2020届贵州省铜仁市高三第二次模拟考试试题数学（文）试题（解析版）

2020届贵州省铜仁市高三第二次模拟考试试题数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则=（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：集合，故选B.

【考点】集合的交集运算.

2．复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】根据复数的除法运算，化简复数，再利用复数的几何意义，找出对应点的坐标，即可进行判断.

【详解】

因为，

故该复数在复平面内对应的点为，

则该复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法运算以及复数的几何意义，属基础题.

3．已知向量，，若，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【详解】

∵，∴.

∴，即，

∴,，故选B.

【考点定位】

向量的坐标运算

4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

【答案】D

【解析】将目标函数解析式变形为，结合三角函数图象变换规律得出结果．

【详解】

，因此，将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，故选D．

【点睛】

本题考查三角函数图象的变换，在考查平移变换时，要注意以下两个方面：

（1）函数名称一致，如果是异名函数，利用诱导公式化为同名函数；

（2）平移是看自变量增加或减少了多少量．

5．命题“，”的否定是（ ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，

故命题的否定是“”.

本题选择C选项.

6．麒麟是中国传统瑞兽．古人认为，麒麟出没处，必有祥瑞．有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人．如图是客家麒麟图腾，为了测量图案中黑色部分面积，用随机模拟的方法来估计．现将图案剪成长，宽的矩形，然后在图案中随机产生了500个点，恰有248个点落在黑色区域内，则黑色区域的面积的估计值为（ ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用频率估计概率，再结合与面积有关的几何概型概率计算公式即可求解.

【详解】

依题意，矩形面积，设黑色部分的面积为，

由几何概型的概率计算公式可得，，解得.

故选：A

【点睛】

本题考查利用与面积有关的几何概型概率计算公式估计不规则图形的面积；考查运算求解能力；熟练掌握几何概型概率计算公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

7．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积，选C

【点睛】

求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题。充分体现补形转化思想。

8．函数的图象的大致形状是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证.

【详解】

解：，

，

函数为奇函数，故排除B，D选项，

当时，.

故排除A选项.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题.

9．设双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率为（ ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

分析：由题意求出直线方程，再根据，可得为的中点，根据中点坐标公式求出的坐标，代入双曲线方程可得，化简整理即可求出

详解：∵，∴为的中点，由题意可得直线方程为 当时， 设 ∴，即 即 整理可得 即 解得．故选C．

点睛：本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及直线方程，中点坐标公式，属于中档题

10．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）

A．39 B．38 C．37 D．36

【答案】B

【解析】该程序框图的作用是求被和除后的余数分别为与3的数，根据所给的选项即可得出结果.

【详解】

由程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余3，由已知中四个答案中的数据可得，输出的为38.

故选：B

【点睛】

本题考查利用直到型循环结构计算并输出变量的值；考查运算求解能力和识图能力；熟练掌握循环结构的执行过程是求解本题的关键；属于中档题.

11．如图过抛物线的焦点的直线依次交拋物线及准线于点，若，且，则（ ）

A．2 B． C．3 D．6

【答案】B

【解析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，根据抛物线定义可知|BD|＝a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p．

【详解】

如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由得：|BC|＝2a，

由抛物线定义得：|BD|＝|BF|=a，在直角三角形中，∠BCD＝30°，

在直角三角形AEC中，∵|AF|＝3，由抛物线定义得：|AE|＝3，∴|AC|＝3+3a，∴2|AE|＝|AC|，

∴3+3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，∴ 得p＝.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于基础题．

12．已知函数，函数，若方程恰有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据函数与方程的关系，等价于函数的图象与的图象有三个的交点，分别作出函数的图象，数形结合可得答案．

【详解】

依题意，画出的图象，如图所示．直线恒过定点（1，0），

由图象可知，函数的图象与的图象相切时，函数的图象恰有两个交点．

设切点为，其中，由，得，

化简得，解得或（舍去），要使方程恰有三个实数解，

则函数的图象恰有三个交点，结合图象可知，所以实数的取值范围为.

故选：D

【点睛】

本题主要考查根据函数零点的个数求解参数取值范围的问题，考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键，属于中档题．

二、填空题

13．设函数，则________．

【答案】

【解析】试题分析：因为所以.

【考点】分段函数.

14．已知不等式组构成平面区域．则目标函数的最小值____________；

【答案】

【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【详解】

由约束条件作出可行域如图所示，联立，解得.

由，得y＝﹣，由图可知，当直线过时，直线y＝﹣在y轴上的截距最小，有最小值为-2+20=-2

故答案为：-2

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.

15．在中，角的对边分别为，，，且为锐角，则面积的最大值为________.

【答案】

【解析】由，，利用正弦定理求得.，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，从而利用三角形面积公式可得结果.

【详解】

因为，又，

所以，又为锐角，可得.

因为，

所以，

当且仅当时等号成立，

即，

即当时，面积的最大值为. 故答案为.

【点睛】

本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

16．已知下列命题：

①函数在上单调递减，在上单调递增；

②若函数在上有两个零点，则的取值范围是；

③当时，函数的最大值为0；

④函数在上单调递减；

上述命题正确的是_________（填序号）．

【答案】①②④

【解析】根据复合函数的单调性即可判断①；令函数，确定当的图象与直线有两个交点时的取值范围即可判断②；利用基本不等式求得函数的最大值即可判断③；利用辅助角公式和整体对应法判断正弦型函数的单调性即可判断④；

【详解】

①根据复合函数同增异减的性质，令 ，则在上单调递减，在上单调递增，又因为为增函数，可知函数在上单调递减，在上单调递增，故①正确；

②令，则函数在上有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点，作图如下：根据函数的图象可知，故②正确；

③当时，，所以

（当且仅当，即时取等号），所以函数的最大值为，故③不正确．

④，当时，，此时单调递减，故④正确；

故答案为：①②④

【点睛】

本题考查函数相关命题的辨析、复合函数单调性的判断、根据函数的零点求参数的取值范围、正弦型函数单调性的判断和利用基本不等式求最值；考查数形结合思想、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.

三、解答题

17．等差数列中，已知，且构成等比数列．

（1）求通项；

（2）设，非常数列的前项和为，求．

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）设公差为d，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；

（2）由（1）结合非常数列，得，进而由裂项相消求和，化简计算可得．

【详解】

（1）等差数列中，已知，公差设为d，且构成等比数列，

∴或，所以：或.

（2）由（1）结合非常数列，∴.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．

18．如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）由已知条件，可得AB⊥AD，进一步得到AD⊥平面ABEF，则AD⊥AG，再由菱形ABEF中，∠ABE＝60°，G为BE的中点，可得AG⊥BE，由线面垂直的判定定理得AG⊥平面BCE；

（2）由，得面面到面的距离等于到面的距离，，进而结合已知条件和棱锥的体积公式求解即可．

【详解】

（1）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，∴矩形菱形，

平面，平面，∵菱形中，为的中点，

，平面

（2）由知，面面到面的距离等于到面的距离，

所以，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

∴矩形和菱形所在的平面相互垂直，

则，

所以，又由（1）可知平面，平面，

所以

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，属于中档题．

19．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区100名患者的相关信息，得到如下表格：

（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

附：

，其中．

【答案】（1）5.4天；（2）表见解析，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关．

【解析】（1）根据统计数据计算平均数即可；

（2）根据题意补充完整列联表，计算K2，对照临界值得出结论.

【详解】

（1）根据统计数据，计算平均数为：天

（2）根据题意，补充完整的列联表如下：

则，经查表，得，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关．

【点睛】

本题考查了频数分布表与平均数、独立性检验等问题，也考查了分析问题、解决问题和处理数据与建模能力，属于基础题．

20．已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）据题意，得 ，求解方程组确定a,b的值即可求得椭圆方程；

（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．与椭圆方程联立，结合韦达定理有． 假设存在点M满足题意，则，结合韦达定理求解实数m的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定定点M存在.

【详解】

（1）据题意，得

解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由，得．

设，则．

设，则直线的斜率分别满足．

又因为直线的斜率互为相反数，

所以，

所以，所以，

所以，

所以，所以．

若对任意恒成立，则，

当直线的斜率不存在时，若，则点满足直线的斜率互为相反数．

综上，在轴上存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数．

【点睛】

解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．已知函数，

（1）求函数的单调区间，

（2）若，证明：．

【答案】（1）单调增区间，；（2）见解析

【解析】（1）利用函数的导函数求函数的单调区间即可；

（2）原不等式等价于证成立，构造，等价于证明成立，对求导得其在单调递增，且当时，成立，即可证得.

【详解】

（1），定义域为，∴，

令，∴当时，，当时，0' altImg='bdb1b826acd593af45089831b06e7f4b.png' w='78' h='21' class='_7'>，

在是减函数，在是增函数，又，∴当时，，0' altImg='1ba85456402fcd5220dbde585be101be.png' w='153' h='43' class='_7'>恒成立．

的单调增区间，．

（2）

，要证成立，等价于要证成立，

令，所证不等式等价于证明，因为时，，

令0' altImg='6214cd165669e8a9d2d7b7c45713e2e5.png' w='574' h='48' class='_7'>

所以在单调递增，∴当时，，所以时，0' altImg='17e9dbf7db5732466fe1c9e342baddf3.png' w='189' h='47' class='_7'>，

所以时，在单调递增，因为时，令，

则0' altImg='a955ec62ac07aedf7fcb09b2d1671b5b.png' w='137' h='22' class='_7'>，所以在单调递增，即，得，

所以，即得证.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性及证明不等式，考查运算求解能力及构造函数和逻辑推理能力，属于中档题．

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点.求

【答案】（1）.；（2）5.

【解析】（1）将（t为参数）中的参数t消去，即可求得直线l的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线C的直角坐标方程；

（2）令，得到直线的参数方程（为参数），代入，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.

【详解】

（1）由题意，将（t为参数）中的参数t消去，可得

即直线l的普通方程为，

由，可得，

又由，代入可得，

所以曲线C的直角坐标方程为.

（2）令，则有（为参数）.

将其代入方程中，得，其中.

设点A，B对应的参数分别为，，则，，

所以.

【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，熟练应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

23．已知函数.

（I）求不等式；

（II）若不等式的解集包含，求实数的取值范围..

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）利用零点分类讨论法解不等式；（Ⅱ）即在恒成立，

即，即，再化为在恒成立解答即可.

【详解】

解：（Ⅰ）.

当时，，即，解得；

当时，，即，解得；

当时，，即，解得.

综上，不等式的解集为.

（Ⅱ）对，恒成立，

即在恒成立，

即，

，

在恒成立，

.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.

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