2020年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2020年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．

1．R表示实数集，集合M={x|0＜x＜2}，N={x|x2+x﹣6≤0}，则下列结论正确的是（　　）

A．M∈NB．∁RM⊆NC．M∈∁RND．∁RN⊆∁RM

2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，则z5的虚部是（　　）

A．4B．4iC．﹣4iD．﹣4

3．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（　　）

A．∀x∈R，x2+2x+3≠0B．∀x∈R，x2+2x+3=0

C．∃x∈R，x2+2x+3≠0D．∃x∈R，x2+2x+3=0

4．两个相关变量满足如下关系：

根据表格已得回归方程： =9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（　　）

A．37B．38.5C．39D．40.5

5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（　　）

A． B． C． D．

6．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（　　）

A． B． C． D．

7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（　　）

A．﹣=1B．﹣=1C．x2﹣=1D．﹣y2=1

8．在（1+）（1+）…（1+）（n∈N+，n≥2）的展开式中，x的系数为，则x2的系数为（　　）

A． B． C． D．

9．设集合M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜2，m，n∈R}，则任取（m，n）∈M，关于x的方程mx2+2x+n=0有实根的概率为（　　）

A． B． C． D．

10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．已知||=1，||=，|+2|=，则向量，的夹角为　　　　　　．

12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是　　　　　　．

13．已知变量x，y满足，则的最大值为　　　　　　．

14．执行如图所示的程序框图，若输入x=6，则输出y的值为　　　　　　．

15．已知函数f（x）=，g（x）=acos+5﹣2a（a＞0），若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．

（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S△ABC=，c=2，f（C+）=﹣．求a，b的值．

17．在一次购物抽奖活动中，假设某l0张奖券中有一等奖券1张，可获得价值100元的奖品，有二等奖券3张，每张可获得价值50元的奖品，其余6张没有奖，某顾客从此l0张奖券中任抽2张，求

（I）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得奖品总价值X的概率分布列和数学期望．

18．已知数列{an}满足a1=1，a1+a2+a3+…+an=an+1﹣1（n∈N），数列{an}的前n项和为Sn．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上．

（I）求证：AB⊥PC；

（Ⅱ）若二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，求BM与平面PAC所成角的正弦值．

20．已知函数f（x）=ax2﹣（a﹣1）x﹣lnx（a∈R且a≠0）．

（I）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值和谐切线”．当a=2时，函数f（x）是否存在“中值和谐切线”，请说明理由．

21．如图，椭圆E：的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．

2020年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．

1．R表示实数集，集合M={x|0＜x＜2}，N={x|x2+x﹣6≤0}，则下列结论正确的是（　　）

A．M∈NB．∁RM⊆NC．M∈∁RND．∁RN⊆∁RM

【考点】元素与集合关系的判断．

【分析】化简N={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，从而确定M⊊N；从而求得．

【解答】解：∵N={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，

而M={x|0＜x＜2}，

∴M⊊N；

∴∁RN⊆∁RM，

故选D．

2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，则z5的虚部是（　　）

A．4B．4iC．﹣4iD．﹣4

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：复数z满足z•（1﹣i）=2，∴z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），∴z=1+i，

∴z2=2i，

则z5=（2i）2（1+i）=﹣4（1+i）=﹣4﹣4i的虚部是﹣4．

故选：D．

3．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（　　）

A．∀x∈R，x2+2x+3≠0B．∀x∈R，x2+2x+3=0

C．∃x∈R，x2+2x+3≠0D．∃x∈R，x2+2x+3=0

【考点】命题的否定．

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是：∀x∈R，x2+2x+3≠0．

故选：A．

4．两个相关变量满足如下关系：

根据表格已得回归方程： =9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（　　）

A．37B．38.5C．39D．40.5

【考点】线性回归方程．

【分析】求出代入回归方程解出，从而得出答案．

【解答】解： =，∴=9.4×4+9.2=46.8．

设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64=5=234．

解得a=39．

故选C．

5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（　　）

A． B． C． D．

【考点】正弦函数的对称性．

【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．

【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；

再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．

故选A．

6．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单空间图形的三视图．

【分析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可．

【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，

且PA=AB=1，

∴几何体的最长棱为PC==．

故选B．

7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（　　）

A．﹣=1B．﹣=1C．x2﹣=1D．﹣y2=1

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由题意可得c=，即a2+b2=5，求出渐近线方程代入抛物线的方程，运用判别式为0，解方程可得a=2，b=1，进而得到双曲线的方程．

【解答】解：由题意可得c=，即a2+b2=5，

双曲线的渐近线方程为y=±x，

将渐近线方程和抛物线y=x2+联立，

可得x2±x+=0，

由直线和抛物线相切的条件，可得

△=﹣4××=0，

即有a2=4b2，

解得a=2，b=1，

可得双曲线的方程为﹣y2=1．

故选：D．

8．在（1+）（1+）…（1+）（n∈N+，n≥2）的展开式中，x的系数为，则x2的系数为（　　）

A． B． C． D．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】在（1+）（1+）…（1+）（n∈N+，n≥2）的展开式中，x的系数=+…+，可得1﹣=，解得n=4．因此（1+）（1+）的展开式中x2的系数=+×+×+×，即可得出．

【解答】解：在（1+）（1+）…（1+）（n∈N+，n≥2）的展开式中，x的系数=+…+==1﹣，

∴1﹣=，解得n=4．

∴（1+）（1+）的展开式中x2的系数为： +×+×+×

=．

故选：C．

9．设集合M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜2，m，n∈R}，则任取（m，n）∈M，关于x的方程mx2+2x+n=0有实根的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】几何概型．

【分析】首先根据关于x的方程mx2+2x+n=0有实根，推得ac≤1；然后作出图象，求出相应的面积；最后根据几何概型的概率的求法，关于x的方程mx2+2x+n=0有实根的概率即可．

【解答】解：若关于x的方程mx2+2x+n=0有实根，则△=22﹣4mn≥0，

∴mn≤1；

∵M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜2，m，n∈R}，总事件表示的面积为2×2=4，

方程有实根时，表示的面积为2×+2×dm=1+lnm|=1+2ln2，

∴关于x的方程mx2+2x+n=0有实根的概率为，

故选：B．

10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]

【考点】分段函数的应用．

【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值，结合图象，即可得到a的取值范围．

【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：

∵函数f（x）的值域是[0，2]，

∴1∈[0，a]，即a≥1，

又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），

∴a

∴a的取值范围是[1，]．

故选：B．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．已知||=1，||=，|+2|=，则向量，的夹角为　\frac{3π}{4}　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】|+2|=，则两边平方，运用向量的数量积的定义和向量的平方等于向量的模的平方，即可得到答案．

【解答】解：设向量，的夹角为θ，

∵||=1，||=，

∴|+2|2=||2+4||2+4||•||cosθ=1+4×2+4cosθ=5，

∴cosθ=﹣，

∵0≤θ≤π，

∴θ=．

故答案为：．

12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是　[﹣2，4]．　．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．

【解答】解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，

∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，

∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，

即|a﹣1|≤3，

∴﹣2≤a≤4．

故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．

故答案为：[﹣2，4]．

13．已知变量x，y满足，则的最大值为　\frac{5}{4}　．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求表达式的最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：

=1+的几何意义为区域内的点到P（﹣2，2）的斜率加1，

由图象知，PA的斜率最大，

由，得，即A（2，3），

故PA的斜率k==．

所求表达式的最大值为：1+=

故答案为：．

14．执行如图所示的程序框图，若输入x=6，则输出y的值为　﹣\frac{3}{2}　．

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=﹣1，y=﹣时，满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣，即可得解．

【解答】解：模拟执行程序，可得

x=6

y=2

不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=2，y=0

不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=0，y=﹣1

不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=﹣1，y=﹣

满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．

故答案为：﹣．

15．已知函数f（x）=，g（x）=acos+5﹣2a（a＞0），若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是　[\frac{5}{2}，\frac{13}{3}]　．

【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．

【分析】根据f（x）的解析式求出其值域，再求出g（x）在x∈[0，1]上的值域，由对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立得到关于a的不等式组，从而求出a的取值范围．

【解答】解：∵x∈（，1]时，f（x）=，

∴f′（x）=，

当x∈（，1]时，f′（x）＞0，函数f（x）在（，1]上为增函数，

∴f（x）∈（，]；

当x∈[0，]时，函数f（x）为减函数，∴f（x）∈[0，]；

∴在[0，1]上f（x）∈[0，]；

又g（x）=acos﹣2a+5中，

当x∈[0，1]时，cos∈[0，1]，

∴g（x）∈[﹣2a+5，﹣a+5]；

若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，

则，解得：≤a≤，

故答案为：[，]．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．

（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S△ABC=，c=2，f（C+）=﹣．求a，b的值．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】（1）由两角和的正弦公式及二倍角公式，化简求得f（x）═sin2x﹣，根据正弦函数的图象和性质，求出周期和f（x）的值域；

（2）f（C+）=﹣，求得C=，由三角形的面积公式求得ab=4，余弦定理求得a2+b2=16，联立求得a、b的值．

【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）﹣cos2x=sin2x+cos2x﹣（2cos2x﹣1）﹣，

=sin2x﹣，

f（x）的最小正周期π，

x∈[，]，2x∈[，]，

f（x）的值域[﹣，﹣]；

（2）f（x）=sin2x﹣，

f（C+）=sin2（C+）﹣=﹣，

∴sin（2C+）=，cos2C=，角C为锐角，

C=，

S=，S△ABC=，

ab=4，

由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，

a2+b2=16，

解得b=2，a=2或b=2，a=2，

17．在一次购物抽奖活动中，假设某l0张奖券中有一等奖券1张，可获得价值100元的奖品，有二等奖券3张，每张可获得价值50元的奖品，其余6张没有奖，某顾客从此l0张奖券中任抽2张，求

（I）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得奖品总价值X的概率分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）由题意求出该顾客没有中奖的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出该顾客中奖的概率．

（Ⅱ）根据题意可得X的所有可能取值为0，50，100，150（元），分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得该顾客没有中奖的概率为=，

∴该顾客中奖的概率为：P=1﹣=，

∴该顾客中奖的概率为．

（Ⅱ）根据题意可得X的所有可能取值为0，50，100，150（元），

∴P（X=0）==，

P（X=50）==，

P（X=100）==，

P（X=150）==，

∴X的分布列为：

∴X的数学期望为EX==50．

18．已知数列{an}满足a1=1，a1+a2+a3+…+an=an+1﹣1（n∈N），数列{an}的前n项和为Sn．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）通过a1+a2+a3+…+an﹣1+an=an+1﹣1与a1+a2+a3+…+an﹣1=an﹣1作差，进而计算可知=（n∈N），利用累乘法计算可知数列{an}的通项公式；

（2）通过（1），利用等差数列的求和公式裂项可知bn=2（﹣），进而利用并项相消法可知Tn=，从而问题转化为数列{Tn}的最大值，计算即得结论．

【解答】解：（1）∵a1+a2+a3+…+an﹣1+an=an+1﹣1（n∈N），

∴当n≥2时，a1+a2+a3+…+an﹣1=an﹣1，

两式相减得： an=an+1﹣an，即=，

又∵==满足上式，

∴=（n∈N），

∴当n≥2时，an=••…••a1

=••…•2•1

=n，

又∵a1=1满足上式，

∴数列{an}的通项公式an=n；

（2）由（1）可知bn===2（﹣），

∴Tn=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，

∵随着n的增大而增大，

∴不等式Tn＜对所有n∈N都成立⇔求数列{Tn}的最大值，

又∵=2，

∴≥2，即m≥20，

故满足题意的最小正整数m=20．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上．

（I）求证：AB⊥PC；

（Ⅱ）若二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，求BM与平面PAC所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．

【分析】（I）取BC的中点E，连接AE，则可证AB⊥AC，又PA⊥AB，得出AB⊥平面PAC，从而AB⊥PC；

（II）设，以A为原点建立坐标系，求出平面ACM的法向量，令|cos＜，＞|=解出λ，得出的坐标，则|cos＜＞|为BM与平面PAC所成角的正弦值．

【解答】证明：（I）取BC的中点E，连接AE，

∵AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，

∴四边形ADCE是正方形，△ABE是到腰直角三角形，

∴∠BAE=45°，∠EAC=45°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC．

∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴PA⊥AB，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，

∴AB⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，

∴AB⊥PC．

（II）以A为原点，分别以AE，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则A（0，0，0），B（2，﹣2，0），C（2，2，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．

∴=（0，2，﹣2）. =（2，2，0），=（0，0，2）．

设=（0，2，﹣2λ），则==（0，2，2﹣2λ）．

设平面ACM的一个法向量为=（x，y，z），则，

∴，令y=得=（﹣，，）．

∵z轴⊥平面ACD，∴=（0，0，1）为平面ACD的一个法向量．

∴cos＜＞==．

∵二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，∴=．解得．

∴=（0，，），∵=（2，﹣2，0），∴==（﹣2，，）．

∵AB⊥平面PAC，∴为平面PAC的一个法向量．

cos＜，＞===﹣．

∴BM与平面PAC所成角的正弦值为．

20．已知函数f（x）=ax2﹣（a﹣1）x﹣lnx（a∈R且a≠0）．

（I）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值和谐切线”．当a=2时，函数f（x）是否存在“中值和谐切线”，请说明理由．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；

（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），

由已知得，f′（x）=，

（1）当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＞1； 令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．

所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；

（2）当a＜0时，

①当﹣＜1时，即a＜﹣1时，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜1；

∴函数f（x）在（﹣，1）上单调递增；

②当﹣=1时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无增区间；

③当﹣＞1时，即﹣1＜a＜0时，令f′（x）＞0，解得1＜x＜﹣

∴函数f（x）在（1，﹣）上单调递增；

综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；

（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在（﹣，1）上单调递增；

（3）当a=﹣1时，函数f（x）无单调递增区间；

（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（1，﹣）上单调递增；

（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．

设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，

则y1=﹣x1﹣lnx1，y2=﹣x2﹣lnx2．

kAB==x2+x1﹣1﹣，

曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率：

k=f′（x0）=f′（）=x1+x2﹣1﹣，

x2+x1﹣1﹣=x1+x2﹣1﹣，

∴=，即ln﹣=0，

令t=＞1

设h（t）=lnt﹣，则h′（t）=＞0，

∴h（t）在（0，+∞）递增，

∴h（t）＞h（1）=0，

故h（t）=0在（0，+∞）无解，假设不成立，

综上所述，假设不成立，

所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．

21．如图，椭圆E：的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点坐标，从而设出椭圆E的方程，解方程组得C（1，2），D（1，﹣2），根据抛物线、椭圆都关于x轴对称，建立关于参数b的方程，解得b2=1并推得a2=2．最后写出椭圆的方程．

（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x﹣2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值取值范围，再结合向量的坐标运算利用点P在椭圆上，建立k与t的关系式，利用函数的单调性求出实数t取值范围，从而解决问题

【解答】解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F2（1，0）．

所以椭圆E的方程为：．

解方程组得C（1，2），D（1，﹣2）．

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，

∴，，∴．

因此，，解得b2=1并推得a2=2．

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．

AB：y=k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）

代入椭圆方程，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，

△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，k2＜

∴x1x2=，x1+x2=，

∵，

∴，

∴（1+k2）[﹣4×]＜，

∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，

∴k2＞，

∴＜k2＜，

∵满足，

∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），

∴x=，y=，

∵点P在椭圆上，

∴

∴16k2=t2（1+2k2）

∴t2=，由于＜k2＜，

∴﹣2＜t＜﹣或＜t＜2

∴实数t取值范围为：﹣2＜t＜﹣或＜t＜2．

2020年7月15日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d36c4c6cc67da26925c52cc58bd63186bdeb922f.html