第1节　导数的概念及运算

考试要求　1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c,y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝,y＝的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数；6.会使用导数公式表.

知 识 梳 理

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义:称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x＝x0,即f′(x0)＝＝.

(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

2.函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,函数f′(x)＝lim称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.

3.导数公式表

4.导数的运算法则

若f′(x),g′(x)存在,则有:

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝(g(x)≠0).

5.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u),u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.

[微点提醒]

1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,且(f(x0))′＝0.

2.′＝－.

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)

(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.(　　)

(3)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).(　　)

(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.(　　)

解析　(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率,(1)错.

(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x,则f′(x)＝－cos x,(2)错.

(3)求f′(x0)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错.

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)

A.－9 B.－3 C.9 D.15

解析　因为y＝x3＋11,所以y′＝3x2,所以y′|x＝1＝3,所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1).令x＝0,得y＝9.

答案　C

3.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10,则运动员的速度v＝________ m/s,加速度a＝______ m/s2.

解析　v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5,a＝v′(t)＝－9.8.

答案　－9.8t＋6.5　－9.8

4.(2019·青岛质检)已知函数f(x)＝x(2 018＋ln x),若f′(x0)＝2 019,则x0等于(　　)

A.e2 B.1 C.ln 2 D.e

解析　f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x.

由f′(x0)＝2 019,得2 019＋ln x0＝2 019,则ln x0＝0,解得x0＝1.

答案　B

5.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为________.

解析　由题意得f′(x)＝exln x＋ex·,则f′(1)＝e.

答案　e

6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________.

解析　设y＝f(x),则f′(x)＝2x－,

所以f′(1)＝2－1＝1,

所以在(1,2)处的切线方程为y－2＝1×(x－1),

即y＝x＋1.

答案　y＝x＋1

考点一　导数的运算　多维探究

角度1　根据求导法则求函数的导数

【例1－1】 分别求下列函数的导数:

(1)y＝exln x；

(2)y＝x；

(3)f(x)＝ln.

解　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋＝ex.

(2)因为y＝x3＋1＋,所以y′＝3x2－.

(3)因为y＝ln＝ln,

所以y′＝··(1＋2x)′＝.

角度2　抽象函数的导数计算

【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f′(x),且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln,则f(1)＝(　　)

A.－e B.2 C.－2 D.e

解析　由已知得f′(x)＝2f′(1)－,令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1,解得f′(1)＝1,则f(1)＝2f′(1)＝2.

答案　B

规律方法　1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.

2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.

3.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.

【训练1】 (1)若y＝x－cos sin,则y′＝________.

(2)已知f(x)＝x2＋2xf′(1),则f′(0)＝________.

解析　(1)因为y＝x－sin x,

所以y′＝′＝x′－′＝1－cos x.

(2)∵f′(x)＝2x＋2f′(1),

∴f′(1)＝2＋2f′(1),即f′(1)＝－2.

∴f′(x)＝2x－4,∴f′(0)＝－4.

答案　(1)1－cos x　(2)－4

考点二　导数的几何意义　多维探究

角度1　求切线方程

【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数,则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

A.y＝－2x B.y＝－x

C.y＝2x D.y＝x

解析　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数,所以a－1＝0,则a＝1,所以f(x)＝x3＋x,所以f′(x)＝3x2＋1,所以f′(0)＝1,所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.

答案　D

角度2　求切点坐标

【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(　　)

A.3 B.2 C.1 D.

(2)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.

解析　(1)设切点的横坐标为x0(x0>0),

∵曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为,

∴y′＝－,即－＝,

解得x0＝3或x0＝－2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3.

(2)∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex,

∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.

设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y＝的导函数为y′＝－,∴曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k2＝－,

由题意知k1k2＝－1,即1·＝－1,解得x＝1,又x0>0,∴x0＝1.

又∵点P在曲线y＝(x>0)上,∴y0＝1,故点P的坐标为(1,1).

答案　(1)A　(2)(1,1)

角度3　求参数的值或取值范围

【例2－3】 (1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞,2] B.(－∞,2)

C.(2,＋∞) D.(0,＋∞)

(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f(x)＝x＋＋b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y＝2x＋5,则a－b＝________.

解析　(1)由题意知f′(x)＝2在(0,＋∞)上有解.

∴f′(x)＝＋a＝2在(0,＋∞)上有解,则a＝2－.

因为x＞0,所以2－＜2,所以a的取值范围是(－∞,2).

(2)f′(x)＝1－,∴f′(1)＝1－a,

又f(1)＝1＋a＋b,∴曲线在(1,f(1))处的切线方程为y－(1＋a＋b)＝(1－a)(x－1),即y＝(1－a)x＋2a＋b,

根据题意有解得

∴a－b＝－1－7＝－8.

答案　(1)B　(2)－8

规律方法　1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.

2.处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f(x)＝x3＋ax2,若曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x＋y＝0,则点P的坐标为(　　)

A.(0,0) B.(1,－1)

C.(－1,1) D.(1,－1)或(－1,1)

(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________________.

解析　(1)由f(x)＝x3＋ax2,得f′(x)＝3x2＋2ax.

根据题意可得f′(x0)＝－1,f(x0)＝－x0,

可列方程组

解得或

当x0＝1时,f(x0)＝－1,

当x0＝－1时,f(x0)＝1.

∴点P的坐标为(1,－1)或(－1,1).

(2)由题意得y′＝.在点(0,0)处切线斜率k＝y′|x＝0＝2.∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝2(x－0),即y＝2x.

答案　(1)D　(2)y＝2x

[思维升华]

1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.

2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点,则可通过点斜式直接写方程,若已知点不是切点,则需设出切点.

3.处理与切线有关的参数问题时,一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.

[易错防范]

1.求导常见易错点:①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混,如出现如下错误:′＝,(cos x)′＝

sin x；③复合函数求导分不清内、外层函数.

2.求切线方程时,把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.

基础巩固题组

(建议用时:35分钟)

一、选择题

1.下列求导数的运算中错误的是(　　)

A.(3x)′＝3xln 3

B.(x2ln x)′＝2xln x＋x

C.′＝

D.(sin x·cos x)′＝cos 2x

解析　因为′＝,C项错误.

答案　C

2.(2019·日照质检)已知f(x)＝xln x,若f′(x0)＝2,则x0等于(　　)

A.e2 B.e C. D.ln 2

解析　f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝ln x＋1,由f′(x0)＝2,即ln x0＋1＝2,解得x0＝e.

答案　B

3.函数y＝x3的图象在原点处的切线方程为(　　)

A.y＝x B.x＝0

C.y＝0 D.不存在

解析　函数y＝x3的导数为y′＝3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y－0＝0(x－0),即y＝0.

答案　C

4.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t,那么速度为零的时刻是(　　)

A.1秒末 B.1秒末和2秒末

C.4秒末 D.2秒末和4秒末

解析　s′(t)＝t2－6t＋8,由导数的定义知v＝s′(t),

令s′(t)＝0,得t＝2或4,

即2秒末和4秒末的速度为零.

答案　D

5.(2019·南阳一模)函数f(x)＝x－g(x)的图象在点x＝2处的切线方程是y＝－x－1,则g(2)＋g′(2)＝(　　)

A.7 B.4 C.0 D.－4

解析　∵f(x)＝x－g(x),∴f′(x)＝1－g′(x),又由题意知f(2)＝－3,f′(2)＝－1,

∴g(2)＋g′(2)＝2－f(2)＋1－f′(2)＝7.

答案　A

6.已知e为自然对数的底数,曲线y＝aex＋x在点(1,ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行,则实数a＝(　　)

A. B. C. D.

解析　∵y′＝aex＋1,∴在点(1,ae＋1)处的切线的斜率为y′|x＝1＝ae＋1,又切线与直线2ex－y－1＝0平行,

∴ae＋1＝2e,解得a＝.

答案　B

7.如图所示为函数y＝f(x),y＝g(x)的导函数的图象,那么y＝f(x),y＝g(x)的图象可能是(　　)

解析　由y＝f′(x)的图象知,y＝f′(x)在(0,＋∞)上是单调递减的,说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0,＋∞)上也是单调递减的,故可排除A,C；

又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交,说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.

答案　D

8.(2019·广州调研)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xln x相切,则实数k的值为(　　)

A.ln 2 B.1

C.1－ln 2 D.1＋ln 2

解析　由y＝xln x得y′＝ln x＋1,设切点为(x0,y0),则k＝ln x0＋1,∵切点(x0,y0)(x0>0)既在曲线y＝xln x上又在直线y＝kx－2上,∴∴kx0－2＝x0ln x0,∴k＝ln x0＋,则ln x0＋＝ln x0＋1,∴x0＝2,∴k＝ln 2＋1.

答案　D

二、填空题

9.已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0,f(x0))处的瞬时变化率为－8,则点M的坐标为________.

解析　由题意得f′(x)＝4x,令4x0＝－8,则x0＝－2,

∴f(x0)＝9,∴点M的坐标是(－2,9).

答案　(－2,9)

10.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为________.

解析　f(1)＝a,切点为(1,a).f′(x)＝a－,则切线的斜率为f′(1)＝a－1,切线方程为:y－a＝(a－1)(x－1),令x＝0得出y＝1,故l在y轴上的截距为1.

答案　1

11.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x,则f′(2)＝________.

解析　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x,

所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋,

所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋,

所以f′(2)＝－.

答案　－

12.已知函数y＝f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y＝2x－1,则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为________________.

解析　由题意,知f(2)＝2×2－1＝3,∴g(2)＝4＋3＝7,

∵g′(x)＝2x＋f′(x),f′(2)＝2,∴g′(2)＝2×2＋2＝6,

∴曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2),即6x－y－5＝0.

答案　6x－y－5＝0

能力提升题组

(建议用时:15分钟)

13.(2019·深圳二模)设函数f(x)＝x＋＋b,若曲线y＝f(x)在点(a,f(a))处的切线经过坐标原点,则ab＝(　　)

A.1 B.0 C.－1 D.－2

解析　由题意可得,f(a)＝a＋＋b,f′(x)＝1－,所以f′(a)＝1－,故切线方程是y－a－－b＝(x－a),将(0,0)代入得－a－－b＝(－a),故b＝－,故ab＝－2.

答案　D

14.已知函数f(x)＝|x3＋ax＋b|(a,b∈R),若对任意的x1,x2∈[0,1],f(x1)－f(x2)≤2|x1－x2|恒成立,则实数a的取值范围是________.

解析　当x1＝x2时,f(x1)－f(x2)≤2|x1－x2|恒成立；当x1≠x2时,

由f(x1)－f(x2)≤2|x1－x2|得≤2,故函数f(x)在[0,1]上的导函数f′(x)满足|f′(x)|≤2,函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a,其中[0,1]上的值域为[a,a＋3],则有解得－2≤a≤－1.综上所述,实数a的取值范围为[－2,－1].

答案　[－2,－1]

15.函数g(x)＝ln x图象上一点P到直线y＝x的最短距离为________.

解析　设点(x0,ln x0)是曲线g(x)＝ln x的切线中与直线y＝x平行的直线的切点,因为g′(x)＝(ln x)′＝,则1＝,∴x0＝1,则切点坐标为(1,0),

∴最短距离为(1,0)到直线y＝x的距离,

即为＝.

答案　

16.若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.

解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x,定义域为(0,＋∞),

∴f′(x)＝x－a＋.

∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f′(x)存在零点,

即x＋－a＝0有解,

∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号).

答案　[2,＋∞)

新高考创新预测

17.(新定义题型)定义1:若函数f(x)在区间D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在区间D上也可导,则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数,记作f″(x)＝[f′(x)]′.

定义2:若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正,即f″(x)>0恒成立,则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)＝x3－x2＋1在区间D上为凹函数,则x的取值范围是________.

解析　因为f(x)＝x3－x2＋1,因为f′(x)＝3x2－3x,f″(x)＝6x－3,令f″(x)>0,解得x>,故x的取值范围是.

答案　

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d87f37d68f9951e79b89680203d8ce2f006665fd.html