数学文化讲堂（四）
梦溪笔谈——会圆术
《梦溪笔谈》由北宋科学家、政治家沈括（1031—1095）撰，是一部涉及天文、数学、物理、化学、生物等各个门类学科的综合性笔记体著作.该书被数学界尊为中国古代数学研究的重要成就，其中就包括了沈括首创的隙积术和会圆术.
材料“余别为拆会之术，置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径.以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧.”译文为：如图所示，在扇形OAB中，OD⊥AB于点C，OA=OB=r，AB=t，CD=h，OC＝d，劣弧=m，则d=r-h，t=
，m=
.
1. 根据以上材料解决下列问题：
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AE=2，EB=8,则OE=_______；CD=________；的长为_____________.
第1题图
周髀算经——圆
《周髀算经》，原名《周髀》，是算经的十书之一.中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法.
材料《周髀算经》中记载：周公与商高对话中，商高提出“环矩以为圆”.
注解1：《中国数学史大系》第一卷中解释为：把矩的长短两只当作“规”的两只脚，直立于平面上，以矩的一端为枢，旋转时，另一端即可成圆，如图①.
注解2：中国近代著名数学家李俨注解：“直角三角形固定弦，其直角顶点的轨迹便是圆”，如图②，数学家梁宗臣的看法与李俨相同，并在其《世界数学史简编》注明.
请完成下列问题：
2. 注解1中，阐述了圆的定义：____________________________；
3. 注解2中说明直径所对的圆周角为_________________________；
4. 已知一直角三角形的斜边长为4，结合材料，请探究这个直角三角形的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由.
九章算术——方田
《九章算术》与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉，是中国古代数学成就的杰出代表，标志着以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成，全书分为9章，卷一“方田”中，详细记述了扇形、弓形、环形的面积计算方法.
材料1“方田”篇中所记：宛田面积术曰：以径乘周，四而一.其中，宛田：扇形的田地；径：扇形的直径；周：扇形的弧长；意思是：扇形的面积＝直径×弧长÷4.
请完成下列问题：
5. 请用所学公式证明古人方法是否正确.
6. 我们将弧长与半径相等的扇形叫作“等边扇形”，试求面积为16的“等边扇形”的弧长为___________.
材料2“方田”篇中还记载：弧田面积术曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一，即给出了计算弧田面积的经验公式：（弦×矢+矢×矢）÷2.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差（弓形的高）.
7. 按照上述经验公式计算所得的弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为120°，弦长等于9米的弧田.
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照材料中的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田面积相差多少平方米?（结果保留两位小数，≈1.732,π取3.14）
8. “今有圆材，埋在壁中，不知大小.以鐻之，深一寸，鐻道长1尺.问径几何？”译文为：如图，圆木埋在壁中，不知大小，用锯子来锯它，锯到深度CD为1寸时，量得锯痕AB长1尺，问圆木的直径是多少?
第8题图
9. “今有勾八步，股十五步.问勾中容圆，径几何？”译文为：今有股长十五步,勾长八步的直角三角形,试求其内切圆的直径.
第9题图
海伦——秦九韶公式
海伦（约公元50年），古希腊的几何学家，在数学史上以解决几何测量问题而闻名.
材料他的著作《度量》一书中，对秦九韶公式：S△ABC=进行拓展，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a，b，c，记p=
（a+b+c），那么三角形的面积为：S△ABC=
，称为海伦公式.
10. 如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9，求△ABC的内切圆半径.
第10题图
婆罗摩笈多定理
婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍.他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国的《九章算术》，而他的负数乘除法则在全世界都是领先的.他还提出了著名的婆罗摩笈多定理.
材料该定理的内容及部分证明过程如下：
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，
PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN＝DN.
证明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD,PM⊥AB,
∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.
∴∠BAP=∠BPM.
∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC,
∴…
第11题图
11. （1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分;
（2）已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2.点D在⊙O上，∠BCD＝60°，连接AD，与BC交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为________.
答案
1. 3,8，163【解析】∵AE=2，EB=8，∴AB=10，OA=5，OE=OA-AE=3；由会圆术可知CD=2＝8；
=8+
=
.
2. 平面上到定点的距离为定值的所有的点的集合即为圆
3. 直角
4. 解：存在.
由注解2可知，该直角三角形的直角顶点在直径为4的圆上，最大面积为S△＝＝4.
5. 解：正确.证明：S扇形＝lr=
l×
=
ld.
6. 4
7. 解：（1）如解图，在△OAB中，AB＝9（米），∠AOB＝120°，∠ACO＝90°，则∠AOC＝60°，AC＝(米)，∴OA＝3
(米)，OC＝
(米).
第7题解图
所以S△AOB＝×9×
＝
（平方米），
S扇形AOB＝＝9π（平方米）,
所以S弧田＝（9π-）平方米.
（2）由（1）知矢长为h=OA-OC=（米）,
根据经验公式的S弧田＝× [9×
+（
）2]=（
+
）平方米.
所以9π--
-
≈1.50（平方米）.
按照弧田面积经验公式计算比实际面积约少1.50平方米.
8. 答：圆木的直径为26寸．
9. 解：如解图，在Rt△ABC中，AB＝15（步），BC＝8（步），设内切圆半径为r步.
word/media/image32_1.png第9题解图
AC= =17（步）.
S△ABC＝AB·BC,
S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=
AB·r+
BC·r+
AC·r=
（AB+BC+AC）r,
∴AB·BC＝
（AB+BC+AC）r，
∴r= =
=3.
∴此三角形内切圆的直径为6步.
10. △ABC的内切圆半径为2.
11. （1）证明：在△ABP和△BMP中，
∵AC⊥BD,PM⊥AB,
∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP＝90°，
∴∠BAP＝∠BPM.
∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，
∴∠DPN＝∠BDN，∴DN＝PN，
同理，PN＝CN，∴CN＝DN.
（2）1.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/cb8ae8b27e192279168884868762caaedd33baac.html
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