第3章 数值数组及其运算

习题3及解答

要求在闭区间上产生具有10个等距采样点的一维数组。试用两种不同的指令实现。

〖目的〗

数值计算中产生自变量采样点的两个常用指令的异同。

〖解答〗

%方法一

t1=linspace(0,2*pi,10)

%方法二

t2=0:2*pi/9:2*pi %要注意采样间距的选择，如这里的2*pi/9.

t1 =

Columns 1 through 7

0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888

Columns 8 through 10

4.8869 5.5851 6.2832

t2 =

Columns 1 through 7

0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888

Columns 8 through 10

4.8869 5.5851 6.2832

由指令rng('default'),A=rand(3,5)生成二维数组A，试求该数组中所有大于0.5的元素的位置，分别求出它们的“全下标”和“单下标”。

〖目的〗

数组下标的不同描述：全下标和单下标。

sub2ind, int2str, disp的使用。

随机发生器的状态控制：保证随机数的可复现性。

〖解答〗

rng('default')

A=rand(3,5)

[ri,cj]=find(A>0.5);

id=sub2ind(size(A),ri,cj);

ri=ri';cj=cj';

disp(' ')

disp('大于0.5的元素的全下标')

disp(['行号 ',int2str(ri)])

disp(['列号 ',int2str(cj)])

disp(' ')

disp('大于0.5的元素的单下标')

disp(id')

A =

0.8147 0.9134 0.2785 0.9649 0.9572

0.9058 0.6324 0.5469 0.1576 0.4854

0.1270 0.0975 0.9575 0.9706 0.8003

大于0.5的元素的全下标

行号 1 2 1 2 2 3 1 3 1 3

列号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

大于0.5的元素的单下标

1 2 4 5 8 9 10 12 13 15

采用默认全局随机流，写出产生长度为1000的“等概率双位（即取-1，+1）取值的随机码”程序指令，并给出 -1码的数目。

〖目的〗

两种基本随机发生器的使用。

关系运算产生逻辑数组——可用于数组的元素的标识和寻访。

逻辑数组的应用。

如何判断两个整数数组是否相等。

〖解答〗

（1）运用均匀随机数解题法——解法1

rng default %为以下结果重现而设；产生默认随机流。详见第4.3.2节

A=rand(1,1000);

a=2*(A>0.5)-1;

Na=sum(a==-1)

Na =

512

（2）运用正态随机数解题法——解法2

randn('state',123)

B=randn(1,1000);

b=2*(B>0)-1;

Nb=sum(b==-1)

Nb =

462

（3）直接发生法——解法3

c=randsrc(1,1000,[-1,1]);

Nc=sum(c==-1)

Nc =

482

已知矩阵，运行指令B1=A.^(0.5), B2=A^(0.5), 可以观察到不同运算方法所得结果不同。（1）请分别写出根据B1, B2恢复原矩阵A的程序。（2）用指令检验所得的两个恢复矩阵是否相等。

〖目的〗

数组运算和矩阵运算的不同。

如何判断两个双精度数组是否相等。

norm指令的应用。

〖解答〗

A=[1,2;3,4];

B1=A.^0.5

B2=A^0.5

A1=B1.*B1;

A2=B2*B2;

norm(A1-A2,'fro') % 求误差矩阵的F-范数，当接近eps量级时，就认为实际相等

B1 =

1.0000 1.4142

1.7321 2.0000

B2 =

0.5537 + 0.4644i 0.8070 - 0.2124i

1.2104 - 0.3186i 1.7641 + 0.1458i

ans =

8.4961e-016

在时间区间 [0,10]中，绘制曲线。要求分别采取“标量循环运算法”和“数组运算法”编写两段程序绘图。

〖目的〗

加强理解数组运算的机理和应用。

初步使用subplot, plot, xlabel, ylabel等指令绘图。

〖解答〗

%标量循环运算法

t=linspace(0,10,200);

N=length(t);

y1=zeros(size(t));

for k=1:N

y1(k)=1-exp(-0.5*t(k))*cos(2*t(k));

end

subplot(1,2,1),plot(t,y1),xlabel('t'),ylabel('y1'),grid on

%数组运算法

y2=1-exp(-0.5*t).*cos(2*t);

subplot(1,2,2),plot(t,y2),xlabel('t'),ylabel('y2'),grid on

先运行clear,format long,rng('default'),A=rand(3,3)，然后根据A写出两个矩阵：一个对角阵B，其相应元素由A的对角元素构成；另一个矩阵C，其对角元素全为0，而其余元素与对应的A阵元素相同。

〖目的〗

常用指令diag的使用场合。

〖解答〗

clear,

format long

rng('default')

A=rand(3,3)

B=diag(diag(A))

C=A-B

A =

0.814723686393179 0.913375856139019 0.278498218867048

0.905791937075619 0.632359246225410 0.546881519204984

0.126986816293506 0.097540404999410 0.957506835434298

B =

0.814723686393179 0 0

0 0.632359246225410 0

0 0 0.957506835434298

C =

0 0.913375856139019 0.278498218867048

0.905791937075619 0 0.546881519204984

0.126986816293506 0.097540404999410 0

先运行指令x=-3*pi:pi/15:3*pi; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); warning off; Z=sin(X).*sin(Y)./X./Y; 产生矩阵Z。（1）请问矩阵Z中有多少个“非数”数据？（2）用指令surf(X,Y,Z); shading interp观察所绘的图形。（3）请写出绘制相应的“无裂缝”图形的全部指令。

〖目的〗

初步感受三维曲面的绘制方法。

非数NaN的产生，非数的检测，和对图形的影响。

sum的应用。

eps如何克服“被零除”的尴尬。

〖解答〗

x=-3*pi:pi/15:3*pi;

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

warning off

Z=sin(X).*sin(Y)./X./Y;

NumOfNaN=sum(sum(isnan(Z))) %计算“非数”数目

subplot(1,2,1),surf(X,Y,Z),shading interp,title('有缝图')

%产生无缝图

XX=X+(X==0)*eps;

YY=Y+(Y==0)*eps;

ZZ=sin(XX).*sin(YY)./XX./YY;

subplot(1,2,2),surf(XX,YY,ZZ),shading interp,title('无缝图')

NumOfNaN =

181

下面有一段程序，企图用来解决如下计算任务：有矩阵，当依次取10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1时，计算矩阵“各列元素的和”，并把此求和结果存放为矩阵Sa的第k行。例如时，A阵为，此时它各列元素 的和是一个行数组，并把它保存为Sa的第3行。问题：该段程序的计算结果对吗？假如计算结果不正确，请指出错误发生的根源，并改正之。

〖目的〗

正确理解sum的工作机理。

reshape的应用。

〖解答〗

（1）企图用以下程序完成题目要求。

for k=10:-1:1

A=reshape(1:10*k,k,10);

Sa(k,:)=sum(A);

end

Sa

Sa =

55 55 55 55 55 55 55 55 55 55

3 7 11 15 19 23 27 31 35 39

6 15 24 33 42 51 60 69 78 87

10 26 42 58 74 90 106 122 138 154

15 40 65 90 115 140 165 190 215 240

21 57 93 129 165 201 237 273 309 345

28 77 126 175 224 273 322 371 420 469

36 100 164 228 292 356 420 484 548 612

45 126 207 288 369 450 531 612 693 774

55 155 255 355 455 555 655 755 855 955

（2）正确性分析

除k=1外，计算所得Sa所有行的结果都正确。但k=1时，，Sa的第1行应该与相同。

上述程序的错误是对sum理解不正确。sum对二维数组，求和按列施行；而对一维数组，不管行数组或列数组，总是求那数组所有元素的和。

正确的程序应该写成

for k=10:-1:1

A=reshape(1:10*k,k,10);

Sa(k,:)=sum(A);

if k==1

Sa(k,:)=A;

end

end

Sa

Sa =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 7 11 15 19 23 27 31 35 39

6 15 24 33 42 51 60 69 78 87

10 26 42 58 74 90 106 122 138 154

15 40 65 90 115 140 165 190 215 240

21 57 93 129 165 201 237 273 309 345

28 77 126 175 224 273 322 371 420 469

36 100 164 228 292 356 420 484 548 612

45 126 207 288 369 450 531 612 693 774

55 155 255 355 455 555 655 755 855 955

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d3940d2443323968011c927d.html