高2020届主城六区联考2020届高三二诊文科数学试题及答案

高2020届高三学业质量调研抽测（第二次）

文科数学试题卷

文科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分.

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．作答时，务必将答案写在答题卡相应的位置上，写在本试卷及草稿纸上无效.

3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡相应的位置上.

1. 已知集合，则

A． B． C． D.

2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指

数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里

非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如下图，测试成绩的分组为

若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是

A．

B．

C．

D．

4．已知点在幂函数的图象上，设，，，

则，， 的大小关系为

A． B． C． D．

5. 已知点落在角的终边上，且，则的值为

A． B． C． D．

6. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

7. 某街道招募了志愿者5人，其中人来自社区A，2人来自社区B，2人来自社区C．现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这2人来自不同社区的概率为

A． B． C． D．

8. 已知函数, , ,且最

小值为,若将的图象沿轴向左平移个单位，所得图象关于原点对

称，则实数的最小值为

A. B. C. D.

9. 设实数、满足，则的最大值为

A． B． C． D．

10. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则

A． B． C． D．

11. 已知对任意，且，都有

，那么实数的取值范围是

A． B． C． D．

12. 两球和在棱长为的正方体的内部，且互相外切，若球与过点的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相切，则球和的表面积之和的最小值为

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．

13. 设非零向量满足，且，则向量与的夹角为________．

14. 在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度(单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系式，则该运动员在时的瞬时速度是 ．

15. 设的内角的对边分别为，若，

则外接圆的面积是 ．

16. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点,若,则双曲线的离心率为 ．

三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.（本小题满分为12分）

一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：

（Ⅰ）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；

（Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）

参考公式：线性回归方程中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：

，，参考数据：，．

18．（本小题满分为12分）

已知数列的前项和为，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．

19.（本小题满分为12分）

如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若三棱锥的体积为，

求点到面的距离．

（第19题图）

20.（本小题满分为12分）

已知函数，．(为自然对数的底数)

（Ⅰ）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；

（Ⅱ）当时，函数在上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知圆与定点，动圆过点且与圆相切，

记动圆圆心的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）斜率为的直线过点,且与曲线交于两点，为直线上的一点，若为等边三角形，求直线的方程.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线和曲线交于、两点，求的值．

23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）

已知.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围.

高2020届高三学业质量调研抽测（第二次）

文科数学参考答案及评分意见

一、选择题：．

二、填空题：13. 14． 15． 16．．

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）由表中数据，计算

，....2分

则，，

所以关于的线性相关方程为．......6分

（Ⅱ）设定价为元，则利润函数为，其中，.....8分

则，所以（元），..11分

为使得销售的利润最大，确定单价应该定为元．........12分

18．解：（Ⅰ）因为，所以，，....2分

两式相减化简得，......4分

又，所以，符合上式，

所以是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以．........6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，.....8分

所以.. .........10分

．....... ..............12分

19．解：（Ⅰ）证明：作于，

∵，，

∴，∴，...............2分

∵，∴，∴，

∴，即，................4分

∵面面，为两个面的交线，∴面．.......................6分

（Ⅱ）因为平面平面，，所以平面，，所以，又，. .....9分

∴，，设点到面的距离为, 则，．.....12分

20．解：（Ⅰ）∵对于任意实数，恒成立，

∴若，则为任意实数时，恒成立；........ .....1分

若，恒成立，即在上恒成立，.. ....2分

设，则，...... ...........3分

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

所以当时，取得最大值，，

所以的取值范围为，

综上，对于任意实数，恒成立的实数的取值范围为．................5分

（Ⅱ）依题意，，

所以，..... ............6分

设，则，....... ................8分

当，，故在上单调增函数，

因此在上的最小值为，即，..... ...10分

又，所以在上，，

所以在上是增函数，即在上不存在极值．.............12分

21．解：（Ⅰ）设圆的半径为，题意可知，点满足：

，，

所以，，

由椭圆定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，... ...3分

所以 ，

故轨迹方程为：． ........ ......5分

（Ⅱ）直线的方程为，

联立 消去得.

直线恒过定点，在椭圆内部，所以恒成立，设，，则有，

.. ...7分

设的中点为，则，，

直线的斜率为（由题意知），又为直线上的一点，所以 , .. ........9分

当为等边三角形时，,

即

解得，即直线的方程为或．... .......12分

22．解：（Ⅰ）将中参数消去得，.. ..2分

将代入，得，

∴直线和曲线的直角坐标方程分别为和．... ....5分

（ii）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，

设、两点对应的参数为、，则，，且，，

∴，.......... ........8分

∴．.... ....10分

23.解:（Ⅰ）当时，，

则得； .................................................2分

得； ..................................................3分

得， ....................................................4 分

所以的解集为....................................5分

（Ⅱ）对于任意实数，不等式成立，

即恒成立，

又因为，................................7分

要使原不等式恒成立，则只需，

由得

所以实数的取值范围是. ...................................................10分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c49e8ec8a9114431b90d6c85ec3a87c241288a34.html