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高中数学人教A选择性必修一第三章 3.1.1 椭圆及其标准方程

发布时间：2020-08-21   来源：文档文库   
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§3.1 椭 圆
3．1.1 椭圆及其标准方程
学习标目
1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．

知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数且2a>|F1F2|. 知识点二 椭圆的标准方程
标准方程
焦点在x轴上 x2y2＋＝1(a>b>0 a2b2焦点在y轴上 y2x2＋＝1(a>b>0 a2b2
图形

焦点坐标 a，b，c的关系

思考 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
F1(－c，0，F2(c，0

F1(0，－c，F2(0，c
b2＝a2－c2
答案 能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．

1．平面内到点F1(－4,0，F2(4,0距离相等的点的轨迹是椭圆．( × 2．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( × 3．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( × 4．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.( √


一、求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1焦点在y轴上，且经过两个点(0,2和(1,0；
35－，； (2两个焦点的坐标分别是(0，－2，(0,2，并且椭圆经过点22
111，，Q0，－. (3经过点P233解 (1因为椭圆的焦点在y轴上， y2x2所以设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0．
ab又椭圆经过点(0,2和(1,0，
所以01a＋b＝1，2240＋＝1，a2b2
2a＝4，解得
2b＝1.
y22所以所求的椭圆的标准方程为＋x＝1. 4(2因为椭圆的焦点在y轴上，
y2x2所以设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0，
ab由椭圆的定义知， 2a＝－32＋5＋22＋22－32＋5－22＝210， 22即a＝10，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， y2x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 106x2y2(3方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0．
aba＋b＝1，依题意，有－120＋b＝1，2222121233
解得1b＝4.21a2＝，5

由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 y2x2＋＝1(a>b>0． a2b2
a＋b＝1，依题意，有－12a＋0＝1，2222121233
a＝4，解得1b＝5.221

y2x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1145方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n．
9m＋9n＝1，则14n＝1，11
m＝5，解得
n＝4.
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， y2x2故椭圆的标准方程为＋＝1. 1145反思感悟 确定椭圆标准方程的方法
(1“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1经过两点(2，－2，－1，14； 2y2x2(2过点(3，－5，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
259x2y2解 (1方法一 (分类讨论法若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0．
ab由已知条件得114a＋4b＝1，2242＋＝1，a2b2
2a＝8，解得
2b＝4.
x2y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 84y2x2若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0．
ab
由已知条件得114b＋4a＝1，2242＋＝1，b2a2
2b＝8，解得
2a＝4.
则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． x2y2综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 84方法二 (待定系数法设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B． 将两点(2，－2，－1，14代入， 21A＝8，4A＋2B＝1，得解得141B＝A＋4B＝1，4，


x2y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 84y2x2(2因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 259设它的标准方程为 y2x2＋＝1(a>b>0． a2b2因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① －5232又点(3，－5在椭圆上，所以＋2＝1，
a2b53即2＋2＝1.② ab由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 y2x2＋＝1. 204二、椭圆的定义及其应用
x2y2例2 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的123面积．
解 由已知得a＝23，b＝3， 所以c＝a2－b2＝12－3＝3，

从而|F1F2|＝2c＝6， 在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝43， 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 所以S1＝|PF|·|PF2|·sin 60°＝3. F1PF221延伸探究
若将本例中“ ∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积． 解 由已知得a＝23，b＝3， 所以c＝a2－b2＝12－3＝3. 从而|F1F2|＝2c＝6. 在△PF1F2中，由勾股定理可得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2， 即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×23＝43， 所以|PF2|＝43－|PF1|. 从而有(43－|PF1|2＝|PF1|2＋36， 解得|PF1|＝3. 211333所以△PF1F2的面积S＝·|PF1|·|F1F2|＝××6＝，
222233即△PF1F2的面积是. 2反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆
的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
x2y2跟踪训练2 (1已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若259|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________. 答案
8 解析 由直线AB过椭圆的一个焦点F1， 知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20， 又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8. x2y2(2椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若S43的大小．
解 由已知得a＝2，b＝3，c＝1， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α， m＋n＝4， m＋n－2mncos α＝4， ②则12mnsin α＝3， ③22F1PF2＝3，求∠F1PF2
①

①2－②得mn(1＋cos α＝6，④ ④1＋cos α6得＝，
sin α③32α2cos2
2即＝23，
ααsin ·cos 22α3∴tan ＝，
23α∴＝30°，α＝60°， 2即∠F1PF2＝60°. 三、与椭圆有关的轨迹问题
x2y2例3 (1已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为48
__________． 答案
x2＋y2＝1 22x2y00解析 设Q(x，y，P(x0，y0，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1. 482x22y2y22所以＋＝1，即点Q的轨迹方程为x＋＝1. 482(2如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0，并且在定圆B：(x－32＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．

解 设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0和B(3,0的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆， 其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7， x2y2其轨迹方程为＋＝1. 167反思感悟 求轨迹方程的常用方法 (1直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；

(3相关点法(代入法
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．
3跟踪训练3 在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲2线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程． 解 以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

x2y2由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为2＋2＝1(a>b>0．
ab3因为|AB|＝2，|AC|＝，
2所以|BC|＝5|AC|2＋|AB|2＝，
235则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2，
22所以a＝2，c＝1， 所以b2＝a2－c2＝3. x2y2所以曲线E的方程为＋＝1. 43

1．椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(A．5 B．6 C．7 D．8 答案
D 解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2， 结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8. 2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1，则实数k的值是( A．1 B．2 C．3 D．4 答案
B 解析
椭圆方程可化为x2＋y24＝1，
k4k>1，由题意知4k－1＝1，
解得k＝2. 3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(

A．(0，＋∞ B．(0,2 C．(1，＋∞ D．(0,1 答案 D 解析 ∵方程x2＋ky2＝2，即x22＋y22＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
k∴2k>2，故0<k<1.故选D.

4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________________． y2答案 ＋x2＝1 16解析 由已知2a＝8,2c＝215，所以a＝4，c＝15， 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上， y2所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 165．椭圆的两焦点为F1(－4,0，F2(4,0，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为__________． x2y2答案 ＋＝1 259解析 如图，当P在y轴上时

△PF1F2的面积最大，
1∴×8b＝12，∴b＝3. 2又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25. x2y2∴椭圆的标准方程为＋＝1. 259
1．知识清单：

(1椭圆的定义． (2椭圆的标准方程．
2．方法归纳：待定系数法、定义法、相关点法． 3．常见误区：
(1忽视椭圆定义中a，c的条件．
(2混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程．


x2y21．椭圆＋＝1的焦点坐标为(

25169A．(5,0，(－5,0 C．(0,12，(0，－12 答案
C B．(0,5，(0，－5 D．(12,0，(－12,0
解析 c2＝169－25＝144.c＝12，故选C. x2y22．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0的右焦点为F(3,0，点(0，－3在椭圆上，则椭圆的方程为(

abx2y2A.＋＝1 4536x2y2C.＋＝1 2718答案
D 222a－b＝9，a＝18，解析 由题意可得解得 92b＝9，0＋b2＝1，x2y2B.＋＝1 3627x2y2D.＋＝1 189

x2y2故椭圆的方程为＋＝1. 189x2y23．“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的(

m－26－mA．充分不必要条件 C．充要条件 答案
B m－2>0，xy解析 若方程＋＝1表示椭圆，则6－m>0，m－26－mm－2≠6－m，22B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

解得2<m<6且m≠4，
x2y2所以“2<m<6”是方程“＋＝1为椭圆”的必要不充分条件．
m－26－mx2y24．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF294的面积等于(

A．5 B．4 C．3 D．1 答案
B 解析 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(252，可知△F1PF2是直角三角形， 11故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B. 22x2y25．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点abP的轨迹是(


A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 答案
B 解析 设椭圆的右焦点为F2，
11由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，
22又|MF1|＋|MF2|＝2a， 所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，
故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．
6．已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________． x2y2答案 ＋＝1 43a＋c＝3，x2y2解析 设所求椭圆的方程为2＋2＝1(a＞b＞0，半焦距为c，由题意可得aba－c＝1，a＝2，x2y2222∴故b＝a－c＝3，∴椭圆的标准方程为＋＝1. 43c＝1，

x2y27．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐259标原点，那么线段ON的长是________． 答案
4 解析 设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10， 又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8，
1又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4. 2x2y28．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F297的面积为________． 7答案

2x2y2解析 如图，由＋＝1，
97

知a2＝9，b2＝7，c2＝2. 所以a＝3，b＝7，c＝2. 所以|F1F2|＝22. 设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x. 因为∠AF1F2＝45°，
27所以(6－x2＝x2＋8－42x·.所以x＝. 22所以S1727＝×22××＝. AF1F222229．点M与定点F(2,0的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
解 设点M的坐标为(x，y，d是点M到直线x＝8的距离，根据题意，得x2y2＋＝1. 1612x－22＋y21＝.2|8－x|两边平方，并化简得3x2＋4y2＝48，即所以，点M的轨迹是椭圆．
x2y22510．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点－1，. 16125(1求椭圆M的标准方程；
(2设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
解 (1由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0，(2,0，

x2y2设椭圆M的方程为2＋2＝1(a>b>0，
ab22a－b＝4，则1化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 4a2＋5b2＝1，
16故b2＝1或b2＝－(舍，a2＝5，
5x22故椭圆M的标准方程为＋y＝1. 5(2由(1知F1(－2,0，F2(2,0，
1设P(x0，y0，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，
21得y0＝±. 22x015152又＋y2，x0＝±， 0＝1，所以x0＝542所以点P有4个，它们的坐标分别为151151151151，，－，，，－，－，－. 22222222
x2y211．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2169的大小为(

A．60° B．30° C．120° D．150° 答案
A 解析 由椭圆的定义得 |PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝27，

∴(|PF1|＋|PF2|2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40， 在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝∵0°＜∠F1PF2＜180°， ∴∠F1PF2＝60°. x2y212．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那123么点M的纵坐标为(

3233A．± B．± C．± D．±
4224答案
D 解析 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点， ∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3，
32y233∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±. 123423∴点M的纵坐标为±. 4x2y213．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋32＋y2＝1和圆(x－32＋y2＝42516上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( A．5 C．13 答案
B 解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10， 从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. x2y214．已知椭圆C： ＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为94A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________. 答案
12 解析 取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，11B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|＝4a＝12. 22B．7 D．15 40－281＝， 2×122

x2y215．如图所示，F1，F2分别为椭圆2＋2＝1(a>b>0的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2ab是面积为3的正三角形，则b2＝________.
答案 23 解析 设正三角形POF2的边长为c，则解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，
连接PF1(图略，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2， 则|PF1|＝|F1F2|2－|PF2|2＝42－22＝23，
32c＝3，
4所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝23＋2，即a＝3＋1， 所以b2＝a2－c2＝(3＋12－4＝23.
x2y216．如图，点A是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1ab→→的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为(0,1，且满足BP∥x轴，AB·AP＝9，求椭圆C的方程．

解 由题意得A(0，－b， 直线AB的方程为y＝x－b，
由P(0,1且BP∥x轴，得B(1＋b，1， →→所以AB＝(1＋b，1＋b，AP＝(0,1＋b， →→因为AB·AP＝9，故0＋(1＋b2＝9， 因为b>0，于是b＝2，所以B(3,1， x2y2将B(3,1代入椭圆2＋＝1，
a491得2＋＝1，解得a2＝12， a4x2y2综上所述，椭圆C的方程为＋＝1. 124

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