．

（2）能．显然，当甲在点C右侧时，甲到A，B，C的距离和大于40+20=60，

故甲应运动到AB或BC之间．

设y秒后，甲到A，B，C的距离和为48个单位．

当甲在AB之间时：4y+（20-4y）+（40-4y）=48，

解得y=3；

当甲在BC之间时：4y+（4y-20）+（40-4y）=48，

解得x=7； 

答：3或7秒后，甲到A，B，C的距离和为48个单位．

（3）设甲调头z秒后与乙相遇．

若甲从A向右运动3秒时返回，

甲表示的数为：-30+4×3-4z；乙表示的数为：10-6×3-6z，

由题意得：-30+4×3-4z=10-6×3-6z，

解得z=5．

相遇点表示的数为：-30+4×3-4×5=-38．

若甲从A向右运动7秒时返回，

甲表示的数为：-30+4×7-4z；乙表示的数为：10-6×7-6z，

依据题意得：-30+4×7-4z=10-6×7-6z，

解得z=-15（舍去）．

（注：此时甲在表示-2的点上，乙在表示-32的点上，乙在甲的左侧，甲追及不上乙，因而不可能相遇．）

答：甲从A向右运动3秒时返回，甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数为-38．

【解析】（1）设x秒后甲与乙相遇，根据甲与乙的路程和为40，可列出方程求解即可；

（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为48个单位，分甲应为于AB或BC之间两种情况讨论即可求解：

（3）设z秒后甲与乙在数轴上相遇，需要分类讨论：①若甲从A向右运动3秒时返回；②若甲从A向右运动7秒时返回，分别表示出甲、乙表示的数，结合线段间的和差关系列出方程并解答．

此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题在解答第（2）、（3）问注意分类思想的运用．

6.【答案】解：（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，

∴点B表示的数是8-12=-4，

∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，

∴点P表示的数是8-3×1=5．

②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，



则AP=3x，BQ=2x，

∵AP+BQ=AB-3，

∴3x+2x=9，

解得：x=1.8，



∵AP+BQ=AB+3，

∴3x+2x=15

解得：x=3．

∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．

（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：



P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），

即2MN+PQ=12．

同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．

【解析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t；

②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；

（2）根据点P在点A、B两点之间运动，分情况讨论，可得MN=MQ+NP-PQ或MN=MQ+NP+PQ，由此可得出结论．

本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．

7.【答案】解：（1）-4或2 ；

（2）-2 （答案不唯一）；

（3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，依题意有

①当电子蚂蚁在A,B右侧时，

8-2x-4+（8-2x+1）=6，

解得x=1.75；

②当电子蚂蚁在A,B的左边时

4-（8-2x）+[-1-（8-2x）]=6，

解得x=4.75;

当电子蚂蚁在A,B中间时，因为AB间距离为5，所以电子蚂蚁不可能为是A和B的幸福中心.

故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．

【解析】【分析】

本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义．

（1）根据幸福点的定义即可求解；

（2）根据幸福中心的定义即可求解；

（3）分两种情况列式：①P在B的右边；②P在A的左边讨论；可以得出结论．

注意点P在AB之间不满足.

【解答】

解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2，

故答案为：-4或2 ；

（2）4-（-2）=6，所以M、N两点间的距离为6，点C只要在A,B两点之间即可满足条件，

故C所表示的数可以是-2（答案不唯一），

​故答案为：-2（答案不唯一）；

（3）见答案．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/db1257c2f56527d3240c844769eae009591ba2e7.html