12.5因式分解
第1课时 因式分解及提公因式法
一、教学目标
认知与技能目标
1、了解因式分解的意义；
2、理解因式分解与整式乘法的相互关系；
3、初步了解，运用提取公因式法分解因式。
过程与方法目标
1、培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。
2、培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法以及逆向思维的意识和方法。
情感与态度目标
1、让学生体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲和学好数学的自信心；
2、感受整式乘法与因式分解之间的对立统一观点，从而向学生渗透辩证唯物主义的认识论的思想，引导学生树立科学的人生观和价值观。
二、教材分析
因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。
三、教学重点与难点
重点：因式分解的概念及提取公因式法的运用。
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，正确提公因式。
四、教学过程
（一）创设情景，引出新知
1、思考下面的问题：
每升酸奶在0℃～7℃时含有活性乳酸杆菌220个，在10℃时活性乳酸杆菌死亡了217个，在12℃时又死亡了219个，那么此时活性乳酸杆菌还剩多少个？
你的列式是
（学生列完式看到如此庞大的乘方可能会不知如何处理。教师就可适时地告诉学生：学完此节课就能解决这个问题。）
2.运用前两节所学的知识填空
1).m(a+b+c)= .
2).(a+b)(a-b)= .
3).(a+b)2= .
3.试一试 填空:
1).ma+mb+mc= m( )
2).a2-b2=( )( )
3).a2+2ab+b2=( )2
提出问题“你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?”
总结出前三个运算都是整式乘法，
而后三个是整式乘法的逆运算，都是多项式化为几个整式的积的形式。
因此得出本课的教学重点因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,这就是因式分解。
（二）探究新知
多项式（整式）
（整式）
……
（整式）
判断下列各题是否为因式分解：
1)m(a+b+c)= ma+mb+mc. 不是因式分解，是整式乘法。
2)a2-b2 =(a+b)(a-b) 是因式分解，可以看成整式(a+b)与整式（a-b)的积。
3)a2-b2 +1=(a+b)(a-b)+1 不是因式分解，因为最后形式不是积，而是和。
（1）ma+mb+mc=m(a+b+c)
像(1)这种因式分解的方法叫提公因式法。
（2）a2-b2=(a+b)(a-b )
（3）a2+2ab+b2=(a+b)2
像(2),(3)利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为公式法。
今天就要重点研究一下，因式分解的第一种方法“提取公因式法”。
那么既然叫做提公因式法,那么什么叫做公因式呢?
观察多项式ma+mb+mc，我们发现各项都含有一个相同的因式m，像这样的多项式中各项相同的因式称为公因式。
试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式）。
（1） 3a+3b的公因式是3；
（2）-24m2x+16n2x的公因式是 8x；
（3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是(a+b)；
(4) 4ab-2a2b2的公因式是2ab。
最后大家一起来总结公因式的特征：
（1）公因式中的系数是多项式中各项系数的最大公约数；
（2）公因式中的字母（或因式）是多项式中各项的相同字母（或因式）；
（3）公因式中字母（或因式）的指数取相同字母（或因式）的最小指数。
由此可见公因式都是由三个部分组成的。
（三）例题
例1 把下列多项式分解因式：
（1）-5a2+25a；（2）3a2-9ab。
分析（1）：由公因式的几个特征，我们可以这样确定公因式：
1、定系数：系数-5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为5；
2、定字母：两项中的相同字母是a，故公因式的字母取a；
3、定指数：相同字母a的最小指数为1，故a的指数取为1。
所以，-5a2+25a的公因式为5a。
具体解题过程为：
解：（1） -5a2+25a
=5a (-a)+5a
5
=5a(-a+5) 把5a提到括号的外面,把剩下的数、字母和符号搬到括号里面，
= -5a(a-5) 再把负号提到括号的外面
(2)解法如上。
思考总结：
解题方法技巧：
(1) 先确定公因式，用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；
(2) 把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.
（3）为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.
数学病院
把下列多项式分解因式：
（1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz； （3）2x3+6x2+2x。
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：
甲同学： 乙同学：
解:12x2y+18xy2 解:-x2+xy-xz
=3xy(4x+6y) =-x(x+y-z)
丙同学：
解:2x3+6x2+2x =2x(x2+3x)
你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
解法指导：（1）切记：公因式要提完；
（2）当多项式次数最高项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内次数最高项的系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
（3）“公因式全提走，留下1把家守”。
（四）强化训练
练习1
把下列多项式因式分解：
（1）3a+3b；
（2）5x-5y+5z；
（3） 4a3b-2a2b2 。
解：（1）3a+3b
=3(a+b)
(2) 5x-5y+5z
=5(x-y+z)
(3) 4a3b-2a2b2
=2a2b(2a-b)
练习2
把下列多项式分解因式：
(1) xn-xny ； (2) a(x-y)2-b(y-x)2
练习3.
1、9992+999
解:原式=999×999+999×1
=999×（999+1）
=999×1000
=999000
2、
解：原式=
=259
3、已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
答案：15
（五）小结：心得交流：
说说本节课你的收获…
因式分解与整式乘法互逆，体现的是一种逆向思维的过程，掌握好有一定的难度，我们可以在接下来的几节课中继续学习因式分解，慢慢完善思维。
你知道该怎么化简了吗？
（六）布置作业
课堂作业
1、把下列各式分解因式：
(1)12a2b+4ab
(2)-3a3b2+15a2b3
(3)15x3y2+5x2y-20x2y3
(4)-4a3b2-6a2b+2ab
2、把下列各式分解因式：
(1)6a(m-2)+8b(m-2) (2)(1+x)(1-x)-(x-1)
(3)
3．若x2＋3x－2＝0，求2x3＋6x2－4x的值.
家庭作业
1、把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3）
2、把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3）
（4）
3、化简：22011－（﹣2）2010
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ce789481a9114431b90d6c85ec3a87c241288a41.html
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