（二）向量方法证明空间线面垂直关系

学习目标　1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.

知识点一　向量法判断线线垂直

思考　若直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？

答案　l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.

判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A、B与C、D，计算向量与的坐标，若·＝0，则两直线垂直，否则不垂直.

(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.

梳理　设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

知识点二　向量法判断线面垂直

思考　若直线l的方向向量为μ1＝，平面α的法向量为μ2＝，则直线l与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？

答案　垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.

判断直线与平面的位置关系的方法：

(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线⇒l⊥α.

(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内.

(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l⊥α.

梳理　设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R).

知识点三　向量法判断面面垂直

思考　平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？

答案　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.

梳理　若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

类型一　证明线线垂直

例1　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.

证明　设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得A，B，C，N，B1，

∵M为BC中点，

∴M.

∴＝，＝(1，0，1)，

∴·＝－＋0＋＝0.

∴⊥，

∴AB1⊥MN.

反思与感悟　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.

跟踪训练1　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.

证明　∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∴AC、BC、C1C两两垂直.

如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，

∵＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，

∴·＝0.∴AC⊥BC1.

类型二　证明线面垂直

例2　如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.

求证：AB1⊥平面A1BD.

证明　如图所示，取BC的中点O，连接AO.

因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0).

所以＝(1，2，－)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0).

因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.

·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.

所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.

又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.

反思与感悟　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤

方法一：(1)建立空间直角坐标系.

(2)将直线的方向向量用坐标表示.

(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.

(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.

方法二：(1)建立空间直角坐标系.

(2)将直线的方向向量用坐标表示.

(3)求出平面的法向量.

(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.

跟踪训练2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.

证明　如图建系，C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，B1(1，1，2)，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(1，1，1)，＝(0，－1，－2)，＝(－1，0，－2).

·＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0，

所以⊥，即PB1⊥PC.

又·＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0，

所以⊥，即PB1⊥PA.

又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.

类型三　证明面面垂直

例3　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.

证明　由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，

故＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝(－2，0，).

设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，

则即

令x＝1，得y＝1，故n1＝(1，1，0).

设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，

则即

令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1，4).

因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，

所以n1⊥n2.

所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.

反思与感悟　证明面面垂直的两种方法

(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.

(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.

跟踪训练3　在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.

证明　以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F(0，a，)，

故＝(0，0，－a)，＝.

设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则即取x1＝1，

∴n1＝(1，－1，0)为平面ABC的一个法向量.

设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，

同理可得n2＝(1，1，－).

∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，

∴平面BEF⊥平面ABC.

1.下列命题中，正确命题的个数为(　　)

①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；

②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n1·n2＝0；

③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.

A.1 B.2 C.3 D.4

答案　C

解析　①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确.

2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为(　　)

A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)

B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)

C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)

D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)

答案　B

解析　因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.

3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则(　　)

A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交

答案　B

解析　∵a∥μ，∴l⊥α.

4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　)

A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定

答案　C

解析　∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，

∴两法向量垂直，从而两平面垂直.

5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为________.

答案　5

解析　∵平面α与平面β垂直，

∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，

∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.

空间垂直关系的解决策略

40分钟课时作业

一、选择题

1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)

A.－2 B.2 C.6 D.10

答案　D

解析　因为a⊥b，故a·b＝0，

即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.

2.若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　)

A.10 B.－10 C. D.－

答案　B

解析　因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，

所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，

解得x＝－10.

3.已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)

A.(1，0，－2) B.(1，0，2) C.(－1，0，2) D.(2，0，－1)

答案　C

解析　由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0， ①

·＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0， ②

联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1，0，2).

4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)

A.AC B.BD C.A1D D.A1A

答案　B

解析　建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，E，

∴＝，＝(1，－1，0)，

＝(－1，－1，0)，＝(0，－1，－1)，＝(0，0，－1)，

∵·＝(－1)×(－)＋(－1)×＋0×1＝0，

∴CE⊥BD.

5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是(　　)

A.n1＝(1，2，1)，n2＝(－3，1，1)

B.n1＝(1，1，2)，n2＝(－2，1，1)

C.n1＝(1，1，1)，n2＝(－1，2，1)

D.n1＝(1，2，1)，n2＝(0，－2，－2)

答案　A

解析　∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，

∴n1·n2＝0，故选A.

6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　)

A.－3 B.6 C.－6 D.－12

答案　B

解析　α⊥β⇒μ·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.

二、填空题

7.在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则异面直线SC与BC是否垂直________.(填“是”或“否”)

答案　是

解析　如图，以A为原点，AB，AS分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则由AC＝2，BC＝，SB＝，

得B(0，，0)，S(0，0，2)，C，

＝，＝.

因为·＝0，所以SC⊥BC.

8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________.(填序号)

答案　①②③

解析　∵·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP⊥AB，即①正确；

∵·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP⊥AD，即②正确；

又∵AB∩AD＝A，

∴AP⊥平面ABCD，

即是平面ABCD的一个法向量，即③正确；

∵是平面ABCD的法向量，

∴⊥，即④不正确.

9.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1，2cos 2x＋2，0)和点Q(cos x，－1，3)，其中x∈[0，π].若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________.

答案　或

解析　由题意得⊥，

∴cos x·(2cos x＋1)－(2cos 2x＋2)＝0.

∴2cos2x－cos x＝0，

∴cos x＝0或cos x＝.

又x∈[0，π]，

∴x＝或x＝.

10.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________.

答案　(－2，4，1)或(2，－4，－1)

解析　据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2).

设n＝(x，y，z)，

∵n与平面ABC垂直，

∴即可得

∵|n|＝，∴＝，解得y＝4或y＝－4.

当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.

三、解答题

11.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点.证明：CD⊥平面PAE.

证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

设PA＝h，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h).

易知＝(－4，2，0)，＝(2，4，0)，＝(0，0，h).

因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，

所以CD⊥AE，CD⊥AP，

而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，

所以CD⊥平面PAE.

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.

证明　建立如图所示空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(0，1，0)，F，D，

设BE＝x(0≤x≤)，

则E(x，1，0)，

·＝(x，1，－1)·＝0，

所以x∈[0， ]时都有PE⊥AF，即无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.

13.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.

(1)求证：A1E⊥BD；

(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置.

(1)证明　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则 A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).

设E(0，a，e) (0≤e≤a)，

＝(－a，a，e－a)，

＝(－a，－a，0)，

·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，

∴⊥，即A1E⊥BD.

(2)解　设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).

∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)，

∴

取x1＝x2＝1，

得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，)，

由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2，

∴2－＝0，即e＝.

∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/cbf7d447900ef12d2af90242a8956bec0875a57e.html