第二章 导数与微分
一、主要内容小结
1. 定义·定理·公式
(1)导数,左导数,右导数,微分以及导数和微分的几何意义
(2) 定理与运算法则
定理1 存在 .
定理2 若在点处可导,则在点x处连续;反之不真.
定理3 函数在处可微在处可导.
导数与微分的运算法则:设均可导,则
,
,
,
(3)基本求导公式
2. 各类函数导数的求法
(1)复合函数微分法
(2)反函数的微分法
(3)由参数方程确定函数的微分法
(4)隐函数微分法
(5)幂指函数微分法
(6)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.
方法:对数求导法(即先对式子的两边取自然对数,然后在等式的两端再对求导).
(7)分段函数微分法
3. 高阶导数
(1)定义与基本公式
高阶导数公式:
莱布尼兹公式:
(2)高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法
4. 导数的简单应用
(1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率
二、 例题解析
例2.1 设, (K为整数).问:
(1)当K为何值时,在处不可导;
(2)当K为何值时,在处可导,但导函数不连续;
(3)当K为何值时,在处导函数连续?
解 函数在x=0点的导数:
=
= =
即
当时,的导函数为:
为使,取即可。
因此,函数
当K≤1时,在处不可导;
当时,在处可导,但导函数在处不连续;
当时,在处可导且导函数在处连续。
例2.2 , 求。
分析 本例当然可以用商的求导法则来求,但比较麻烦,若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求,这样就简便多了。
解 =。
所以 。
如果不经过化简,直接求导则计算将是十分繁琐的。
例2.3 ,求。
分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求,比较麻烦,但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形,再利用差及复合函数求导法来求,就简便得多。
解 因为
所以 =
例2.4 设,求。
解 利用积的求导法则及复合函数求导法则,有
= = 。
例2.5 设方程, 求.
本例是隐函数求导问题,对隐函数求导可用下面两种方法来求。
解 (方法一) 方程两端同时对求导( y看作x的函数),由复合函数求导法可得
(方法二) 方程两边同时微分:
所以
例2.6 已知 ,为二次可微函数,且,求 ,。
分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题,可按参数方程求导法则来求。
解 因为 =
所以 。
又
所以 = 。
常见错解: 。
错误原因 没有搞清求导对象. 是一阶导数对求导,而是一阶导数对t求导。
例2.7 求函数的微分。
解 =
=
例2.8 设 , 求。
分析 本例是求分式有理函数的高阶导数,先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和,再将有理分式写成部分分式之和,最后仿的表达式写出所给定的有理函数的n阶导数。
解
=
=
= ()
例2.9 设 求的导函数的连续区间,若间断,判别类型,并分别作与的图形。
分析 函数是用分段表达的函数. 在的两侧: 当时,;
当时,.因此,在 处,的可导情况,需根据定义来作判断,求出导函数后,再判别它的连续区间。
解 因为
,所以在处不可导。
故 。
因为在处无定义,所以是的间断点
又因为 = = 0 ;
=
所以 为的跳跃间断点。
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/cb0c77d054270722192e453610661ed9ad515581.html
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