2019年江苏省天一中学高三年级十二月份调研考试（解析版）

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试

高三数学（Ⅰ）试题 2019.12

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1. 设全集，集合，，，，则_____.

答案：，

分析：由全集，可得，2，3，，然后根据集合混合运算的法则即可求解．

解：，，，，

，3，，

，2，3，，

2. 已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为　　．

答案：

分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得值．

解：，

且的实部与虚部相等，

，即．

故答案为：．

3. 函数的定义域为_____.

答案：

分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解.

解：由题意得，解得

故函数的定义域为

4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为　　．

答案：

分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．

解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），

（乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙），

（乙丁），共4种，

故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为，

故答案为：

5. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间，内为一等品，在区间，和，内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为　 　．

答案：200

分析：结合频数分布直方图确定落在，15，、，、，的人数由容量组距求出．

解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．

根据标准，单件产品质量在区间，内为一等品，在区间，和，内为二等品，

其余为次品．其件数为：

故答案为：200

6. 如图是一个算法流程图，则输出的的值为　　．

答案：8

分析：根据程序框图进行模拟运算即可．

解：，，否，，，

否，，，

否，，，

否，，，

否，，，

否，，，

是，输出，

故答案为：8

7.若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则____．

分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得．

解：双曲线的右焦点是，，

抛物线的焦点为，，，

故答案为：6

8. 已知函数是定义在上的奇函数，则的值为　　．

答案：

分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可．

解：，

是奇函数，

，

即，，

，时，，

即，

则，

故答案为：．

9. 已知数列与均为等差数列，且，则　　．

答案：20

分析：设等差数列的公差为．又数列均为等差数列，且，可得，解得，即可得出．

解：设等差数列的公差为．

又数列均为等差数列，且，

，

解得．

则．

故答案为：20．

10. 如图，在中，，，，已知点，分别是边，的中点，点在边上，若，则线段的长为　　．

答案：

分析：先由平面向量数量积的运算可得：，

再由余弦定理可得：，

然后设，结合平面向量的线性运算可得：

，解得：，即可得解．

解：因为在中，，，，

所以，

又在中，由余弦定理可得：

，

又，，，

得，

设，

则

，

解得：，

即，

即线段的长为，

故答案为：．

11. 已知点，，若圆上恰有两点，，使得和的面积均为4，则的取值范围是　　．

答案：，

分析：求得的值，得出两点，到直线的距离相等，写出的直线方程，

根据圆上的点到直线的距离求出的取值范围．

解：由题意可得，

根据和的面积均为4，

可得两点，到直线的距离为；

由于的方程为，

即；

若圆上只有一个点到直线的距离为，

则有圆心到直线的距离为，解得；

若圆上只有3个点到直线的距离为，

则有圆心到直线的距离为，解得；

综上，的取值范围是，．

故答案为：，．

12. 已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为　　．

答案：

分析：令，，求出与的值域即可判断的值，从而得出的值．

解：令可得：，

令，，

则，

令可得，即或（舍，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

（1），

（当且仅当即时取等号），

，即，

，

．

故答案为：．

13.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.

答案：

解：当时，由得，，∴或①

∴当时，在上有三个根，当时，在上有两个根，当时，在上有一根

当时，由得，则②，

设（），

∴当时, 0' altImg='fb896f2cd237a2ff94052b38bef41621.png' w='78' h='21' class='_3'>，函数单调递增，

当时, ，函数单调递减

可结合图像可知，时，方程②有两个根；当或时，方程②有一个根；当时，方程②没有实根，

综上：当或时，有三个零点.

14. 在锐角三角形，是边上的中线，且，则的最小值为　　．

答案：

分析：不妨设，边上的高为，则，，再根据正切值求出，然后用基本不等式可求得．

解：不妨设，边上的高为，则，，

从而，

所以，

（当且仅当，即时，取等）

故答案为：．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. （本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是．

（1）求的值；

（2）若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值．

分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．

（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．

解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，

所以由任意角的三角函数的定义可知 ．

从而 ．

（1） ，

．

（2）因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是，

所以 ，从而 ．

于是 ．

因为为锐角，为钝角，所以，，

从而．

16. （本小题满分14分）

如图，在正三棱柱中，点在棱上，，点，分别是，的中点．

（1）求证：为的中点；

（2）求证：平面．

分析：（1）推导出，，从而平面，进而，由此能证明为的中点．

（2）连结，，交于点，连结，，推导出，，从而，由此能证明平面．

证明：（1）在正三棱柱中，点在棱上，，

，，

，平面，

，为的中点．

（2）连结，，交于点，连结，，

正三棱柱中，是矩形，是的中点，

，

点，分别是，的中点，，

，

平面，平面．

平面．

17. （本小题满分14分）

某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图．每座帐篷的体积为，且分上下两层，其中上层是半径为（单位：的半球体，下层是半径为，高为的圆柱体（如图．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为千元．

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）当半径为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.

分析:（1）由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即，表示出，则，化简得；再由，则，所以定义域为，

（2），，根据导函数求出其最小值即可．

解：（1）由题意可得，所以，

所以，即；

因为，，所以，则，所以定义域为，

（2）设，，则，令，解得，

当，时，，单调递减；

当，时，，单调递增，

所以当时，取极小值也是最小值，且．

答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元．

18．（本小题满分16分）

如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，离心率为，直线过点与椭圆交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为△的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△与△面积的比值；

（3）设点，，在直线上的射影依次为点，，．连结，，试问：当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

分析：（1）由题意知．，可得，解得即可得出椭圆的方程．

（2）由点为△的内心，可得点为△的内切圆的圆心，设该圆的半径为，可得．

（3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形，此时与交于的中点．下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．

设直线的方程为，与椭圆方程联立化简得．设，，，，由题意，得，，则直线的方程为．令，此时，把根与系数关系代入可得，因此点在直线上．同理可证，点在直线上．即可得出结论．

解：（1）由题意知．因为，所以，解得，

所以椭圆的方程为：．

（2）因为点为△的内心，

所以点为△的内切圆的圆心，设该圆的半径为，

则．

（3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形，

此时与交于的中点．

下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．

设直线的方程为，

联立化简得．

因为直线经过椭圆内的点，所以△．

设，，，，则，．

由题意，得，，则直线的方程为．

令，此时

，

所以点在直线上．

同理可证，点在直线上．

所以当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．

19. （本小题满分16分）

设数列，分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列．

（1）已知，，求数列的前项的和；

（2）已知，，且数列的前三项成等比数列，若数列唯一，求的值.

（3）已知数列的公差为，且，求数列，的通项公式（用含，的式子表达）；

（1）解：设的公比为，

则有，即；

解得；

；

（2）∵为等差数列，又∵，

∴，，则公差，则

数列的前三项成等比数列，即，，成等比，

，整理得

设数列的公比为，显然

则，

∵数列唯一确定，

∴

解得：或（舍）

即

（3）解：①

②

①②，得；

；

③

④

令③④，得⑤；其中是数列的公比；

⑥

令⑤⑥，得；

，即；

解得或；

若，则，有，矛盾；

满足条件，此时；；

20. （本小题满分16分）

设为实数，已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设为实数，若不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围；

（3）若函数有两个相异的零点，求的取值范围．

分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，

（2）分离参数，可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出的范围，

（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围．

解：（1）当时，因为，当时，；

当时，．所以函数单调减区间为，单调增区间为．

（2）由，得，由于，

所以对任意的及任意的恒成立．

由于，所以，所以对任意的恒成立．

设，，则，

所以函数在， 上单调递减，在 2，上单调递增，

所以2，

所以2．

（3）由，得，其中．

①若时，则，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；

②若时，令，得．

由第（2）小题知，当时， ，所以，所以，所以当时，函数的值域为．

所以存在，使得，即　①，

且当时，，所以函数在上单调递增，在，上单调递减．

因为函数有两个零点，，

所以　②．

设，，则，所以函数在上单调递增．

由于，所以当时，，所以②式中的．

又由①式，得．

由第（1）小题可知，当时，函数在上单调递减，所以，

即，．

由于，所以．

因为，且函数在上单调递减，函数的图象在上不间断，

所以函数在上恰有一个零点；

由于，令，

设，，

由于时，，，所以设，即．

由①式，得当时，，且，

同理可得函数在，上也恰有一个零点．

综上，，．

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试

高三数学（Ⅱ）试题 2019.12

21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵，的一个特征值，其对应的一个特征向量是

（1）求矩阵；

（2）设直线在矩阵对应的变换作用下得到了直线，求直线的方程．

分析：（1）由即可求出，；

（2）设直线上的任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点，根据，可得进而得到的方程；．

解：（1），，

解得

故；

（2），，

设直线上的任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点，

则

，，

直线的方程为．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标．

分析：化直线的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线的参数方程为普通方程，联立求解得答案．

解：直线的直角坐标方程为．

由方程，可得，

又，．

曲线的普通方程为．

将直线的方程代入曲线方程中，得，解得，或（舍去）．

直线与曲线的交点的直角坐标为．

第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，分别是，的中点．

（1）求异面直线，所成角的余弦值；

（2）点在线段上，．若平面，求实数的值．

分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线，所成角的余弦值；

（2）点在线段上，．求出平面的法向量，利用平面，即可求实数的值．

解：因为四棱柱为直四棱柱，

所以平面．

又平面，平面，

所以，．

在菱形中，则是等边三角形．

因为是中点，所以．

因为，所以．

建立空间直角坐标系．则，0，，，1，，，2，，

，0，，，0，，，，．

（1），2，，，，，

所以异面直线，所成角的余弦值为．

（2）设，，，由于点在线段上，且，

则，，，2，．

则，，，，，．

设平面的法向量为，，．

因为，0，，，，，

由，得，．

取，则，

则平面的一个法向量为，2，．

由于平面，则，即，解得．

23．（本小题满分10分）

已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第局得分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．

（1）求在一局游戏中得3分的概率；

（2）求游戏结束时局数的分布列和数学期望．

分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；

（2）由题意知随机变量的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，

求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．

解：（1）设在一局游戏中得3分为事件，

则（A）；

（2）由题意随机变量的可能取值为1，2，3，4；

且在一局游戏中得2分的概率为；

则，

，

，

，

的分布列为：

．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d5b8b8a2591b6bd97f192279168884868762b8af.html