2005年河北中考

2005年河北中考

22．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝EF。

求证：AE＝CE。

证明：∵ AB∥FC，∴ ∠ADE＝∠CFE

又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴△AED≌△CEF

∴AE＝CE

23．工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图8－1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）

将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图8－1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求。

如图是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图。已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD。请你结合图8－1中的数据。计算这种铁球的直径。

．解：连结OA、OE，设OE与AB交于点P，如图

∵AC＝BD，AC⊥CD，BD⊥CD

∴四边形ABDC是矩形

∵CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径，

∴OE⊥CD

∴OE⊥AB

∴PA＝PB

∴PE＝AC

∵AB＝CD＝16，∴PA＝8

∵AC＝BD＝4 PE＝4

在Rt△OAP中，由勾股定理得 ，

即

∴解得OA＝10，所以这种铁球的直径为20cm。

26．操作示例

对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图11－1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图11－1中的四边形BNED。

从拼接的过程容易得到结论：

①四边形BNED是正方形；

②S正方形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED。

实践与探究

（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图11－2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N。

①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；

②在图11－2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图11－1，用数字表示对应的图形）。

（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。

解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形。

在Rt△ADM与Rt△CDE中，

∵AD＝CD，又∠ADM＋∠MDC＝∠CDE＋∠MDC＝90°，

∴DM＝DE，∴四边形MNED是正方形。

∵，

∴正方形MNED的面积为；

②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图2

可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等。

所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED。

（2）答：能。理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，……依此类推。由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n－1）次拼接，得到一个正方形。

2006年河北中考

22．（本小题满分8分）

已知：如图9，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：AD=AE．

证明：∵AB＝AC，　　

∴∠B＝∠C

∵BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE．

26．（本小题满分12分）

  在图12—1至图12—3中，已知△ABC的面积为a ．

（1）如图12—1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结

DA．若△ACD的面积为S1，则S1=_a_____（用含a的代数式

表示）；

（2）如图12—2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，

使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则

S2=_2a_________（用含a的代数式表示）；

（3）在图12—2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，

FE，得到△DEF（如图12—3）．若阴影部分的面积为S3，则

S3=___6a_______（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．

∵CD=BC，AE=CA，BF=AB

∴由（2）得 S△ECD=2a，S△FAE=2a，S△DBF=2a，

∴S3=6a．

发现

像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图12—3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 7 倍．

应用

要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图12—4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：

（1）种紫花的区域的面积；

（72－7）×10=420（平方米）

（2）种蓝花的区域的面积．

（73－72）×10=2940（平方米）

2007年河北中考

20．（本小题满分7分）

某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即m/s）．交通管理部门在离该公路100 m处设置了一速度监测点A，在如图11所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．

（1）请在图11中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置；

如图1所示，射线为AC，点C为所求位置

（2）点B坐标为（，0），点C坐标为 （100 ，0） ；

（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15 s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中）

=270（m）．

270÷15=18（m/s）．∵18＞，

∴这辆车在限速公路上超速行驶了．

23．（本小题满分10分）

在图14-1—14-5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．

操作示例

当2b＜a时，如图14-1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图14-1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究

（1）正方形FGCH的面积是 a2+b2 ；（用含a，b的式子表示）

（2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

（2b＝a） （a＜2b＜2a） （b＝a）

联想拓展

小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．

当b＞a时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

能，剪拼方法如图6（图中BG=DH=b）．

24．（本小题满分10分）

在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的

长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，

然后证明你的猜想；

BF=CG；

证明：在△ABF和△ACG中，

∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，

∴△ABF≌△ACG（AAS），

∴BF=CG． …

（2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； 猜想：DE+DF=CG；

证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图7）． ∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，

∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG．∴∠GBC=∠HDC．

∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，

∴△FDC≌△HCD（AAS），∴DF=CH．

∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

仍然成立

2008年河北中考

23．(08河北)（本小题满分10分）

在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，

．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．

观察计算

（1）在方案一中， ； km（用含的式子表示）；

（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， km（用含的式子表示）．

探索归纳

（1）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；答案：小于

②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；答案：大于

（2）请你参考右边方框中的方法指导，

就（当时）的所有取值情况进

行分析，要使铺设的管道长度较短，

应选择方案一还是方案二？

．

①当，即时，，．；

②当，即时，，．；

③当，即时，，．．

综上可知：当时，选方案二；

当时，选方案一或方案二；

当（缺不扣分）时，选方案一．

24．(08河北)（本小题满分10分）

如图14-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．

（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；；

（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

；．

证明：①由已知，得，，．

又，．．

在和中，

，，，

，．

②如图3，延长交于点．

，．

在中，，又，

．

．．

（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

成立．

证明：①如图4，，．

又，．．

在和中，

，，，

．．

②如图4，延长交于点，则．

，．

在中，，

．．

．

2009年河北中考

23．（本小题满分10分）

如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．

阅读理解：

（1）如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到

⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周．

（2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋

转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周．

实践应用：

（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c，则⊙O自

转 2 周；若AB = l，则⊙O自转 L／C 周．在

阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O

在点B处自转 1／6 周；若∠ABC = 60°，则⊙O

在点B处自转 1／3 周．

（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O从

⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动

到⊙O4的位置，⊙O自转 5／4 周．

拓展联想：

（1）如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．

∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了周．

又∵三角形的外角和是360°，

∴在三个顶点处，⊙O自转了（周）．

∴⊙O共自转了（L／C +1）周．

（2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于

点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多

边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写

出⊙O自转的周数．

（L／C +1）周

24．（本小题满分10分）

在图14-1至图14-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．

（1）如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，

求证：FM = MH，FM⊥MH；

（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，

求证：△FMH是等腰直角三角形；

（3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，

△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必

说明理由）

（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，

又∵点N与点G重合，点M与点C重合，

∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．

∴△FBM ≌ △MDH．

∴FM = MH．

∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM⊥HM．

（2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．

∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，

∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，

且MB=CD=DH．

∴四边形BCDM是平行四边形．

∴ ∠CBM =∠CDM．

又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．

∴△FBM ≌ △MDH．

∴FM = MH，

且∠MFB =∠HMD．

∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．

∴△FMH是等腰直角三角形．

（3）是．

分析各年河北省数学中考试题，几何部分一般都是占两个大题，两道大题中考查点略有相似，但难易程度大大不同，一般前一道题难度都不大，属于中档题，大多数同学都能做出来，考查点往往是三角形的全等方面的证明，这需要大家掌握好基础知识，并能够将三角形全等与跟其相关的容易放在一起考察的基础知识掌握好，比如说平行线的性质，勾股定理等。因为该题的难点比较容易被大家接受，所以这道几何证明题应该让中等水平的同学当做重点问题来研究，而基础好的同学不应该在这里浪费太多的时间。

而另一道几何大题往往爱设置在24题也就是倒数第三道题的位置，难度相当大可以认为是操作型的问题，该问题往往是让学生经历观察，操作，实验，猜想，验证的探究过程。不仅能考查学生的空间观念，对图形的认识，图形的变换设计能力，还能考查学生的分析综合能力，抽象概括能力，逻辑推理能力。该问题一般包括作图问题、分割组合图形问题、图形的折叠问题和图形的移动问题等。解决该类问题要求学生们好基础知识，然后能够运用图形平移的变换、折叠变换、旋转变换里寻找变于不变的量，再通过猜想证明验证归纳等数学方法灵活的解决问题，在平时的学习过程中，要注意该问题的训练力度，培养创新能力。

该类问题整体难度较大，要想全部做出来需要一定的水平，所以对基础好的同学来说是一个不小的挑战，基础不好的同学也不能完全放弃，因为在考题当中，习惯性的都会设置三个小问题，第一问一般都很简单，会有一个猜想以及一步简单证明组成，第二问会有一定的难度，但是第三问又会是一个简单的猜想问题，大多不用证明，所以大部分同学都可以将一、三两问做出来，这也需要在复习时多多注意。

另外，几何内容方面，近几年越来越注意考查学生对几何事实的理解、作图和推理能力，淡化了对几何证明技巧的考查.2009年又分别以直线型、圆为载体考查了学生的几何计算能力。一些题涉及图形的旋转、平移和对称变换知识；第23、24题突出考查学生对图形变换的认识和空间图形的感受，充分体现了课程标准对几何内容的新要求。.第24、26题，还涉及了全等三角形、相似三角形的论证，对学生逻辑思维能力提出了恰如其分的要求，这显示出试卷回归数学本性，追求数学韵味。同时，注重对学生动手操作能力的考查，如23、24题，分值达20分，这在历年河北省中考数学题所少见的，它是今年试题的另一热点。解决问题的能力是学生数学学习的重要目标，其核心是学生通过“观察、思考、猜想、交流、推理”等思维活动，对所呈现的问题情景能够自由探究，进而发现问题、提出问题、解决问题.培养学生解决问题的能力和创新意识是当前数学教学改革的一个重点，近年来河北省的中考数学试题加大了这方面的考查力度，从23和24题看就占有较大的比例。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d0b19026162ded630b1c59eef8c75fbfc67d9412.html